文档内容
§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性
考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
偶函数 关于 y 轴 对称
－x∈I，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有
奇函数 关于原点对称
－x∈I，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这
个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数．( × )
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．( √ )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )
教材改编题
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案 B
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；
B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是
偶函数．
2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023)＝________.
答案
解析 ∵f(x)的周期为2，
∴f(2 023)＝f(1)＝2－1＝.
3. 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0
的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当00；
当20.
综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题型一 函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log (x＋)．
2解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x
＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log [－x＋]
2
＝log (－x)
2
＝log (＋x)－1
2
＝－log (＋x)＝－f(x)，
2
故f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别
为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案 C
解析 依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x) ＋1，N＝g(x) ＋1，
max min
于是得M＋N＝g(x) ＋1＋g(x) ＋1＝2，
max min所以M＋N的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝
f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以
x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)
＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)
＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝，则函数f(x)( )
A．既是奇函数也是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数
D．是偶函数，但不是奇函数
答案 C
解析 由9－x2≥0且|6－x|－6≠0，
解得－3≤x≤3且x≠0，
可得函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}，
关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝，
又f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，但不是偶函数．
2．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
答案 －1
解析 ∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，
∴g(－1)＝1，
∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性
转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 B
解析 f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个
单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0
时，f(x)＝________.
答案 －1 －2－x－2x＋1
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即1＋a＝0，
∴a＝－1.
∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，
设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝2－x＋2x－1，
∴f(x)＝－2－x－2x＋1.
题型二 函数的周期性
例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝
f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f ＝f
＝f ＝－f ＝－.
(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
答案
解析 ∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，
∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 023)＝f(3)＝＝.
教师备选
若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， ②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周
期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
跟踪训练2 (1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，
f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于( )
A．336 B．338
C．337 D．339
答案 B
解析 因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，
于是f(1)＝1，f(2)＝2，
f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
而2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)
＝337×1＋1＝338.
(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则 f(2 021)＋f(2 022)＝
________.答案 0
解析 ∵f(x＋1)＝f(x－1)，
∴f(x)的周期为2，
∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)， ①
又f(x)的周期为2，
∴f(－1)＝f(1)， ②
由①②得f(1)＝0，
∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.
题型三 函数的对称性
例4 (1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，
且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
(2)已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x ，y)，(x ，
1 1 2
y)，…，(x，y)，则y＋y＋…＋y＝________.
2 6 6 1 2 6
答案 12
解析 ∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y＋y＋…＋y＝3×4＝12.
1 2 6
延伸探究 在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝”改为
“g(x)＝”，其他不变，求x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y 的值．
1 2 6 1 2 6
解 ∵y＝f(x＋1)－2为奇函数，∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，
则x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y＝3×2＋3×4＝18.
1 2 6 1 2 6
教师备选
1．函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．
答案 x＝
解析 内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝，所以函数f(x)＝lg |2x－1|图象的对称轴方程是x
＝.
2．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋1 的图象关于点(0,1)对称，且 f′(1)＝4，则 a－b＝
________.
答案 －1
解析 因为f(x)关于点(0,1)对称，
所以f(x)＋f(－x)＝2，
故f(1)＋f(－1)＝2，
即1－a＋b＋1＋(－1)－a－b＋1＝2，
解得a＝0，
所以f(x)＝x3＋bx＋1，
又因为f′(x)＝3x2＋b，
所以f′(1)＝3＋b＝4，解得b＝1，
所以a－b＝－1.
思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出
函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
跟踪训练3 (1)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则
f(2 025)＝________.
答案 1
解析 ∵f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，
又f(x＋2)为偶函数，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(3)＝f(1)＝1，∴f(2 025)＝1.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是( )
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点(π，0)对称
答案 BCD
解析 ∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋
＝－sin x－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
故A错误，B正确．
∵f ＝cos x＋，
f ＝cos x＋，
∴f ＝f ，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确．
又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋
＝sin x＋，
f(－x)＝－sin x－，
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，
∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确．
课时精练
1．如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上( )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递减且最小值为－5
C．单调递增且最大值为－5
D．单调递减且最大值为－5
答案 C
解析 因为奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，
所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.
2．(2022·南昌模拟)函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
答案 B
解析 f(x)＝＝3x＋3－x，
f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
3．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
答案 A
解析 依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且
f(3)＝－2，则有f(2 021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2 021)＝2.
4．(2022·宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的 x∈R都有f(x＋2)＝－
f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )
A．0 B．－1 C．－2 D．2
答案 C
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，
所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，
又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)，
所以函数图象关于直线x＝1对称，
所以－＝1，解得a＝－2，
所以a＋b＝－2.
5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
答案 BD
解析 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，
A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，
为奇函数；
C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．
6．(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，
则( )
A．f(x)的图象关于点(2,0)对称
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)的周期为4
D．f(x)的周期为8
答案 AD解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，
又∵f(x＋2)是奇函数，
∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，
∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.
7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝
________.
答案
解析 因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝，
同时f(－x)＝f(x)，
即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，
则有bx＝0，必有b＝0.
则a＋b＝.
8．已知函数f(x)满足对∀x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝
x2＋mx，若f ＝，则m＝______.
答案
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)，
f(x＋2)＝－f(x)，
知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4，
∴f ＝f ＝f ＝，
∴＋m＝，
∴m＝.
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2) 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，a≠1)，
则f(1)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 由已知可得f(1)＋g(1)＝a2－a－2＋1，
f(－1)＋g(－1)＝a－2－a2＋1，
因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)－g(1)＝a－2－a2＋1，
联立
解得f(1)＝1.
13．(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R上的奇函数f(x)对∀x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则
下列判断正确的是( )
A．f(x)是周期函数且周期为4
B．f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称
D．f(x)在[－4,4]上至少有5个零点
答案 ACD
解析 对于A选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]
＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故A项正确；
对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故B项错误；
对于C选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(x－2)，
又因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x－2)＝f(－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
故C项正确；
对于D选项，因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，因为T＝4，
所以f(4)＝f(－4)＝0，
因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(0＋2)＝－f(0)＝0，
所以f(2)＝0，因为T＝4，
所以f(－2)＝0，故D项正确．
14．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝____________，f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________.
答案 1 1 011解析 因为f(x)＝，
所以f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝
＝1，
设f ＋f ＋f ＋…＋f ＝m， ①
则f ＋…＋f ＋f ＋f ＝m， ②
①＋②得2 022＝2m，即m＝1 011，
故f ＋f ＋f ＋…＋f ＝1 011.
15．(多选)(2022·岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，
也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有( )
A．f(－1.1)＝0.9
B．函数f(x)为奇函数
C．f(x＋1)＝f(x)＋1
D．函数f(x)的值域为[0,1)
答案 AD
解析 对于A，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]
＝－1.1＋2＝0.9，故A正确．
对于B，取x＝－1.1，则f(－1.1)＝0.9，
而f(1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1，
故f(－1.1)≠－f(1.1)，
所以函数f(x)不为奇函数，故B错误．
对于C，f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－[x]－1＝f(x)，故C错误．
对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，
当0≤x≤1时，则
当x＝0时，f(0)＝0－[0]＝0，
当00，A>0)，使得对
于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数
f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
解 (1)因为函数y＝x是增函数，
所以函数y＝x不具有性质P，
当A＝1，T＝2π时，
函数y＝cos x对于任意x∈R，
f(x＋T)＝Af(x)成立，
所以y＝cos x具有性质P.
(2)设x∈(－π，0]，
则x＋π∈(0，π]，
由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
得f(－π)＝f(π)＝0，
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x，
所以当x＝－时，
f(x)在[－π，0]上有最大值f ＝.
