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§2.3 函数的奇偶性、周期性
课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性
质进行简单的应用．
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意
偶函数 的x∈D，有－x∈D，且 ，那么称函数 关于 对称
f(x)为偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意
奇函数 的x∈D，有－x∈D，且 ，那么称函数 关于 对称
f(x)为奇函数
2.周期性
(1)一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有
x＋T∈D，且满足 ，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的
.
(2)最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有 中存在一个最小的正数，那么这个最
小正数就称作函数y＝f(x)的 .
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相
反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．( )
(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N )也是函数f(x)的一个周期．( )
+
2．(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等
于( )
A．－7 B．－5 C．5 D．7
3．(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2
＋1，则f(2 024.5)等于( )
A. B. C．2 D．1
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解
集为________________．
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (1)(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x|
(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函
数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 (2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝(x－1)
C．f(x)＝ln(－x)
D．f(x)＝2x＋
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则
M＋m等于( )A．0 B．2 C．1 D．3
(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当
x≥0时，f(x)＝_______________________________________________________________.
命题点2 利用奇偶性解不等式
例3 (2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，
则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)∪(2,5)
B．(－∞，－1)∪(0,5)
C．(－1,0)∪(2,5)
D．(－1,0)∪(5，＋∞)
抽象函数
抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通
过f(x)－f(x)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定
1 2
周期性．
(1)判断抽象函数单调性的方法
①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x)－f(x)＝f((x －x)＋
2 1 2 1
x)－f(x)或f(x)－f(x)＝f(x)－f((x－x)＋x)；
1 1 2 1 2 1 2 2
②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x)－f(x)＝f －f(x)或f(x)
2 1 1 2
－f(x)＝f(x)－f .
1 2
(2)常见的抽象函数模型
①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；
②幂函数f(x)＝xa，对应f(xy)＝f(x)f(y)或f ＝；
③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝；
④对数函数f(x)＝log x(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f ＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；
a
⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin 2α－sin 2β＝sin(α＋
β)sin(α－β)；
⑥余弦函数f(x)＝cos x，对应f(x)＋f(y)＝2f f ，来源于cos α＋cos β＝2cos ·
cos ；
⑦正切函数f(x)＝tan x，对应f(x±y)＝，来源于tan(α±β)＝.
典例 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满
足f(2)＝1，则下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(－2)＝－1C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)
D．f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023
(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且
f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是( )
A．f(0)＝1
B．函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称
C．g(1)＋g(－1)＝0
D．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(
)
A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1
(2)若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是( )
A. B．(1，＋∞)
C. D.
(3)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C. D．1
题型三 函数的周期性
例4 (1)(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f ＝，则f 等于(
)
A．－ B．－ C. D.
(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)
＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是( )
A．2 024 B．2 023 C．1 D．0
跟踪训练3 (多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝
0，f(－x)＝－f(x)，则( )
A．f(2)＝0
B．f(x＋4)为偶函数
C．f(x)为周期函数
D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称
