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§4.5 三角函数的图象与性质
课标要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助
图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，， (π ， 0) ，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，， (π ，－ 1) ，，(2π，
1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
单调递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π]
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴
x ＝ k π ＋ x ＝ k π
方程
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．( × )
(2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( × )
(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．( × )
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( × )
2．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案 ABC
解析 由题意得f(x)＝－cos x，
对于A，T＝＝2π，故A正确；
对于B，因为y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，故B正确；
对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x
＝0对称，故C正确，D错误．
3．函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是( )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 D
解析 令2x－＝，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
所以函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是，k∈Z.
4．函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝________.
答案 5 ＋2kπ(k∈Z)
解析 函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z).题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
答案 C
解析 由cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
(2)如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为当x∈时，x＋∈，
所以sin∈，
当x＝时，sin有最小值－.
可得f(x)＝sin＋＋a的最小值为－＋＋a＝，解得a＝.
思维升华 三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1 (1)函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 函数y＝tan＝－tan，
令x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋kπ，k∈Z，
∴函数y的定义域是.
(2)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 因为f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x
＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，
所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
例2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(
)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．点是y＝f(x)图象的对称中心
C．点是y＝f(x)图象的对称中心
D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴
答案 AD
解析 f(x)＝sin x(sin x－cos x)
＝sin2x－sin xcos x
＝－sin 2x
＝－sin＋，
T＝＝π，故A正确；
当x＝－时，2x＋＝0，
此时sin＝0，
则函数关于点对称，故B错误；
当x＝时，2x＋＝，此时sin＝1，
则函数关于直线x＝对称，故C错误；
当x＝时，2x＋＝，此时sin＝－1，
则函数关于直线x＝对称，故D正确．
(2)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为________．
答案
解析 由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为φ∈，
所以当k＝0时，φ＝符合题意．
思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函
数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；
如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．对于可化为f(x)＝
Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即
可．
跟踪训练2 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan
答案 ABC
解析 A中，y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π；
D中，y＝tan的最小正周期T＝.
(2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，
则f ＝________.
答案
解析 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，
则
∵|φ|<，∴ω＝2，φ＝，
故f(x)＝2sin，
则f ＝2sin＝.
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
答案 C
解析 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确；
对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确；
对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确．(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
答案 ，k∈Z
解析 f(x)＝sin的单调递减区间是g(x)＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.
延伸探究 若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间．
解 令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，
∴A∩B＝∪，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
命题点2 根据单调性求参数
例4 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由x∈，可得2x－φ∈，
又由0<φ<，且f(x)在上单调递增，
可得－φ≤，所以≤φ＜.
当x∈时，2x－φ∈，
由f(x)在上有最小值，可得－φ>，
所以φ<.综上，≤φ<.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知f(x)＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，
∴f(x)在上的单调递减区间为.
(2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是( )
A. B. C. D．π
答案 A
解析 f(x)＝cos x－sin x＝cos，
由题意得a>0，
因为f(x)＝cos在[－a，a]上单调递减，
所以解得00)两对称中心间的最小距离为，则ω等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，
所以＝，则T＝π，
所以T＝＝π，解得ω＝1.
2．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2,0]上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
答案 D
解析 ∵x∈[－2,0]，
∴2x－∈，
∵－<－4－<－π<－<0，
∴函数f(x)＝cos在[－2,0]上先减后增．
3．已知函数f(x)＝2cos，设a＝f ，b＝f ，c＝f ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
答案 A
解析 a＝f ＝2cos ，b＝f ＝2cos ，
c＝f ＝2cos ，
因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，
又0<<<<π，
所以a>b>c.
4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)
的图象的两条相邻对称轴，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，
所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2，
由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，
则f(x)＝sin，
则f ＝sin＝.
5．(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cos 2x，则下列结论错误的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)的最大值为2
答案 B
解析 因为f(－x)＝sin|－x|－cos(－2x)＝sin|x|－cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确；
若f(x)的最小正周期为π，则f(x＋π)＝f(x)恒成立，即sin|x＋π|－cos 2(x＋π)＝sin|x|－cos 2x，
即sin|x＋π|＝sin|x|恒成立，而当x＝时，sin ≠sin ，所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，
则B错误；
由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)＝sin x－cos 2x＝2sin2x＋sin
x－1＝22－，因为sin x∈[－1,1]，所以22－∈，即f(x)的值域为，则C和D正确．
6．(2023·安康模拟)记函数f(x)＝sin＋b(ω∈N*)的最小正周期为T，若0)，且满足________．
从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的
图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)函数f(x)＝asin－2cos2
＝asin－cos－1
＝asin－cos－1
＝asin＋sin－1
＝(a＋1)sin－1，
若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1，则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，
且f(x)的最小正周期T＝＝π，
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1.
若选择条件③f(x)的图象过点，
则f ＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1.
所以f(x)＝2sin－1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令f(x)＝1，得sin＝1，
解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z.
若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝，
所以实数m的取值范围是.
15．(2024·抚顺模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y≠0，y∈R}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
答案 D
解析 函数f(x)的周期是2π，故A错误；
f(x)的值域是[0，＋∞)，故B错误；
当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴直线x＝不是函数f(x)图象的一条对称轴，故C错误；
令kπ－
