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§4.5 三角函数的图象与性质
课标要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助
图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，____________，
____________，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，____________，
____________，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
单调递
增区间
单调递
减区间
对称
中心
对称轴方程
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．( )
(2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( )
(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．( )
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
2．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
3．函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是( )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
4．函数y＝3－2cos的最大值为____________，此时x＝____________________.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
(2)如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为( )
A. B.
C. D.
思维升华 三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1 (1)函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
(2)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
题型二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
例2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(
)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．点是y＝f(x)图象的对称中心
C．点是y＝f(x)图象的对称中心
D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴
(2)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为________．
跟踪训练2 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan
(2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，
则f ＝________.
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________________________．
延伸探究 若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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命题点2 根据单调性求参数
例4 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
(2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是( )
A. B. C. D．π
