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专题 03 函数的奇偶性、周期性、对称性
目录
题型一： 函数奇偶性的判断...........................................................................................................3
题型二： 函数奇偶性求值...............................................................................................................5
题型三： 函数奇偶性求解析式.......................................................................................................7
题型四： 函数奇偶性求参数.........................................................................................................10
题型五： 函数奇偶性与不等式....................................................................................................12
题型六： 函数的周期性.................................................................................................................15
题型七： 函数的对称性.................................................................................................................18
题型八： 函数性质综合.................................................................................................................21
知识点总结
知识点一、函数的奇偶性
偶函数 奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如
定义 果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝ 果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝
f ( x ) － f ( x )
图 象 特
关于 y 轴 对称 关于原点对称
征
知识点二、函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个
函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期．【常用结论与知识拓展】
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那
么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对
称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x
＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)
中心对称．例题精讲
题型一：函数奇偶性的判断
【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既
不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于
± f ( x ) .
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象 关于原点 ( y 轴 ) 对称 .
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇
(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为 奇 ( 偶 ) 函数 ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
【例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1） ， ， ；
（2） ， ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1） ， ， ，定义域关于原点不对称，故函数为非
奇非偶函数；
（2） ， ， ， ，故函数为偶函数；
（3） ， ，故函数为奇函数；
（4） ，满足 ，故函数为奇函数．
【变式训练1】判断下列函数的奇偶性，并证明．（1） ；
（2） ；
（3） ， ， ；
（4） ；
（5） ；
（6） ， ．
【解答】解：（1）函数的定义域为 ，关于坐标原点对称，且：
，函数 是奇函数．
（2）函数的定义域为 ，关于坐标原点对称，且：
，而 ，函数 是非奇非偶函数．
（3）函数的定义域不关于坐标原点对称，故函数 是非奇非偶函数．
（4）函数的定义域为 ，关于坐标原点对称，且：
，函数 是奇函数．
（5）函数的定义域为 ， 且 ，关于坐标原点对称，且：
， ，
函数 是奇函数．
（6）函数的定义域关于坐标原点对称，且：
， ，函数 是偶函数．
题型二：函数奇偶性求值
【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
【例2】已知 是奇函数，当 时， ，则 的值为 ．
【解答】解：因为 是奇函数，当 时， ，
所以 ，
则 ．
故答案为： ．
【变式训练1】已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：因为 是奇函数，当 时， ，
所以 （8） ，
则 （8） ．
故选： ．
【变式训练2】已知函数 为奇函数，且当 时， ，则
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：已知函数 为奇函数，且当 时， ，
则 （1） ．
故选： ．
【变式训练3】已知函数 为奇函数，当 时， ，且 ，则
A． B． C． D．2
【解答】解：根据题意，函数 为奇函数，且 ，则 （3） ，
又由当 时， ，则 （3） ，
即 ，解可得 ，
故选： ．
【例3】已知 ，且 ， （5）
A． B． C． D．
【解答】解： 关于 对称，
，
即 （5） ，得 （5） ，
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，若 ，则 （2）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，则令 ，
又 ，
则 （2），
则 （2） ，
若 ，则 ，
故选： ．
【变式训练2】已知函数 且 ，则 的值为 ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
题型三：函数奇偶性求解析式
【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出
【例4】下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是
A． B． C． D．
【解答】解： 是奇函数，最小正周期为 ，在 上先增后减，故 错；
是偶函数，最小正周期为 ，在 单调递减，故 错；
是偶函数，最小正周期为 ，在 上单调递增，故 错；
是奇函数，最小正周期为 ，在 上单调递增，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】下列既是奇函数且在 上单调递增的函数为
A． B．
C． D．【解答】解：对于 ， 为奇函数，在区间 上递减，在区间 上单调
递增，不符合题意；
对于 ， 为奇函数，且在区间 上递增，在区间 上单调递减，
不符合题意；
对于 ， 为奇函数，在 上单调递增，符合题意；
对于 ， 为偶函数，不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】已知定义在 ， 上的奇函数 ，当 时， ，
则 的值为
A． B．8 C． D．24
【解答】解： 在 ， 上是奇函数，
，解得 ，
又 时， ，
（4） ．
故选： ．
【例5】已知 为奇函数，当 时， ；则当 ， 的解析式为
．
【解答】解：任取 ， ，则 ，
因为 是奇函数，所以 ，
解得 ．故答案为： ．
【变式训练1】已知函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则当
时， 的解析式是
A． B． C． D．
【解答】解：任取 则 ，
时， ，
，①
又函数 在 上为奇函数
②
由①②得 时，
故选： ．
【变式训练2】已知 为奇函数， 为偶函数，且满足 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意， ，①，则 ，
又由 为奇函数， 为偶函数，则有 ，②，
① ② 可得： ，
故选： ．
【例6】已知函数 同时满足以下两个条件：①对任意实数 ，都有 ；②对任意实数 ， ，当 时，都有 ．则函数 的解析式可能
为
A． B． C． D．
【解答】解：对任意实数 ，都有 ，故函数为奇函数；
对任意实数 ， ，当 时，都有 ，即 ，
即 ， ，故函数单调递减．
对选项 单调递增，不满足；
对选项 单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项 单调递增，不满足；
对选项 不是奇函数，不满足．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 同时满足性质：① ；②对于 ， ，
，则函数 可能是
A． B． C． D．
【解答】解：由函数奇偶性的定义，若函数 满足 ，则函数 为奇函
数，由函数单调性的定义，若函数 满足 ， ， ，则函数
在区间 上单调递增，
选项中四个函数定义域均为 ， ，都有 ，
对 于 ， ， 故 为 奇 函 数 ， 满 足 性 质 ① ，
在 上单调递增，满足性质②；
对于 ，由指数函数的性质， 为非奇非偶函数，在 上单调递减，性质①，②
均不满足；
对于 ， ，故 为奇函数，满足性质①，
令 ， ，解得 ， ，
的单调递增区间为 ， ，故 在 不单调，不满足性质
②；
对于 ，由幂函数的性质， 为偶函数，在区间 ， 单调递增，不满足性质①，
满足性质②．
故选： ．
题型四：函数奇偶性求参数
【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等
性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值
【例7】若函数 为 上的奇函数，则实数 的值为
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根据题意，若函数 为 上的奇函数，则 恒成立，即 恒成立，
必有 ，即 ，
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，若 是偶函数，则
A． B． C．2 D．4
【解答】解：函数 ，
则有 ．
因为 是偶函数，所以 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练2】若 是奇函数，则 ， ．
【解答】解： ，
若 ，则函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得， 且 ，
且 ，
函数 为奇函数， 定义域必须关于原点对称，
，解得 ，
，定义域为 且 ，
由 得， ，
，故答案为： ； ．
【变式训练3】若函数 为奇函数，则 （a） （结果用数字
表示）．
【解答】解：设 ，则 ，
是奇函数；
，
，
．
故答案为：2．
题型五：函数奇偶性与不等式
【要点讲解】(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,
当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-
x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
【例8】已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，当 时， ，则使不
等式 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，当 时， ， 在区间 上为增函数且
，且 （2） ，
又由 为 上的奇函数，则 在区间 上为增函数，且 ，
（2） ，解可得 ，即原不等式的解集为 ；
故选： ．
【变式训练1】已知 为常数）为奇函数，则满足 （1）的实数
的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 为奇函数，
由奇函数性质可知 ，
所以 ，此时 单调递增，
由 （1）得 ．
故选： ．
【变式训练2】设 是定义域为 的偶函数，且在 ， 上单调递减，则满足
的 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 是定义域为 的偶函数，
所以 ，
又 在 ， 上单调递减，
所以在 上单调递增，
若 ，则 ，解得 ．
故选： ．【变式训练3】函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， （1） ，
则不等式 的解集为
A． ， B．
C． ， ， D．
【解答】解：因为函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， （1）
，
则不等式 可转化为 或 ，
即 ．
故选： ．
【变式训练4】已知定义在 上的函数 在 ， 上单调递减，且 为偶函数，
则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 为偶函数，
，即 ，
函数 的图象关于直线 对称，
又 函数 定义域为 ，在区间 ， 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，
由 得， ，解得 ．故选： ．
【变式训练5】定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ， ，有
，则
A． （3） （4） B． （3） （4）
C． （3） （4） D． （4） （3）
【解答】解：因为对任意的 ， ， ，有 ，
所以 在 ， 上单调递减，又 为偶函数，
所以 在 上单调递增，则 （2） （3） （4），
又 （2），所以 （3） （4）．
故选： ．
【变式训练6】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 ， ，则不等式
的解集是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：由题意可知 在 上单调递增， （1） ，且 ，
又函数 是定义在 上的奇函数， ，则有 在 ， 上单调递增，
则 是在 上的增函数， ，则不等式 等价于 或
解得 或 ．
故选： ．
题型六：函数的周期性
【要点讲解】(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周
期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具
有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
【例9】已知 是定义在 上的偶函数，并满足 ，当 ， ，
则
A．5.5 B． C． D．2.5
【解答】解： ， 函数 的一个周期为4
是定义在 上的偶函数
当 ，
故选： ．
【变式训练1】 是以2为周期的函数，若 ， 时， ，则 （3） 2
．
【解答】解：因为 是以2为周期的函数，若 ， 时， ，所以 （3） （1） ．
故答案为：2．
【变式训练2】已知函数 满足 ，且 ，当 时，
，则
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解： ，
，
又 ，
，即 ，
，
，
（1） ．
故选： ．
【变式训练3】已知函数 的周期为1，则
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数 的周期为1，则 的周期为4，
依次分析选项：
对于 ， 的周期为4，则有 ， 正确；
对于 ， 表示周期为1，而 的周期为4， 错误；对于 ，由 ，可得 ，将 代替 ，可得
，可得 的周期为8，而 的周期为4， 错误；
对于 ，不能确定 的图象是否关于点 对称，即 不一定成立，
错误；
故选： ．
【变式训练4】已知函数 为定义在 上的奇函数，且 ，当
时， ，则
A．2021 B．1 C． D．0
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，所以函数的周期为4，
所以 （1），
因为函数 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，
所以 （1） ，
所以 ，
故选： ．
【变式训练5】设 是定义在 上周期为4的奇函数，若在区间 ， ， 上，
，则 ．
【解答】解：因为 是奇函数，所以 （1），即 ，
解得 ，
又因为 的周期为4，
所以 （2），即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
【变式训练6】函数 是定义在 上的偶函数，且 ，若 ， ，
，则
A．4 B．2 C．1 D．0
【解答】解：因为 ，且 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以函数 的周期为2，
所以 （1） ．
故选： ．
【变式训练7】已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当时， ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 的图象关于原点对称，
所以 为奇函数，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 是周期为4的周期函数，
故 （1），又 （1），
所以由 ，可得 ，
而 ，解得 ．
故选： ．
题型七：函数的对称性
【要点讲解】(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出
函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
a+b
② 若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x= ;
2
③ 若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
a+b c
④ 若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:( , ).
2 2【例10】已知函数 ，则 的图象
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于原点对称
【解答】解： ，
则 ，
所以 ，
则函数 的图象关于点 对称，
故选： ．
【变式训练1】函数 的图象关于直线 对称，那么
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是偶函数
【解答】解：由 的图象关于 对称可知， ， ，
把函数 的图象向左平移1个单位可得 的图象，关于 对称，即为偶函
数，
把函数 的图象向右平移1个单位可得 的图象，关于 对称，
故选： ．
【变式训练2】已知函数 的图象关于直线 对称，关于 对称，则下列说法正确
的是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ， ，故 ， ， 正确， 错误， 正确；
所以 ， 正确．
故选： ．
【变式训练3】函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，给出下列四个结论：
① 图象的对称中心是 ；
② 图象的对称中心是 ；
③类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是 为
偶函数：
④类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是 为
偶函数．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【解答】解：函数 是奇函数，对称中心为 ，将 图象向右平移2个单
位，再向上平移1个单位可得 的图象，
所以 图象的对称中心是 ，故①正确，②错误，
若函数 的图象关于直线 成轴对称图形，图象向左平移 个单位长度可得
关于 即 轴对称，
所以 为偶函数，故③正确，④错误，
所以所有正确结论的序号是①③，
故答案为：①③．【变式训练4】设函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，当 ，
时， ，若 （1） ，则 ．
【解答】解： 是奇函数， 是偶函数，
，
则 ，则 ，
即 是周期为4的周期函数，
则 时， （1） （1），则 （1） ，
（1） ， ，
即 （2） ，
则 ，得 ， ，
，
故答案为： ．
题型八：函数性质综合
【要点讲解】(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
【例11】已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时，
，则A． B．3 C． D．
【解答】解：根据题意，由 是偶函数，得 ，
令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ，
则有 ，即 ，所以函数 周期为4．
因为 ，则有 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】已知 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且当 ，
时， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：由 为奇函数，得 ，即 ，
又由 为偶函数，得 ，即 ，
于是 ，即 ，因此 的周期
为8，
又当 ， 时， ，则 在 ， 上单调递增，
由 ，得 的图象关于点 成中心对称，则函数 在 ， 上单
调递增，
因此函数 在 ， 上单调递增，由 ，得 的图象关于直线对称，
（3） （1）， ， ，
，显然 ，即有 ，即 ，
所以 ， ， 的大小关系为 ．
故选： ．
【变式训练2】已知函数 ，则不等式 的解集
为
A． ， ， B． ， ，
C． D． ， ，
【解答】解：依题意， ， ，
故 ，
故函数 的图象关于 中心对称，
当 时， ， ， 单调递减，
故 在 上单调递减，且 ，
函数 的图象关于 中心对称， 在 上单调递减，
所以 ，
而 ，
故 或 或 ，
解得 或 ，
故所求不等式的解集为 ， ， ．故选： ．
【变式训练3】已 知 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 ， 且 ，
，若 为偶函数，且 （2） ，则
A．5 B．4 C．3 D．0
【解答】解： ， 以 为对称中心，且 （1） ，
，即 ，
为偶函数，以 轴为对称轴，
，即 ，
由 知， ，
， ，
从而 ，即 ，
的周期为4， 的周期为4，
故 （2） （1） ．
故选： ．
【变式训练4】已知函数 ，若 的最小值为
0，则
A． B． C． D．
【解答】解：若 的最小值为0，
则等价为当 时， 恒成立，且存在 ，使得 ，同除以 ，得 ，
整理得 ，
， ，当且仅当 时，取等号．
当 时，即 时， ，不合题意，
当 时，即 时，由判别式△ ，得 ，得 符
合题意．
综上 ．
故选： ．
【变式训练5】已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯
一零点，则实数 的值为
A． 或 B． 或 C． D．
【解答】解：因为 ①，
又函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，
则 即 ②，
① ②可得， ，
由于 关于直线 对称，则 关于直线 对称，
因为 为偶函数，则 关于 轴对称，
所以 关于 对称，
关于 对称，
由于函数 有唯一零点，
则必有 ，且 ，
即 ，
解得 或 ．
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1 ． 定 义 在 上 的 偶 函 数 满 足 ： 对 任 意 的 ， ， ， 有
，则
A． （3） （4） B． （3） （4）
C． （3） （4） D． （4） （3）
【解答】解：因为对任意的 ， ， ，有 ，所以 在 ， 上单调递减，又 为偶函数，
所以 在 上单调递增，则 （2） （3） （4），
又 （2），所以 （3） （4）．
故选： ．
2．下列函数为偶函数且在 上单调递减的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ：定义域为 ， ， ， ，则 是
偶函数．
当 时， ，在 上单调递减，故 正确；
对于 ，则 不是偶函数，故 错误；
对于 的对称轴为 ，即 在 上单调递增，故 错误；
对于 的定义域为 ， ，不关于原点对称，即 不是偶函数，故
错误．
故选： ．
3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，
， ，则 ， ， 大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：由于函数 是定义在 上的偶函数，且在 ， 为单调递减函数，
由于 ， ， ，
又 ，
故 ．故选： ．
4．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于 对称．若 （1）
，则 （2） （3）
A．3 B．2 C．0 D．50
【解答】解：因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，
又 的图象关于 对称，则 ，即 ①，
则 （2） ， （3） （1） ．
在①中， ，则 ，所以函数 的周期为4，
即 （4） ．则有 （1） （2） （3） （4） ，
所以 （2） （3） （1） （2） （1）
（1） （2） （1） （1）
（2） （1） （2）
故选： ．
5．若定义在 上的奇函数 在区间 上单调递增，且 （3） ，则满足
的 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：因为定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 （3） ，
所以 在 上也是单调递增，且 ， ，所以当 ， ， 时， ，当 ， ， 时， ，
所以由 ，可得 或
解得 或 ，即 ， ， ，
故选： ．
6 ． 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 的 ， 都 有
恒成立，则关于 的不等式 的解集为
A． B．
C． D． ， ，
【解答】解：因为 是定义在 上的偶函数，
所以 的图象关于 对称，
因为对任意的 ，都有 恒成立，
所以 在 ， 上单调递减，
根据函数对称性可知， 在 上单调递增，
则关于 的不等式 可转化为 ，
解得 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的 ， ，当 时，都有
的是A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数 在 上单调递增，
对于 ，由二次函数的性质可知， 为偶函数，且在 上单调递增，符合题意；
对于 ，由反比例函数的性质可知， 为奇函数，且在 上单调递减，不合题
意；
对于 ，由绝对值函数的性质可知， 为偶函数，且在 上单调递增，符合题
意；
对于 ，函数 的定义域为 ， 为非奇非偶函数，不合题意．
故选： ．
8．若函数 ， 分别为 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有
A． B．
C． （2） （3） D． （2） （3）
【解答】解：根据题意，函数 ， 分别为 上的奇函数、偶函数，且满足
，①
则 ，变形可得 ，②，
联立①②可得： ， ，故 正确， 错误；
则 （2） ， ， （3） ，
则有 （2） （3），故 错误， 正确；
故选： ．三．填空题（共4小题）
9．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 ， 上单调递减， 为偶函数，
若 在 ， 上恰好有4个不同的实数根 ， ， ， ，则
24 ．
【解答】解：由 为偶函数，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故 ，即有 ，
综上， 的周期为8，且关于 对称的奇函数，
由 在 ， 上单调递减，结合上述分析知：在 ， 上递增， ， 上递减， ，
上递增，
所以 在 ， 的大致草图如下：
要使 在 ， 上恰好有4个不同的实数根，即 与 有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于 ， 对称，则 ．
故答案为：24．
10．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 ， 时，
．若 （3） ，则 ．【解答】解：由 为奇函数，
则 ，①
由 为偶函数，
则 ，②
由①可得： （2） ，
由②可得： （3） （1），
又 （3） ，
则 ，
即 ，
由①，令 ，则 （1） ，
即 ，
即 ，
又由①②可得： ，
即函数 为周期为4的周期函数，
即 ，
故答案为： ．
11．已知 是定义在 上的偶函数， 的图象是一条连续不断的曲线，若 ，
， ，且 ， ，则不等式 的
解集为 ．【解答】解：令 ，则 ， ， ，且 ，
根据题意， ，
所以 在 ， 上单调递增，
又 是偶函数，所以 为 上奇函数，
所以 在 上单调递增，
由 ，
得 ，
即 ，
所以 ，
得 ．
故答案为： ．
12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： （答案不唯一） ．
①定义域为 ；②值域为 ；③ 是奇函数．
【解答】解：由题意满足条件的函数为 ，
理由如下：因为 恒成立，所以函数的定义域为 ，
则 ，由 ，
则 ，所以 ，则 ，
所以函数 的值域为 ，又 ，
所以函数为奇函数，
故答案为： （答案不唯一）．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数 是奇函数．
（1）求 的值，并求 的定义域；
（2）已知实数 满足 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 是奇函数．
，
，
解得 ，
，其定义域为 ；
（2）由 得， 在 上是减函数，
，
即 ，
或 ，
即 ， ， ．
14．已知函数 ．（1）求函数 的定义域；
（2）若 （a） ，求实数 的值；
（3）若 ，求证： 为偶函数，并求 的解集．
【解答】解：（1）要使得 有意义，只需 ，得 ，故得 ，
所以函数 的定义域为 ；
（2）因为 （a） ，得 ，即 ，解得 ；
（3）因为 ，
由 ，得 或 ，则 的定义域为 ， ， ，
又 ，所以 为偶函数；
由 ，得 ，则 ，所以 或 ，
所以 的解集为 或 ．
15．设 ．
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 在其定义域上的单调性，并说明理由；
（3）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）函数 为奇函数，证明如下：
由 ，可得 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，，所以函数 为奇函数．
（2）函数 在其定义域上单调递增，理由如下：
，
因为函数 在 上单调递增， 为增函数，
所以由复合函数的单调性可知 在定义域 上单调递增．
（3） ，则 ，
所以 ，
解得 ，
即 的取值范围是 ．
