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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通
用）
第 08 讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称
性（精讲）
题型目录一览
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任
意一个 ， 也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任
何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周
期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个
最小整数叫做 的最小正周期.
【常用结论】
11.奇偶性技巧
（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．②函数
．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．②函数 ．③函数 类型的
一切函数．
2.周期性技巧
23.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且
；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函
数，且 ；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是
周期函数，且 .
4.对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于
原点对称．
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数
可能是（ ）
3A． B．
C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图
像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数，
4为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____，
______．
题型 一 函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶
＝奇．
5【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【题型训练】
一、单选题
1．函数 的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
2．已知奇函数 ，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
3．若函数 为奇函数，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6二、填空题
5．函数 为偶函数，当 时， ，则 时，
___________．
6． ，若 ，则 __________.
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的解集
是__________.
三、解答题
8．已知函数
(1)求函数 解析式；
(2)判断函数 的奇偶性并加以证明
9．已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)令 ，求证： 为奇函数；
(3)若锐角 满足 ，求 的取值范围．
题型二 函数奇偶性的应用
策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题
7【典例1】若函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．5 D．7
【典例2】若函数 是偶函数，则 、 的值是（ ）
A． B． 不能确定，
C． ， 不能确定 D．
【典例3】偶函数 满足： ，且在区间 与 上分别递
减和递增，使 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 为 上的奇函数，当 时，
，则 （ ）
8A． B． C． ＋1 D．
4．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数 在 上单调递增，则
的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，
在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上是偶函数，在区间 上
是单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为
R， 为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
三、填空题
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数 （其中 是自然对数的底数，
）是奇函数，则实数 的值为______.
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在
上单调递减，且 ，则不等式 的解集为______.
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在 上的函数 ，
满足 为偶函数， 为奇函数，若 ，则
__________.
912．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数 的定义域为 ，若
为奇函数，且 ，则 _________.
题型三 函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【典例1】若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知定义在 上的奇函数， 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数 是定义在R上奇函数，且
， ，则 （ ）
A．0 B． C．2 D．1
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的图像关于y轴对称，且周期
为3，又 ，则 的值是（ ）
A．2023 B．2022 C． D．1
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数 满足 ，且 是
10偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，都有
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数 满足 ，下列说法正确
的是（ ）
A．函数 是以2为周期的周期函数
B．函数 是以4为周期的周期函数
C．函数 为偶函数
D．函数 为偶函数
三、填空题
7．（2023·江西南昌·统考二模） 是以2为周期的函数，若 时， ，则
________．
8．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，且
，则 ________．
9．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知定义在实数集 上的函数 满足
，且当 时， ，若 ，则
的最小值为__________.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对
称，对任意 ， ，都有 ，且 ．
(1)求f ；
11(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
题型四 函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】已知二次函数 满足 ，且 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】函数 在 上是增函数，函数 是偶函数，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（
）
12A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若 的偶函数，其定义域为 ，且在 上
是减函数，则 与 得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在 上的函数 满足
，且 为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2022 D．2023
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于坐标原点对称 B． 的图象关于 轴对称
C． 的最大值为1 D． 在定义域上单调递减
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，且函数 的图像关于
直线 对称，函数 的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是
（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
三、填空题
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在R上的非常数函数
满足： ，且 .请写出符合条件的一个函数的解析式
______.
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，若 的图像关于直线 对称，则 _________.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 （a，b为常数）满足
，且方程 有两等根， 在 上的最大值为 ，则
的最大值为__________.
四、解答题
9．（教材习题全解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质）我们知道，函数
13的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同
学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是
函数 为奇函数.
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数 的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是
函数 为偶函数”的一个推广结论.
题型 五 函数性质的综合应用
【典例1】若 的定义域为 ，且满足 为偶函数， 的图象关于
成中心对称，则下列说法正确的个数是（ ）
① 的一个周期为4
②
③ 图象的一条对称轴为
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题）已知定义在 上的函数
满足 ， ， 在区间 内单调且
，则 （ ）
A． B．5055
C． D．1011
2．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）定义在 上的奇函数 满足
为偶函数，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
14C． D．
3．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）函数 的
图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在 上函数 满足
， .当 时， ，则下列选项
能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）定义在 上的函数 满足
， ，若 ，其中 为正整数，则
（ ）
A．2是 的一个周期 B．
C． 的图象关于 对称 D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 、 的定义域均为 ， 为偶函数，
且 ， ，下列说法正确的有（ ）
15A．函数 的图象关于 对称 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以 为周期的周期函数 D．函数 是以 为周期的周期函数
三、填空题
7．（2020·北京·统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加
强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为
，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知
整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知R上的偶函数 在区间 上单调递增，且
恒有 成立，给出下列判断：① ；② 在 上是增函数；
③ 的图象关与直线 对称；④函数 在 处取得最小值；⑤函数 没
有最大值，其中判断正确的序号是______ ．
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