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专题 03 函数的奇偶性、周期性、对称性
目录
题型一： 函数奇偶性的判断...........................................................................................................3
题型二： 函数奇偶性求值...............................................................................................................4
题型三： 函数奇偶性求解析式.......................................................................................................5
题型四： 函数奇偶性求参数...........................................................................................................7
题型五： 函数奇偶性与不等式.......................................................................................................7
题型六： 函数的周期性...................................................................................................................9
题型七： 函数的对称性.................................................................................................................10
题型八： 函数性质综合.................................................................................................................12
知识点总结
知识点一、函数的奇偶性
偶函数 奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如
定义 果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝ 果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝
f ( x ) － f ( x )
图 象 特
关于 y 轴 对称 关于原点对称
征
知识点二、函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个
函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期．【常用结论与知识拓展】
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ ＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ ＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那
么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝ ，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－ ，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对
称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x
＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)
中心对称．
例题精讲
题型一：函数奇偶性的判断
【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既
不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于
± f ( x ) .
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象 关于原点 ( y 轴 ) 对称 .
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇
(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为 奇 ( 偶 ) 函数 ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
【例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1） ， ， ；
（2） ， ；
（3） ；
（4） ．
【变式训练1】判断下列函数的奇偶性，并证明．
（1） ；
（2） ；（3） ， ， ；
（4） ；
（5） ；
（6） ， ．
题型二：函数奇偶性求值
【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
【例2】已知 是奇函数，当 时， ，则 的值为
．
【变式训练1】已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是
A．8 B． C．4 D．
【变式训练2】已知函数 为奇函数，且当 时， ，则
A．1 B． C．2 D．
【变式训练3】已知函数 为奇函数，当 时， ，且，则
A． B． C． D．2
【例3】已知 ，且 ， ( )
A． B． C． D．
【变式训练1】已知函数 ，若 ，则
( )
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数 且 ，则 的值为
．
题型三：函数奇偶性求解析式
【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出
【例4】下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列既是奇函数且在 上单调递增的函数为
A． B．C． D．
【变式训练2】已 知 定 义 在 ， 上 的 奇 函 数 ， 当 时 ，
，则 的值为
A． B．8 C． D．24
【例5】已知 为奇函数，当 时， ；则当 ， 的解析
式为 ．
【变式训练1】已知函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则当
时， 的解析式是
A． B．
C． D．
【变式训练2】已知 为奇函数， 为偶函数，且满足 ，则
A． B． C． D．
【例6】已知函数 同时满足以下两个条件：①对任意实数 ，都有 ；②对任意实数 ， ，当 时，都有 ．则函数 的解析式
可能为
A． B． C． D．
【变式训练1】已知函数 同时满足性质： ① ；②对于 ，
， ，则函数 可能是
A． B． C． D．
题型四：函数奇偶性求参数
【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等
性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值
【例7】若函数 为 上的奇函数，则实数 的值为
A． B． C．1 D．2
【变式训练1】已知函数 ，若 是偶函数，则 ( )
A． B． C．2 D．4
【变式训练2】若 是奇函数，则 ， ．【变式训练3】若函数 为奇函数，则 （结果用
数字表示）．
题型五：函数奇偶性与不等式
【要点讲解】(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,
当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-
x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
【例8】已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，当 时， ，则使
不等式 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练1】已知 为常数）为奇函数，则满足 （1）的实数
的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】设 是定义域为 的偶函数，且在 ， 上单调递减，则满足
的 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练3】函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， （1），则不等式 的解集为
A． ， B．
C． ， ， D．
【变式训练4】已知定义在 上的函数 在 ， 上单调递减，且 为偶函
数，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【变式训练5】定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ， ，
有 ，则
A． （3） （4） B． （3） （4）
C． （3） （4） D． （4） （3）
【变式训练6】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 ， ，则不
等式 的解集是
A． ， ， B． ， ，C． ， ， D． ， ，
题型六：函数的周期性
【要点讲解】(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周
期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具
有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
【例9】已知 是定义在 上的偶函数，并满足 ，当 ，
，则
A．5.5 B． C． D．2.5
【变式训练1】 是以2为周期的函数，若 ， 时， ，则
．
【变式训练2】已知函数 满足 ，且 ，当
时， ，则
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练3】已知函数 的周期为1，则
A． B．
C． D．【变式训练4】已知函数 为定义在 上的奇函数，且 ，当
时， ，则
A．2021 B．1 C． D．0
【变式训练5】设 是定义在 上周期为4的奇函数，若在区间 ， ， 上，
，则 ．
【变式训练6】函数 是定义在 上的偶函数，且 ，若 ， ，
，则
A．4 B．2 C．1 D．0
【变式训练7】已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当
时， ，若 ，则
A． B． C． D．
题型七：函数的对称性
【要点讲解】(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出
函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;a+b
② 若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x= ;
2
③ 若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
a+b c
④ 若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:( , ).
2 2
【例10】已知函数 ，则 的图象
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于原点对称
【变式训练1】函数 的图象关于直线 对称，那么
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是偶函数
【变式训练2】已知函数 的图象关于直线 对称，关于 对称，则下列说法正
确的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，给出下列四个结论：① 图象的对称中心是 ；
② 图象的对称中心是 ；
③类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是
为偶函数：
④类比可得函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是
为偶函数．
其中所有正确结论的序号是 ．
【变式训练4】设函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，当 ，
时， ，若 ，则 ．
题型八：函数性质综合
【要点讲解】(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
【例11】已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时，
，则
A． B．3 C． D．【变式训练1】已知 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且当 ，
时， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数 ，则不等式
的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． D． ， ，
【变式训练3】已 知 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 ， 且 ，
，若 为偶函数，且 ，则
A．5 B．4 C．3 D．0
【变式训练4】已知函数 ，若 的最小值
为0，则A． B． C． D．
【变式训练5】已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
， 若 函 数
有唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B． 或 C． D．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1 ． 定 义 在 上 的 偶 函 数 满 足 ： 对 任 意 的 ， ， ， 有
，则
A． （3） （4） B． （3） （4）
C． （3） （4） D． （4） （3）
2．下列函数为偶函数且在 上单调递减的是
A． B． C． D．
3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，， ，则 ， ， 大小关系为
A． B． C． D．
4．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于 对称．若 （1）
，则 （2） （3）
A．3 B．2 C．0 D．50
5．若定义在 上的奇函数 在区间 上单调递增，且 （3） ，则满足
的 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6 ． 已 知 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 对 任 意 的 ， 都 有
恒成立，则关于 的不等式 的解集为
A． B．
C． D． ， ，
二．多选题（共2小题）
7．下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的 ， ，当 时，都有
的是
A． B． C． D．
8．若函数 ， 分别为 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有A． B．
C． （2） （3） D． （2） （3）
三．填空题（共4小题）
9．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 ， 上单调递减， 为偶函数，
若 在 ， 上恰好有4个不同的实数根 ， ， ， ，则
．
10．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 ， 时，
．若 （3） ，则 ．
11．已知 是定义在 上的偶函数， 的图象是一条连续不断的曲线，若 ，
， ，且 ， ，则不等式 的
解集为 ．
12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： ．
①定义域为 ；②值域为 ；③ 是奇函数．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数 是奇函数．
（1）求 的值，并求 的定义域；
（2）已知实数 满足 ，求 的取值范围．
14．已知函数 ．（1）求函数 的定义域；
（2）若 （a） ，求实数 的值；
（3）若 ，求证： 为偶函数，并求 的解集．
15．设 ．
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 在其定义域上的单调性，并说明理由；
（3）若 ，求 的取值范围．
