文档内容
第 01 讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数
判断对数函数的单调性
求函数值
2024年新I卷，第8题,5分 比较函数值的大小关系
抽象函数的关系
函数奇偶性的定义与判断 根据函数零点的个数求参数范围
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
函数奇偶性的应用 求余弦(型)函数的奇偶性
函数单调性、极值与最值的综合应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 函数对称性的应用 利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第11题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023年新Ⅱ卷，第4题,5分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
抽象函数的奇偶性
2022年新I卷，第12题,5分 函数与导函数图象之间的关系
函数对称性的应用
2022年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021年新I卷，第13题,5分 由奇偶性求参数 无
2021年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021年新Ⅱ卷，第14题,5分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020年新I卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 复合函数的单调性 对数函数单调性2020年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
1. 函数的单调性(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x，x
1 2
定义
当xf(x)，那么就说函数
1 2 1 2 1 2 1 2
f(x)在区间D上是增函数 f(x)在区间D上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(3)对于任意的x∈I，都有
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
条件 f(x)≥M；
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(4)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
2. 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗ ②减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
③ 为↗，则 为↘， 为↘ ④增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
⑤减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘ ⑥增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
（2）复合函数的单调性
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数： ，图象关于原点对称偶函数： ，图象关于 轴对称
③奇偶性的运算
4. 周期性（差为常数有周期）
①若 ，则 的周期为：
②若 ，则 的周期为：
③若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
④若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若 ，则 的对称轴为
②若 ，则 的对称轴为
点对称
①若 ，则 的对称中心为
，则 的对称中心为
②若
6. 周期性对称性综合问题
①若 ， ，其中 ，则 的周期为：
②若 ， ，其中 ，则 的周期为：③若 ， ，其中 ，则 的周期为：
7. 奇偶性对称性综合问题
①已知 为偶函数， 为奇函数，则 的周期为：
为奇函数， 为偶函数，则 的周期为：
②已知
考点一、 根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【详解】对于A：函数 的定义域为R，
又 ，所以 是偶函数，故A错误；对于B：由幂函数 的图象可知， 在 上单调递增，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，
又 ，所以 是奇函数，
又幂函数 都在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，故C正确；
对于D：因为对数函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故D错误.
故选：C.
1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断.
【详解】对于A，因为 是周期函数，在 上不单调，故A错误；
对于B， 在 上是 ，单调递增，故B错误；
对于D， 是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为 轴，
所以它在 上为增函数，故D错误；
对于C，只有 这个函数在 上单调递减，故C正确.
故选：C
2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义 ，即可判断四个选项的奇偶性，只有 是奇函数，又正切函
数在 上不是单调递增函数，而函数 的导函数恒大于零，所以只有C正确.【详解】对于A， ， 为偶函数，故A错误；
对于B， ， 为奇函数，又 在 不满足单调递增
定义，所以B错误；
对于C， ， 为奇函数， ， 在
区间 上单调递增，故C正确；
对于D， 是非奇非偶函数，所以D错误.
故选：C.
考点二、 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
1．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．（2024·全国·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得 的单调性，从而可求得t的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数 在 上单调
递减，则 ，解得 .
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 且 ）在定义域内是增
函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，
因为函数 在定义域内是增函数，则满足 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C．
考点三、 根据函数单调性解不等式1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.
【详解】由 ，可得 ，
因为 是奇函数，且 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：D
2．（2020·山东·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．（2024·四川南充·二模）设函数 ，则满足 的 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】构造函数 ，说明其单调性和奇偶性, 转化为 解不
等式即可求解.
【详解】 ，
设 ，
又易知 ， 为 上的奇函数，
又 ，
在 上单调递增，
又 ，
，
，
，又 为 上的奇函数，
，又 在 上单调递增，
，
，
故满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由 ，故 在 上单调递增，
由 ，有 ，即 .
故选：A.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】判断 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】 ，定义域为 ，又 ，故 为偶函数；
又当 时， 均为单调增函数，故 为 上的单调增函数；
又 ，故当 时， ，则此时 为 上的单调增函数，故 时，
为单调减函数；
，即 ，则 ，即 ， ，
也即 ，解得 .
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，即可判断 为奇函数，又 ，可得 图象的对称中心为
，则 ，再判断 的单调性，不等式 ，即
，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设 ， ，则 ，所以 为奇函数．
又 ，
则 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的，
所以 图象的对称中心为 ，所以 ．
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故满足 的 的取值范围为 ．
故选：B
考点 四 、 根据函数单调性比较函数值大小关系1．（2024·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当 时，
恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【详解】当 时， 恒成立，
即当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 为偶函数，即 ，所以函数 关于 对称，
则函数 在 上单调递减，
所以
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用导数求得函数 的单调性，结合对数的运算性质，进而求得 的大小关系，得到答案.
【详解】因为函数 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
所以 在 和 上递增，在 上递减，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：D.
2．（2024·北京·模拟预测）函数 ，记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得 是 上的偶函数，由复合函数单调性可知 关于 在 上单调递减，
进一步比较对数、指数幂的大小即可求解.
【详解】注意到 定义域为全体实数，且 ，
所以 是 上的偶函数，
从而 ，
因为 在 上单调递增，
所以 关于 在 上单调递减，
而 ，
所以 .
故选：B.3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数的单调性以及对数运算判断处 ，再结合 的奇偶性以及单调
性，即可得答案.
【详解】因为 是定义在 上偶函数，所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
即 ，
故选：A．
考点 五 、 根据函数的奇偶性求参数值
1．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.2．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
3．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 为奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义可得 ，结合对数的运算性质计算即可求解.
【详解】因为 为R上的奇函数，所以 ，
即 ，
整理得 ，解得 .
故选：C
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数 是偶函数，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用偶函数可得 ，可求 的值.
【详解】因为函数 是偶函数，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，即 ，故A正确.
故选：A.
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数 为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】利用函数是奇函数得到 ，然后利用方程求解 ，即可得解．
【详解】因为函数 为奇函数，
所以 ，
当 时，则 ，
则 ，
即 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
考点 六 、 抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 为奇函数，则
（ ）
A． B．14 C． D．7
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.
【详解】因为 为奇函数，
故 ，
，
，
，
故 .
故选：C.
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求 及 ，故可判断各项的正误，也可以由题意得
，结合条件 推出 的解析式，进而即可求解
判断ABCD四个选项.【详解】法1：令 ，则 ，
令 ，则 ，
若 或 ，
若 ，则 即 ，
由 的任意性可得 不恒成立，故 不成立，故 ，
故A错误，B正确.
令 ，则 ，
故 为奇函数，且 ，它为 上的增函数，
故CD正确.
法2：由条件 ，得
，
由 的任意性得 为常数，
故代回去 得：
，
所以由 的任意性只能 ，即 ，为增函数，
所以 ， 为奇函数，
故A错，BCD对.
故选：BCD.
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为R，
， ，则（ ）
A． B．函数 是奇函数 C． D． 的一个周期为3
【答案】AC
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
【详解】令 ，则 ，所以 ，A选项正确；
令 ，则 ，即 ，所以 是偶函数，B选项错误；，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ， ，C选项正确；
令 ，则 ，
所以 ， ，所以 ， 的一个周期为
6，D选项错误.
故选：AC．
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶
函数，且对任意的 ， ，都有 ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于 对称 D．
【答案】BC
【分析】根据函数 的奇偶性和题设条件，推得 是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，
利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.
【详解】因为 为奇函数，所以
,即函数 关于 对称，C正确;
由函数 关于 对称可知 ,
又因为 为偶函数，所以
，即函数 关于 对称，
则 ,
所以 ,即 ,
所以 ,所以是 周期为4的周期函数，
所以 ,又 ,
所以 ,所以 ,所以 ,B正确;
是偶函数，A错误;对任意的 ,且 ,都有 ,不妨设 ,
则 ,由单调性的定义可得函数 在 上单调递增，
又由函数 关于 对称，所以 在 上单调递增
又 , ,
所以 ,得 ，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题
意，然后逐个选项分析即可．
考点 七 、 函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数 对任意的 ， ，都有
，且 ， ，则（ ）
A． B． 是奇函数 C． 的周期为4 D． ，【答案】ACD
【分析】令 ，即可判断A；令 ，即可判断B；令 ，求出 ，再令 ，即可判断
C；根据C选项可求出 ，再根据函数的周期性即可判断D.
【详解】由 ，
令 ，则 ，
又 ，所以 ，故A正确；
令 ，则 ，
所以 ，所以 是偶函数，故B错误；
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 的周期为4，故C正确；
由 ，得 ，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
是奇函数， ，且对任意 ，恒有 ，则一定有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶函数的定义得出： 是 上的奇函数，周期为 ，
是 上的偶函数，周期为 ；再逐项分析即可解答.【详解】因为 是 上的奇函数，
所以 ，
则 ，即 是 上的偶函数.
令 ，由 得： ，①
令 取 ，得 ，
结合 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，得 ，②
结合 ，由① ②可得： ，即 .
所以 ，
又因为 是 上的奇函数，
所以 ，
则 ，
所以函数 ， 是周期为 的函数.
对于选项A：因为 ， ，
所以令 ，得 ，
所以 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 是 上的奇函数，周期为 ，
所以 ，故选项B正确；
对于选项C：因为 ，
所以 ，故选项C错误；
对于选项D：因为 是 上的偶函数，周期为 ，
所以 .
令 ， ，由 得： ，解得： ，
所以 ，故选项D
正确.故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键
在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数 ， 的性质.
1．（2024·重庆·三模）已知 是定义域为 的奇函数且满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，推得 ，得到 是周期为2的周期函数，结合 ，即可求
解.
【详解】由 是定义域为 的奇函数，则 ，且 ，
又由 满足 ，即 ，
则有 ，可得 ，即函数 是周期为2的周期函数，
故 .
故选：B.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ，且
，则 .
【答案】
【分析】通过赋值法解出 ，由 解出 ；进而求出 ，再证明函
数为偶函数，进而证出 ，结合偶函数得出函数周期，求出 最后求解即可.
【详解】令 ，得 ，
再令 ，得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则代入 中， ，
由 ，所以 ，即 ，且 ，令 ，得 ，
由 ， ，所以 ，
所以 为偶函数，所以 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 为周期函数，周期为4，
所以 ，
，
所以
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得 的值，这也是抽象函数求函数
值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转
化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 是奇函数，
，且对任意 ， ，则（ ）
A． B．
C． 是周期为3的函数 D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】对于A：令 ，得 ，
因为 ，所以 ，A正确；
对于B：令 ，得 ①，
所以 ，
因为 是奇函数， ，
所以 ，即 是偶函数，
所以 ②，由①②，得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ， 是周期为3的函数，
所以 ，所以B错误，C正确；
对于D：因为 ，
在①中令 得， ，
所以 ， ，
所以D正确．
故选：ACD．
考点 八 、 函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 在 存在最大值与最小值分
别为 和 ，则函数 ，函数 图像的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过分析函数 ，得出最大值与最小值的和，得出函数 的表达式，利用对勾
函数 的对称点即可得出函数 的对称点.
【详解】由题意，
在 中， ，
∴ ，
∵最大值与最小值分别为 和 ，
∴
在对勾函数 中，对称轴为 ，对称点为 ，
在 中， ，
∴ 即 ，对称轴为 ，
函数 为对勾函数 向下平移1个单位得到，∴函数 对称点为 ，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查.函数的性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析
和处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性.
1．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 单调递增 B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称 D．函数 的图象关于 对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函
数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义， 与 的关系，即可判断CD.
【详解】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，
所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，
所以函数 关于点 对称，故C错误，D正确.
故选：C.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 的定义域为 ，函数 满足
， 图象的交点分别是 ，
，则 可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25【答案】C
【分析】可以分别说明 的对称中心为 ，从而两个函数的图象交点关于 对称，即
应为6的倍数，由此即可逐一判断.
【详解】因为函数 满足 ，所以 的对称中心为 ，
注意到
，
所以 的对称中心也是 ，
故两个函数的图象交点关于 对称，
故 应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意.
故选：C.
考点 九 、 周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ， ，
， ，且 ，则（ ）A． 的图象关于点 中心对称 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出 的周期性和对称性，再得到 的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得 ，两式相减可得 ①，
所以 的图象关于点 成中心对称，故A错误；
由 ②，②式两边对 求导可得 ，
可知 是偶函数，以 替换①中的 可得 ，
可得 ，所以 是周期为4的周期函数，故B正确；
因为 ，可知 也是周期为4的周期函数，
即 ，两边求导可得 ，所以 ，故C正确；
因为 ，令 ，则 ，即 ，
又因为 是偶函数，所以 ，又因为 是周期为4的周期函数，
则 ，由 可得 ，
所以 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两
条直线（平行于 轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行
于 轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
1．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数 ， 满足 ， ，
， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． 是函数 图象的一条对称轴
B．2是 的一个周期
C．函数 图象的一个对称中心为
D．若 且 ， ，则n的最小值为2
【答案】D【分析】由已知可推得 关于直线 对称， .又有 .
进而得出 ，即有 ，即可得出B项；根据 的周期可得出 的周
期为4，结合 的对称性，即可得出A项；由 的对称中心，即可得出 关于点 对称，结合
的性质，即可得出C项；根据 的周期性以及对称性可得 ，
，然后分 讨论求解，即可判断D项.
【详解】由 可得 ，所以 关于直线 对称，
所以 关于直线 对称，即 关于直线 对称，
所以 关于直线 对称，所以 关于直线 对称，
所以有 ，所以有 ，所以 .
又由 可得， ，所以 关于点 对称，
所以 .
对于B项，因为 ， ，
所以， ，所以 ，
所以， 的周期为 ，故B项正确；
对于A项，由已知 周期为2，所以 的周期为4.
因为 关于直线 对称，所以 是函数 图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项， 关于点 对称，所以 关于点 对称，
所以 关于点 对称，所以 .
又 关于直线 对称，所以 ，
所以 ，所以有 ，
所以函数 图象的一个对称中心为 ，故C项正确；
对于D项，由C知， 关于点 对称， 关于点 对称，
所以， ， ，所以 .
又 的周期为4，所以对 ， .因为 ，
则当 时，有 .
因为 ，所以 ，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意.
故n的最小值为3，D错误.
故选：D
【点睛】关键点睛：根据已知关系式可得出 的对称轴，进而根据 的关系，即可推得
的对称轴，结合 的对称中心，即可得出 的周期.
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，若 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 是周期函数 D．
【答案】BCD
【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数 及对称轴，再逐项分析计算得解.
【详解】由 ，得 ，
则 ，即 ，因此 是周期为4的周期函数，C正确；
令 ，得 ，则 ，因此 ，A错误；
由 ，得 ，则 ，
因此 的图象关于直线 对称，B正确；
由 ，得 的图象关于直线 对称，
因此直线 及 均为 图象的对称轴，
从而 ，令 ，得 ，
即 ，则 ，
故
，D正确.
故答案为：BCD【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
①存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
②存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，
，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是 的对称中心
C．2是 的周期 D．
【答案】BD
【分析】利用已知恒等式证明 ，从而得到B正确；再推知 及 ，
从而计算出D的结果；利用反证法即可说明A和C错误.
【详解】对于A，由已知有 ，所以 是偶函数.
假设 是奇函数，那么必有 ，故 ，矛
盾.
所以 不是奇函数，A错误；
对于B，由已知有 ，故 .
所以 ，故 是 的对称中心，B正确；
对于C，由已知有 .
所以 .
假设2是 的周期，那么 ，从而 .
但 ，故 ，矛盾.
所以 不以2为周期，C错误；
对于D，由于 ， ，
故 .
所以 ，即 .
再由 可得 ，即 .这就得到
，
故D正确.
故选：BD.
考点 十 、 周期性奇偶性的综合应用
1．（2024·重庆·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，若函数 为偶函数，函数 为奇
函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】A
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的函数，再根据条件得出 ，即可求出
结果.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为奇函数，所以 ，所以函数 的图象关于 对称，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，则函数 的一个周期为4，
令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，又 ，所以 ，
，所以 .
故选：A
2．（2024·四川南充·三模）已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，
函数 的图象关于y轴对称， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用题设得到 ①和 ②，又由 ，结合
①式，推得 的周期为12，利用 求得 和 ，最后利用 的周期性即可求得.
【详解】由函数 的图象关于原点对称， ，
即 ，即 ①，
由函数 的图象关于y轴对称，可得 ②，
由 可得 ，又得 ，
两式相加， ，将①式代入，得 ，
则得 ，将②式代入得， ，则 ，
于是 ，即 的周期为12.
又 ，由①可得 ，得 ，
又由 可得 ，即得 .
因 ，可得， ，
于是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式： ①和 ②，
再由 利用消元思想，转化为关于 的关系式是最关键之处，其次是利用 的关
系式求得 的周期是第二关键，之后赋值求得 即可得解.
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 是定义在R上的函数，且 为偶函数， 为奇函数，
当 时， ，则 （ ）A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先根据 为偶函数， 为奇函数，求出函数的周期，再根据函数的周期求解即可.
【详解】因为 为偶函数，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将
它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多
以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数
值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利
用奇偶性和单调性求解.
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数．若
，则 （ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线 对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个
周期内的和，最后代入计算即可.
【详解】 为偶函数，则 则 关于 对称，为奇函数，则 ，
即 ，则关于点 对称，
则由其关于 对称有 ，则 ，
则 ，作差有 ，
为周期函数，且周期为4，因为 ， ，则 ，
因为 ， ，则 ，
，则 ，
， ，
故选：C.
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶
函数， ，则 .
【答案】4048
【分析】根据题中 为奇函数， 为偶函数，从而可得出 为周期为4的函数，从而
可求解.
【详解】由题意得 为奇函数，所以 ，即 ，
所以函数 关于点 中心对称，
由 为偶函数，所以可得 为偶函数，则 ，所以函数 关于直线
对称，
所以 ，从而得 ，所以函数 为周期为4的函数，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 关于直线 对称，所以 ，
又因为 关于点 对称，所以 ，
又因为 ，又因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内
的值，最后求和即可.考点 十一 、 奇偶性对称性的综合应用
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 为奇函数，则
（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数性质对函数 依次赋值 即可求解.
【详解】由题 为奇函数，则 ，
所以 ，
所以 关于 对称，
所以 ，
故选：D.
2．（2024·黑龙江·三模）已知函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，
则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【分析】构造函数 ，证明 为奇函数，从而得到 ，即可求出 的
值.
【详解】令 ，定义域为 ，
因为 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，
所以 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，
因为 ，
所以 为奇函数， 的图象关于原点对称，
所以 的最大值和最小值互为相反数，即 ，
所以 ，
故选：A.1．（2024·河北·二模）已知函数 为奇函数，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】C
【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.
【详解】函数 为奇函数，图象关于 对称，
将函数 向左平移一个单位可得函数 ，
则函数 关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称.
故选：C.
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数 ，若 的图象关于
直线 对称，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象也关于直线 对称 B． 的图象关于 中心对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得 ， ，由此分析可得 由此分析
选项，即可得答案.
【详解】设 关于直线 对称，
所以， ，
所以 或 ，
当 时， ， 的图象关于直线 对称，
此时， ，
∴ ，
当 时， ,
∴ ，∴ ，
又∵ 是一个定值，而 随 的不同而不同，
∴此等式不成立，即 不成立,
∴ ，即 ，所以 的图象关于 中心对称，B正确；∴ ， ，即 ，C正确.
与 关于 对称，
∴ ，即 ，即 ，
∴ ，D正确，
又 ，则 ，即 ，
，而 ，
若A选项成立，则 时， ，所以
但此时， ，
所以由 可得 ，但这与已知矛盾，
所以 的图象不可能关于直线 对称，A错误.
故选：BCD.
考点 十二 、 函数性质的全部综合应用
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为R的函数 满足 ， ，且
为奇函数，则（ ）
A． B．函数 的一个周期为4
C． D．
【答案】BC
【分析】根据奇函数的性质得到 ，利用赋值法判断A，令 ，结合 ，
即可得到 为偶函数，推出 的周期，即可判断B、C，再由 利用并项求和
判断D.
【详解】因为 为定义域为R上奇函数，所以 ，即 ，
在 ，令 ，可得 ，故A错误；
令 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 为偶函数，
又 为奇函数，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，所以 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
所以 ，则 ，故B、C正确；
由 与 得 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
， ，
， ，
， ，
，
所以
，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令 ，利用赋值法及所给条件一一计算.
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，
的导函数为 ，则（ ）
A． B． 是单调函数
C． D． 为偶函数
【答案】ACD
【分析】对于A：利用赋值法分析可得 ， ；对于B：根据 结合单调
性的定义分析判断；对于C：分析可得 ，即可得结果；对于D：对 求
导，结合偶函数的定义分析判断.
【详解】因为 ，且 的定义域为 ，
对于选项A：令 ，则 ，可得 ；令 ，则 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：由选项A可知 ，所以 不是单调函数，故B错误；
对于选项C：令 ，可得 ，
即 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：由选项C可知 ，
对两边求导得 ，即 ，
所以 为偶函数，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数 ， 及导函数 ， 的定义域均为 .若
是奇函数，且 ， ，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．
【答案】CD
【分析】由 可知， . 结合 ,可得
，且 是奇函数就可以判断A项.根据 , 可知 是周期为4的
函数，以及 和 图象得对称点，可以判断B选项不正确. 利用赋值法，找到规律，即可判断C项正
确. 根据 ，及周期性可以知道， ，即可判断D项正确.
【详解】因为 ，所以 （ ， ）.
又因为 ，所以， .
则 ，所以 .
于是可得 ，令 ，
则 ，所以 .
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ①因为 是奇函数，所以 ②，
， ，所以A错误.
由①②得 ，所以函数 是周期为4的周期函数.
因为 ，因此函数 也是周期为4的函数.
又 的图像关于点 对称，所以 的图像关于点 对称，所以B选项不正确.因为
，令 ，得 ，
即 ，所以 ；
令 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以C选项正确.
因为 ，所以 ，
， ，
，
则有 ，
可得 ，所以D选项正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过导数的关系和奇函数的性质推导函数间的关系.采用赋值法，找到
周期函数的周期，再借助图象关于某点对称推出另一个函数的对此点再根据平移变换进行解答.
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，若 ，有
， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．4为函数 的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解.
【详解】根据题意， ，
取 ，得 ，因为 ，所以 ，A正确;取 ，得 ，所以 ，B错误;
取 ，得 ，即 ，
所以 为偶函数，C正确;
取 ，得 ，所以 ，
即4为函数 的一个周期，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取
等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现 ；当然要结合所求灵活赋值，
根据函数的性质进行求解.
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且
， 为偶函数，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
【答案】ACD
【分析】令 ，可判断A；令 ，可判断B；由函数图象的变换可得 的图象关于 对称，
结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得 ，然后可判断D.
【详解】令 ，得 ，即 ，A正确；
令 ，得 ，
又 ，所以 对任意 恒成立，
因为 ，所以 不恒为0，
所以 ，即 ，B错误；
将 的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，可得
的图象，
因为 的图象关于 对称，所以 的图象关于 对称，
所以 ，
又 为奇函数，
所以 ，所以 ，所以4为 的周期.
由 可得 ，C正确；
因为 ， ， ，
所以 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.
3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且 ，则（ ）
A． 的最小正周期为4 B．
C．函数 是奇函数 D．
【答案】AB
【分析】据题意，通过赋值得到 ， ，即可判断A；
令 ，可求出 ，由周期性可判断B；令 ，得到 ，由周期性 ，
可证明 是奇函数，假设函数 是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，故 的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为 ，
令 ，则 ，
所以 ，
由A可知， ，故B正确；
对于C， 因为 ，①
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，②
由①②，所以 ，即 ，故 为奇函数，若函数 是奇函数，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为 为奇函数，且 ，所以 ，
又因为 的最小正周期为4，所以 ，
因为
所以 ， ，
所以 ，
，
以此类推，
所以 ，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数 ，
（1）若 ，则函数 的周期为 ；
（2）若 ，则函数 的周期为 ；
（3）若 ，则函数 的周期为 ；
（4）若 ，则函数 的周期为 ；
（5）若 ，则函数 的周期为 .一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题意可得 ，化简整理即可求得m的值．
【详解】函数 的定义域为 ，由 是偶函数，得 ，
即 ，整理得 ，所以 .
故选：A
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由已知可得 ，进而求得 ，计算即可.
【详解】由条件得 ，故 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
3．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，对任意 都有 ，
当 时，则 等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数 的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得
的值.
【详解】定义在 上的函数 是奇函数，且对任意 都有 ，
故函数 的图象关于直线 对称，∴ ，故 ，∴ ，∴ 是周期为4的周期函数．
则 ．
故选：A．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ， ，均满足
．若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】先赋值 求出 ，接着赋值 ， 求出 ，再赋值 求出 ，最后赋
值 ， 即可求解.
【详解】令 ，得 ，所以 ；
令 ， ，得 ，
又 ，所以 ；令 ，得 ；
令 ， ，得 .
故选：D.
5．（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且函数
为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件得到 的对称中心，再根据对称得到 的对称中心.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
故 的对称中心为 ，即 ，
由于函数 与 的图象关于直线 对称，
且 关于 的对称点为 ，
故 的对称中心为 .
故选：D
6．（2024·山西·三模）设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，
解得即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，所以 为偶函数，
当 时 ，因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
则 在 上单调递减，不等式 ，
即 ，等价于 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故选：C
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到 的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数 满足 ，则 ，即 是周期为 的周期函数，
所以 ， ，又由函数 为定义在 上的奇函数，则 ， ，
当 时， ，则 ，则 ，
所以 ；
故选：B．
8．（2024·陕西铜川·三模）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】 函数 在 上单调递减，解得 .
故选：C.
二、多选题
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
【答案】BCD
【分析】A和B项，令 后进行分类讨论即可得出结论；C项，令 即可得出 的表达式，
进而得出奇偶性；D项，由C项得出 表达式，即可得出单调性.
【详解】由题意，
在 中，
A和B项，当 时， ，
解得： 或 ，
当 时，则 ，
由于 具有任意性，故 不成立，
∴ ，A错误，B正确；
C项，当 时， ，
∵ ，
∴ 为奇函数，且 ，C正确；
D项，由C项可知 ，故 为增函数，D正确.
故选：BCD.
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 不存在零点 D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由 ，令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，函数 的定义域为全体实数，由 ，显然不符合 ，
所以函数 不是奇函数，所以B不正确；
对于C中，由 ，令 ，可得 ，
即 ，解得 或 ，
所以函数 没有零点，所以C正确；
对于D中，由 ，
令 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以D正确.
故选：ACD．
一、单选题
1．（2024·江西·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
.若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】依题意可得 的奇偶性、对称性与周期性，即可得到 的图象，即可得到
， ，解得即可.
【详解】因为 ，所以 为奇函数；
又因为 ，所以 关于直线 对称；
由 知 的一个周期为 .
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
函数 的图象如图所示，根据图象可知，若 ，则 ， ，
解得 ， ，
所以实数 的取值范围是 ， .
故选：D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于 的不等式，即
可求解.
【详解】根据题意，当 时， ，可得 在 上递增，
要使得函数 是 上的单调函数，
则满足 ，且 ，解可得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
二、多选题
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的连续函数 满足 ，
， ，当 时， 恒成立，则下列说法正确的是（ ）A． B． 是偶函数
C． D． 的图象关于 对称
【答案】BCD
【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.
【详解】因为 ， ，
令 可得 ，解得 或 ，
又当 时， 恒成立，所以 ，故A错误；
令 ， ，则 ，即 ，
所以 为偶函数，故B正确；
令 ， ，则 ，所以 ，
令 ， ，则 ，所以 ，故C正确；
令 可得 ，
令 ，可得 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 的图象关于 对称，故D正确.
故选：BCD
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对
，且 为 的导函数，则（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A：令 ， 可判断A；对于B：令 ， 进而计算
可判断B；对于C： 为奇函数，可得 为偶函数；进而可得 关于
对称，可判断C；对于D：令 ，可得 ，令 ，则
，两式相加可判断D.【详解】对于A：令 ，则 ，
为奇函数，故选项A不正确；
对于B：令 ，则 ，令 ，则
为奇函数，
，
的周期为4， ，故选项B正确；
对于C： 为奇函数， 为偶函数；
的周期为4，
为偶函数， ，
关于 对称，
所以 ，令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 ，故 ，
，故选项C正确；
对于D：令 ，则 ，即 ①，
令 ，则 ②，
由①+②得 ，
故选项D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答
的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求
解.
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，且满足：① ；②
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上单调递增 D． 在 处取得极小值
【答案】AB
【分析】对于A：令 ，即可得结果；对于B：令 ，可得 ，结合奇函数的定义分
析判断；对于CD：举反例 ，即可判断.【详解】因为 ，
A：令 ，可得 ，故A正确；
B：令 ，可得 ，则 ，即 ，
若 ，可得 ；若 ，则 ，满足 ；
综上所述： ，所以 为奇函数，故B正确；
C、D：例如 ，显然 不恒为0，且 ，
，即 ，
所以 符合题意，但 在 上单调递减，无极值点，故C、D错误；
故选：AB.
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则（ ）
A． B． 关于 中心对称
C． 是周期函数 D． 的解析式可能为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于B：
举反例说明即可；对于D：将 代入题意关系式检验即可.
【详解】由 ，且函数 的定义域为 ，
对于选项A：令 ， ，可得 ，
且 ，可得 ，故A正确；
对于选项C：令 ，则 ，
则 ，即 ，可知 为偶函数，
令 ，则 ，
可知 ， ，
可得 ，则 ，
所以 ，可知 周期为6，故C正确；
对于选项B：因为由于 为偶函数且周期为6，
则 ，不满足 ，所以 不关于 中心对称，故B错误；
对于选项D：因为 的定义域为 ，
且 ，
即 符合题意，所以 的解析式可能为 ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由 为偶函数，得 ，两边求导化简后可得 为奇函数，然后逐个赋值分析判
断即可.
【详解】对于 ，∵ 为偶函数，则
两边求导得: , ∴ ， 为奇函数， ,
令 ，则 ， ，所以 不正确
对于 ，令 ，可得 ，则 , 所以 正确;
对于 ， ，
可得， ，两式相加的
令 ，即可得 ，所以 正确;
对于 ，∵ ，则 ，
又 ，可得 ，所以 是以 为周期的函数，
所以 ，所以 正确.
故选：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，考查导数的应用，解题的关键是根据已知
条件判断 为奇函数，考查计算能力，属于较难题.8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，
， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可.
【详解】对于A，因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，则 ，故 ，则 ，
令 ，则 ，
又令 ,结合 得 ，所以 不是偶函数，故A错误．
对于B，令 ，则 ．
而 ， ，所以 ，故B正确．
对于C，由选项B可知， ，
令 ，则 ，所以 ．
又因为 为奇函数，所以 ，所以 ，故C正确．
对于D，由选项B以及 ，可得 ，
所以 ， ，
令 得
,
结合 递推可得 ， ．
因为 ，故 ，故D错误．
故选：BC
【点睛】抽象函数问题，常常要取恰当的特殊值并结合递推关系得到进一步的结论.
9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 及其导函数 ，且 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】AC
【分析】利用抽象函数的关系式，采用赋值，赋变量的方法，结合函数的对称性和周期性，即可判断选项.
【详解】因为 ，所以 的图像关于直线 对称.令 ，得 ，故A项
正确；
因为 .所以 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，则 的一个周期为4.
因为 的图像关于直线 对称，所以 是 的一个极值点，
所以 ，所以 ，则 .故B项错误；
由 ，得 ，即 .
所以 ，故C项正确；
设 为常数），定义域为 ，
则 ，
又 ，所以 ，显然 也满足题设，
即 上､下平移均满足题设，显然 的值不确定，故D项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，以及抽象函数的导数问题， ，
即可正确得到 .
三、填空题
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】要先证明函数的中心对称性，即 ，这样原不等式就可以化为 ，
再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果.
【详解】由已知得： ，
所以 ，即则不等式 等价于 ，
再由 ，
可得 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
故答案为： .
1．（2024·上海·高考真题）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数 .
【详解】因为 是奇函数，故 即 ，
故 ，
故答案为： .
2．（2024·上海·高考真题）已知 则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求 .
【详解】因为 故 ，
故答案为： .
3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故
A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
5．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选项
D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
6．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
7．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ；若当 时，，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出 的最小值, 的最大值即可.
【详解】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
8．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
9．（2021·全国·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
10．（2021·全国·高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
