文档内容
第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
②根据函数奇偶性求解析式
③函数奇偶性的应用
④由函数奇偶性求参数
⑤奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
②由函数周期性求解析式
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
②由函数对称性求函数值或参数
③对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于 轴
偶函数
对称
有 ，那么函数 是偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于原点
奇函数
对称
有 ，那么函数 是奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， 也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
② ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若 是定义在区间 上奇函数，且 ，则 （注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则
① ；
② ；
③（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期，则 （ ）也是
这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小
正周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·北京·高三学业考试）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既不是奇函数也不是偶函数
2．（2022·浙江台州·高一期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若 ，则f（1）=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2022·全国·高三专题练习）若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
4．（2021·全国·高一课时练习）若 的偶函数，其定义域为 ，且在 上是减函数，则
与 得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
5．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且
，则 （ ）
A．2019 B．3 C．－3 D．0
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
1．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·高一单元测试）函数 为奇函数， 为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正
确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
3．（2021·广东·龙门县高级中学高一期中）给定函数：① ；② ；③ ；④ .
其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
②根据函数奇偶性求解析式
1．（2021·四川省南充高级中学高一阶段练习）若函数 是定义在 上的偶函数，
则该函数的最大值为（ ）A．10 B．5 C．3 D．2
2．（2021·宁夏·银川一中高一期中）已知 是定义域为R的偶函数，当 时， ，则函
数 在 时， =___________.
3．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）设m为实数，若函数 （ ）是偶函数，
则m的值为__________.
4．（2021·全国·高一课前预习）已知 是 上的奇函数，且当 时， ，求
的解析式．
③函数奇偶性的应用
1．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则
＝________.
2．（2022·广东茂名·高一期末）若函数 是奇函数，则 __________.
3．（2022·四川凉山·高一期末）已知 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，则 ______.
4．（2022·湖南·一模）已知 是奇函数，且 ，若 ，则 ___．
④由函数奇偶性求参数
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知函数 是偶函数，则 ______．
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，则
______.
3．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数 为奇函数，则 _______．
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末） 为偶函数，则 ___________.
⑤奇偶性+单调性解不等式
1．（2022·广西南宁·高一期末）若函数 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
则使得 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数 ，若 ，则实数 的取
值范围为（ ）A． B．
C． D．
3．（2022·四川绵阳·高一期末）若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东汕尾·高一期末）函数 为奇函数，且对任意互不相等的 ， ，都有
成立，且 ，则 的解集为______．
5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）设偶函数 在区间 上单调递增，则满足
的x的取值范围是___________.
6．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习） 是奇函数
(1)求
(2)判断并证明 的单调性
(3)若 ，求 的取值范围
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在 上的奇函数， 满足 ，当 时，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃·一模（文））定义在 上的奇函数 ，满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．8 B．2 C．-2 D．-8
3．（2021·广东汕头·高二期末）已知函数 是奇函数，且满足 ，若当 时，
，则 ________.
②由函数周期性求解析式
1．（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数 满足 ，且 时
，则：
（1） __________；
（2）当 时， _________.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为R的偶函数，且周期为2，当 时，
，则当 时， ________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时，
.
（1）求 ， 的值；
（2）写出 在 ， 上的解析式；
（3）当 ， 时，求不等式 的解集.
4．（2021·山东师范大学附中高三期中）设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有
.当 时， .(1)当 时，求 的解析式；
(2)计算 .
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
1．（2022·广东·高三开学考试）下列函数与 关于 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足：① ；②在 上是减函数；③
.请写出一个满足以上条件的 ___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，满足 ，则 ______.
③由函数对称性求函数值或参数
1．（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，
当 时， ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数 ，记
，则
A． B． C． D．
3．（2022·四川雅安·高一期末）若 ，则___________.
4．（2021·上海·高一专题练习） 的对称中心为 ，则a的值为___________．
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（x）＝ .
（1）求f（2）与f ，f（3）与f ；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f 有什么关系？证明你的发现；
（3）求f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋ ＋f（2019）＋f 的值.
④对称性+奇偶性+周期性的综合应用
1．（2022·四川凉山·二模（文））定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数 满足 ， ，当
时， ，则关于x的方程 在 上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
3．(多选）（2022·甘肃·兰州一中高一期末）定义在R上的偶函数f（x）满足 ，且在
上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．4．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． 为奇函数 B． 的图象关于 对称
C． 为偶函数 D． 是周期为4的函数
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数 满足 ，且 时，
，已知函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为
__________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足
则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖南·高考真题）已知函数 为奇函数， .若 ，则
____________
6．（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.第五部分：第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性
（精练）
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数 为R上的奇函数，当 时， ，
则 等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
2．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，
则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知定义在 上的偶函数 ，对 ，有
成立，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数 为定义在R上的奇函数，且 ，当
时， ，则 （ ）
A．2021 B．1 C． D．0
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且
当 时， ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知在R上的函数 满足对于任意实数 都有， ，且在区间 上只有 和 两个零点，则 在区间
上根的个数为（）
A．404 B．405 C．406 D．203
二、填空题
9．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知 ，若 ，则
实数 的取值范围是______
10．（2022·江西·新余市第一中学高一开学考试）已知函数 满足 ，且当
时， ，则 ________．
11．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间 上的奇函数 满足： ，
且当 时， ，则 ____________.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ， ，有下列 个命题：
①若 为偶函数，则 的图象自身关于直线 对称；
②函数 与 的图象关于直线 对称：
③若 为奇函数，且 ，则 的图象自身关于直线 对称；
④若 为奇函数，且 ，则 的图象自身关于直线 对称；
其中正确命题的序号为______.
三、解答题
13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数 ．
(1)判断 的奇偶性，并加以证明；
(2)求函数的值域．14．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当
时， ，函数 在 轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)若关于 的方程 有 个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
15．（2022·全国·高三专题练习）设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．
当 ， 时， ．
（1）求证： 是周期函数；
（2）当 ， 时，求 的解析式；
（3）计算 的值．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
记 ．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）+f（1﹣x）＝1；
（3）求 的值．
