文档内容
第 01 讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数
判断对数函数的单调性
求函数值
2024年新I卷，第8题,5分 比较函数值的大小关系
抽象函数的关系
函数奇偶性的定义与判断 根据函数零点的个数求参数范围
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分
函数奇偶性的应用 求余弦(型)函数的奇偶性
函数单调性、极值与最值的综合应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 函数对称性的应用 利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第11题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023年新Ⅱ卷，第4题,5分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
抽象函数的奇偶性
2022年新I卷，第12题,5分 函数与导函数图象之间的关系
函数对称性的应用
2022年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021年新I卷，第13题,5分 由奇偶性求参数 无
2021年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021年新Ⅱ卷，第14题,5分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020年新I卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 复合函数的单调性 对数函数单调性2020年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
1. 函数的单调性(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x，x
1 2
定义
当xf(x)，那么就说函数
1 2 1 2 1 2 1 2
f(x)在区间D上是增函数 f(x)在区间D上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(3)对于任意的x∈I，都有
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
条件 f(x)≥M；
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(4)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
2. 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗ ②减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
③ 为↗，则 为↘， 为↘ ④增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
⑤减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘ ⑥增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
（2）复合函数的单调性
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数： ，图象关于原点对称偶函数： ，图象关于 轴对称
③奇偶性的运算
4. 周期性（差为常数有周期）
①若 ，则 的周期为：
②若 ，则 的周期为：
③若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
④若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若 ，则 的对称轴为
②若 ，则 的对称轴为
点对称
①若 ，则 的对称中心为
，则 的对称中心为
②若
6. 周期性对称性综合问题
①若 ， ，其中 ，则 的周期为：
②若 ， ，其中 ，则 的周期为：③若 ， ，其中 ，则 的周期为：
7. 奇偶性对称性综合问题
①已知 为偶函数， 为奇函数，则 的周期为：
为奇函数， 为偶函数，则 的周期为：
②已知
考点一、 根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
考点二、 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值1．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 且 ）在定义域内是增
函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三、 根据函数单调性解不等式
1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川南充·二模）设函数 ，则满足 的 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
考点 四 、 根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当 时，
恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·模拟预测）函数 ，记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点 五 、 根据函数的奇偶性求参数值
1．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 ．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 为奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数 是偶函数，则 的值是（ ）A． B． C．1 D．2
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数 为奇函数，则 ．
考点 六 、 抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 为奇函数，则
（ ）
A． B．14 C． D．7
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为R，
， ，则（ ）
A． B．函数 是奇函数 C． D． 的一个周期为3
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶
函数，且对任意的 ， ，都有 ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于 对称 D．考点 七 、 函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数 对任意的 ， ，都有
，且 ， ，则（ ）
A． B． 是奇函数 C． 的周期为4 D． ，
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
是奇函数， ，且对任意 ，恒有 ，则一定有
（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·重庆·三模）已知 是定义域为 的奇函数且满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ，且
，则 .
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 是奇函数，
，且对任意 ， ，则（ ）
A． B．
C． 是周期为3的函数 D．考点 八 、 函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 在 存在最大值与最小值分
别为 和 ，则函数 ，函数 图像的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 单调递增 B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称 D．函数 的图象关于 对称
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 的定义域为 ，函数 满足
， 图象的交点分别是 ，
，则 可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
考点 九 、 周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）A． B． C． D．
3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ， ，
， ，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 中心对称 B．
C． D．
1．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数 ， 满足 ， ，
， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． 是函数 图象的一条对称轴
B．2是 的一个周期
C．函数 图象的一个对称中心为
D．若 且 ， ，则n的最小值为2
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，若 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 是周期函数 D．
3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，
，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是 的对称中心
C．2是 的周期 D．
考点 十 、 周期性奇偶性的综合应用1．（2024·重庆·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，若函数 为偶函数，函数 为奇
函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
2．（2024·四川南充·三模）已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，
函数 的图象关于y轴对称， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 是定义在R上的函数，且 为偶函数， 为奇函数，
当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数．若
，则 （ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶
函数， ，则 .
考点 十一 、 奇偶性对称性的综合应用
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 为奇函数，则
（ ）
A．6 B．5 C． D．
2．（2024·黑龙江·三模）已知函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，
则 （ ）
A． B．0 C．2 D．41．（2024·河北·二模）已知函数 为奇函数，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数 ，若 的图象关于
直线 对称，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象也关于直线 对称 B． 的图象关于 中心对称
C． D．
考点 十二 、 函数性质的全部综合应用
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为R的函数 满足 ， ，且
为奇函数，则（ ）
A． B．函数 的一个周期为4
C． D．
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，
的导函数为 ，则（ ）
A． B． 是单调函数
C． D． 为偶函数
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数 ， 及导函数 ， 的定义域均为 .若
是奇函数，且 ， ，则（ ）
A． B． 是偶函数C． D．
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，若 ，有
， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．4为函数 的一个周期
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且
， 为偶函数，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且 ，则（ ）
A． 的最小正周期为4 B．
C．函数 是奇函数 D．
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的值为
（ ）A． B． C．2 D．4
3．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，对任意 都有 ，
当 时，则 等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ， ，均满足
．若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且函数
为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山西·三模）设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024·陕西铜川·三模）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 不存在零点 D．一、单选题
1．（2024·江西·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
.若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的连续函数 满足 ，
， ，当 时， 恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是偶函数
C． D． 的图象关于 对称
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对
，且 为 的导函数，则（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 是定义在 上的函数，且满足：① ；②
，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上单调递增 D． 在 处取得极小值
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ）
A． B． 关于 中心对称
C． 是周期函数 D． 的解析式可能为
7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，
， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． D．
9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 及其导函数 ，且 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为 .
1．（2024·上海·高考真题）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
2．（2024·上海·高考真题）已知 则 ．
3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A． B． C． D．
4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ；若当 时，
，则 的最大值是 ．
8．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
9．（2021·全国·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
