专题04函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（解析版）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025年高考数学一轮复习知识清单_题型必备·冲高分

专题 04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类 目录 题型一：奇偶性基础.............................................................................................................................................................1 题型二：单调性基础.............................................................................................................................................................5 题型三：周期性基础.............................................................................................................................................................7 题型四：中心与轴对称应用：左右平移.............................................................................................................................9 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型.......................................................................................................................11 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型...........................................................................................................................14 题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称.......................................................................................................................17 题型八：中心与轴对称应用：中心对称...........................................................................................................................19 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和...............................................................................................................22 题型十：中心与轴应用：“隐对称点”...........................................................................................................................24 题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”...................................................................................................................26 题型十二：函数型不等式：“优函数”型.......................................................................................................................30 题型十三：类周期型函数...................................................................................................................................................32 题型十四：“放大镜”函数类周期性质...........................................................................................................................36 题型一：奇偶性基础判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证 货等价形式 是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于 轴对称，可得函数为 偶函数； （3）性质法：设 的定义域分别为 ，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论 （在定义域内）： 1.加减型： 奇+奇→ 奇 偶+偶→ 偶 奇-奇→ 奇 偶-偶→ 偶 奇+偶→ 非 奇-偶→ 非 2.乘除型（乘除经验结论一致） 奇X 奇→ 偶 偶X 偶→ 偶 奇X 偶→ 奇 奇X 偶X 奇→ =偶 简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变 3.上下平移型： 奇+c→ 非 偶+c→ 偶 4.复合函数： 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 1.（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则 下列函数不是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 ， ， 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐 项判断即可. 【详解】若 ，则 ， 则 是偶函数，故A错误； 若 ，则 ,则 是偶函数，故B错误； 若 ，则 ，则 是奇函数，故C正确； 若 ，则 ， 则 是偶函数，故D错误. 故选：C 2.（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义可得 ，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题意可得 ，解得 ， 因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 .故选：B. 3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知 是定义域为 的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出 的解析式，再根据题意得到 在 单调 递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题可得 ， 因为 是奇函数， 是偶函数， 所以 ， 联立 解得 ， 又因为对任意的 ，都有 成立， 所以 ，所以 成立， 构造 ， 所以由上述过程可得 在 单调递增， (i)若 ，则对称轴 ，解得 ； (ii) 若 ， 在 单调递增，满足题意； (iii) 若 ，则对称轴 恒成立； 综上， ，故选：B. 4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数 是 的奇函数， 是常数．不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围为 A． B．C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇偶性求出 ，然后判断函数的单调性，结合性质把 转化为 ，求解 的最小值可得. 【详解】因为 是 的奇函数，所以 ，所以 ； 因为 ，所以可得 ， 此时 ，易知为增函数. 因为 所以 ，即 ， 因为 ，所以 .故选A. 5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数 为奇函数，则 的值是（ ） A．0 B． C．12 D．10 【答案】D 【分析】由奇函数的性质可知 ，由此可以求出 的值，进而可以求出 . 【详解】因为函数 为奇函数， 所以 ，即 ，即 或 ， 显然函数 的定义域为 关于原点对称， 且当 时，有 ，从而有 ， 当 时，有 ，但 ， 所以 ，即 ， 所以 . 故选：D. 6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【 详 解 】 对 A ， 设 ， 函 数 定 义 域 为 ， 但 ， ， 则 ，故A错误； 对B，设 ，函数定义域为 ，且 ，则 为偶函数，故B正确； 对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误； 对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ， 则 ，则 不是偶函数，故D错误. 故选：B. 题型二：单调性基础 单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x，x∈[a，b]，那么有： 1 2 ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1.（21-22高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x ，x ∈[a，b](x ≠x )，下 1 2 1 2 列结论中不正确的是（ ） A． >0 B．(x －x )[f(x )－f(x )]>0 1 2 1 2 C．若x 0 【答案】C 【解析】根据函数单调性的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】因为f(x)在[a，b]上是增函数， 对于任意的x ，x ∈[a，b](x ≠x )，x －x 与f(x )－f(x )的符号相同，故A，B，D都正确， 1 2 1 2 1 2 1 2 而C中应为若x 0且a≠1) ――――――――→y＝log x ( a >0 且 a ≠1) ． a ⑤y＝f(x) ――――――――――――――――→y＝ | f ( x ) |. ⑥y＝f(x) ――――――――――→y＝ f ( | x |) ． 1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为 偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，可得函数 的周期 ，且 为偶函数， 根据 时， ，求 的值得此时解析式，即可求得 的值. 【详解】 为奇函数， ，所以 关于 对称，所以 ①，且 ， 又 为偶函数， ，则 关于 对称，所以 ②， 由①②可得 ，即 ，所以 ， 于是可得 ，所以 的周期 ， 则 ，所以 为偶函数 则 ，所以 ，所以 所以 ，解得 ，所以当 时， 所以 . 故选：B. 2.．（2023·全国·高三专题练习）已知 为R上的奇函数， 为R上的偶函数，且当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数 的周期性，及在 上的单调性即可判断作 答.【详解】由 为奇函数，得 ，即 ， 又由 为偶函数，得 ，即 ， 于是 ，即 ，因此 的周期为8， 又当 时， ，则 在 上单调递增， 由 ，得 的图象关于点 成中心对称，则函数 在 上单调递增， 因此函数 在 上单调递增，由 ，得 的图象关于直线 对称， ， ， ， ，显然 ，即有 ，即 ， 所以a，b，c的大小关系为 .故选：D 3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，探求函数 的性质，再逐项分析判断作答. 【详解】函数 的定义域为 ， 为偶函数，则 ，即 ， 又 为奇函数，则 ，即有 ，亦即 ， 因此 ，即 ，由 ，得 ， 则有 ，即函数 是 上的偶函数，又 ，从而 是周期为6的周期 函数， 显然 ，而没有条件能求出 ，即CD错误； ，没有条件能求出 ，A错误； 由 ，得 ，即 ，所以 ，B正确. 故选：B 4.（2023·陕西·统考二模）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，则 （ ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性得出函数的周期，从而求值. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， ，所以有 ， 由 为偶函数可得： ， 故有即 ， ，故 ， 所以 周期 ， 故 故选：A 5.（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数， 为偶 函数．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性可确定 图象关于直线 和点 对称，由此可推导得到结果. 【详解】 为偶函数， ， 图象关于直线 对称， ； 为奇函数， ， 图象关于点 对称； . 故选：A. 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移 平移变换：左右或者上下 左加右减 1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知 是定义域为 的函数， 为奇函数， 为偶函 数，则有① 为奇函数，② 关于 对称，③ 关于点 对称，④ ，则上述推 断正确的是（ ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】解：（法一）根据 为奇函数，得到 关于 对称，再由 是 上的奇函数， 得到 过 ，然后由 为偶函数，得到 关于 对称，再结合推出 的周期为4 即可.（法二）举例 判断； 【详解】解：（法一）因为 为奇函数，所以 关于 对称， 又 是 上的奇函数，过 ， 点，所以 过 ，所以有 ； 又 为偶函数，所以 ，所以 关于 对称；所以有 ， 又 ，所以 ，所以 周期为4，所以由 ，得 ，所以 为奇函数，所以①②④正确. （法二）举例： 符合题意，再验证得到①②④正确. 故选：D. 2.（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶 函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给条件结合函数的奇偶性赋值求解. 【详解】因为 是奇函数，所以 ， 令 可得 ， 又因为 是偶函数，所以 ， 令 则有 ， 中令 可得 ， 所以 ， 故选:A. 3.（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数 满足 是奇函数， 是偶函数，则下列结论错误的是（ ） A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． D． 的一个周期为8 【答案】C 【分析】根据 是奇函数，可得 ，判断B;根据 是偶函数，推出 ，判断A;继而可得 ，可判断D；利用赋值法求得 ，根据对称性 可判断C. 【详解】由题意知 是奇函数，即 ， 即 ，即 ， 故 的图象关于点 对称，B结论正确； 又 是偶函数，故 ， 即 ，故 的图象关于直线 对称，A结论正确； 由以上可知 ，即 ， 所以 ，则 ， 故 的一个周期为8，D结论正确； 由于 ，令 ，可得 ， 而 的图象关于直线 对称，故 ，C结论错误， 故选：C 【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解 答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4.（2023秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数 及其导函数 的定义域都为 ，且 为 偶函数， 为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及 ，再利用复合函数的导数推出 的周 期以及 ，进而可求解. 【详解】因为 为偶函数，所以 ， 即 ，即函数图象关于 对称，则 ， 因为 为奇函数，所以 ， 即函数图象关于点 对称， 则 ， 所以 ，则 ，所以函数以4为周期， ， 因为 ，所以 ， 即 ，即 ， 也即 ， 令 ，则有 ，所以 ， 由 得 ，所以 以4为周期， 所以 ， 所以 ，C正确， 对于其余选项，根据题意可假设 满足周期为4， 且关于点 对称， ，故A错误； ，B错误； ，D错误， 故选:C. 5.（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 为奇函数，得到 ，两边同时求导得到 的图象关于直线 对称，同理由 为偶函数，得到函数 的图象关于点 对称，两者联立得到 为周期函数，且周期为 求解. 【详解】解：因为 为奇函数， 所以 ，即 ， 两边同时求导，则有 ， 所以 的图象关于直线 对称． 因为 为偶函数， 所以 ，即 ， 两边同时求导，则有 ， 所以函数 的图象关于点 对称． 所以， ， ， 所以，函数 为周期函数，且周期为 ， 则有 ， ， 所以 ． 故选：B. 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 1.（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数 关于直线 对称，则 ． 【答案】 【分析】先通过定义域关于直线 对称求出 ，再通过 求出 ，证明函数 关于直线 对称后，代入 值求 即可. 【详解】 函数 的定义域为 ， 又函数 关于直线 对称，即定义域 也关于直线 对称， ， ，解得 ，证明： 关于直线 对称， ， 故 关于直线 对称， .故答案为： . 2.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ， 若方程 有且仅有三个根，且 为其一个根，则其它两根为 . 【答案】 、 【分析】利用函数的对称性可得出方程 另外两根. 【详解】因为定义在 上的函数 满足 ， 则函数 的图象关于直线 对称， 因为方程 有且仅有三个根，且 为其一个根，则 为该方程的一根， 在等式 中，令 ，可得 ， 因此，方程 的另外两根为 、 . 故答案为： 、 . 3.（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数 满足 ，且当 时， ，设 ，则 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据条件判断出 在 上是增函数，进而利用单调性即可求出结果. 【详解】因为 ，所以 ， 当 时， ，所以 在 上是增函数. 因为 ，所以 ， 即 ，所以 . 故答案为： . 4.（广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题）若函数 有 且只有一个零点，又点 在动直线 上的投影为点 若点 ，那么 的最 小值为__________. 【答案】 【分析】 易知： 为偶函数，若要若函数 有且只有一个零点，则 ，解得： ，根据题意，直线 过定点 ： ，则点 在以线段 为直 径的圆上，再根据圆外一点到圆上最短距离即可得解. 【详解】 由 可得 为偶函数， 若要若函数 有且只有一个零点，根据偶函数的性质有 ， 解得： ，故点 直线 过定点，定点 ： ， 由点 在动直线 上的投影为点 则点 在以线段 为直径的圆上，圆心为 ，半径 ， 所以 .故答案为： . 5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试 2021 届高三第一学期 11 月月考）.已知 ， ， ，则实数m的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用奇偶性的定义可知 在为R上的偶函数，再利用导数可知 在区间 单调 递增，于是 ， ，即为 ，由函数的 性质可得， ，从而等价转化为 ， 恒成立，不等号两侧分别构造函 数，求得构造的左侧函数的最大值及右侧函数的最小值，即可求得实数m的取值范围． 解：函数 的定义域为 ， 为R上的偶函数，又 ， ， 在R上单调递增，又 ， ∴当 时， ， 在区间 单调递增． 不等式 ，由偶函数性质可得： ， 即 ，由函数的单调性可得： ， ， ， 恒成立，令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， ；令 ， ， ， ，故 在区间 单调递减， ， ，故选：B题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 轴变换，又叫直线镜面变换： 1、 1.（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数 的图像与函数 的图像关于 直线 对称，则函数 的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】求出 的解析式，然后利用复合函数的单调性求解. 【详解】函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ， 定义域为 ，且在 上单调递减， 令 ，由 ，得 ， 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减， 则函数 的单调递增区间是 . 故答案为： （ 也正确）. 2.（2023·高三单元测试）函数 与 的图象关于直线 对称, ,则 ． 【答案】 【分析】根据两个图象关于直线 对称,即 与 互为反函数, 即是将 解出的 的值,解出即可. 【详解】解:由题意知 与 的图象关于直线 对称, 故 与 互为反函数, 的值即是 纵坐标为5时的 的值, 令 , 解得 或 (舍), 即 .故答案为: 3.（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数性质可得 ，进而得到 关于 对称，结合已知 与 的对称关系，确定 的对称中心，即可得结果. 【详解】由题设 ，若 ，则 ，所以 关于 对称， 又 与 关于直线 对称，则 关于 对称， 所以 . 故答案为：2 4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线 与函数 的图像关于直线 对 称，设曲线 仍然是某函数的图像，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】设 是 在点 处的切线，进而根据题意得直线 关于 对称 后的直线方程必为 ，曲线 才能是某函数的图像，进而得 的方程为 ， 再联立方程即可得 ，进而得答案. 【详解】设 是 在点 处的切线， 因为曲线 与函数 的图像关于直线 对称， 所以直线 关于 对称后的直线方程必为 ，曲线 才能是某函数的图像， 如图所示直线 与 的角为 ，所以 的倾斜角为 ， 所以 的方程为 故联立方程得 ，即 ， 则 ，即 所以 ，解得 所以 的取值范围为 .故答案为： 5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线 : ，函数 ，若 存在切线与 关于直 线 对称，则 ． 【答案】 【分析】先求与 关于直线 对称的直线 ，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即 可求解【详解】在直线 ： 上取两点 ， 点 ， 关于 对称的点分别为 ， 点 关于直线 对称的点为 ） 设直线 关于直线 对称的直线为 ，则 过点 ， 则 ，直线 的方程为 ，即 由 得 , 因为函数 存在切线与 关于直线 对称，即 存在切线方程为 设切点为 ，则 解得 故答案为： 题型八：中心与轴对称应用：中心对称 中心对称： （1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 （2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 （3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 . 函数变换，又叫原点变换： 1. （ 湖 北 省 武 汉 二 中 2022-2023 学 年 高 三 下 学 期 4 月 第 三 次 测 试 数 学 试 题 ） 已 知 函 数 ，不等式 对 恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为 ，利用双勾函数单调性 求最值得到答案. 【详解】 是奇函数，， 易知 均为减函数，故 且在 上单调递减， 不等式 ，即 ， 结合函数的单调性可得 ，即 ， 设 ， ，故 单调递减，故 ， 当 ，即 时取最大值，所以 .故选： . 2.（四川省达州市大竹县大竹中学 2020-2021 学年高一下学期 5 月月考数学试题）已知函数 ， ， 若 使 关 于 的 不 等 式 成立，则实数 的范围为___________. 【答案】 【分析】 证明函数图象关于点 对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参 数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果． 【详解】 显然函数定义域是 ， ， ∴ 的图象关于点 对称， 原不等式可化为 ， 即 ，(*) 设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ， ，由 得 ， ∴ ，∴ 是增函数， 不等式(*)化为 ，(**) 令 ，∵ ，∴ ，不等式(**)化为 ，， 问题转化为存在 ，使不等式 成立，当 时， 的最小值为2． ∴ ．故答案为： ． 3.函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ， ，则 的取值 范围是______. 【答案】 【分析】 先化简 ，然后分析 的奇偶性，将 的最大值和小值之和转化为和 有关的式 子，结合对勾函数的单调性求解出 的取值范围. 【详解】 ，令 ， 定 义域为 关于原点对称，∴ ， ∴ 为奇函数，∴ ，∴ ， ，由对勾函数的单调性可知 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ， ， ，∴ ， ∴ ，故答案为： . 4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校 2022-2023 学年高三数学试题）已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为 ，则 ____________. 【答案】10 【分析】 由已知得到函数 是关于点 对称，函数 经过化简也关于 对称，由此可知两个函数的 交点就关于 对称，根据点的对称性，就可以得到 的值. 【详解】 因为函数 满足 ，即满足 ， 所以 是关于点 对称， 函数 关于点 对称， 所以函数 与 图像的交点 也关于点 对称， 故交点 成对出现，且每一对点都关于 对称，故 . 故答案为：10. 5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数 ． 若存在 使得不等式 成立，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 令 ，判断函数 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为 ，分离参数可得 ，令 ， ，利用对勾函数的单调性可得 ，结合题意即可求解 的 取值范围． 【详解】 函数 ，若存在 使得不等式 成立， 令 ， ， 所以， 为奇函数． 不等式 ，即 ， 即 ， 所以 ， 因为 在 上为增函数， 在 上为增函数， 所以 在 上为增函数， 由奇函数的性质可得 在 上为增函数，所以不等式等价于 ，分离参数可得 ， 令 ， ， 由对勾函数的性质可知 在 上单调递减，在 上单调递增， （1） ， （4） ，所以， ， 所以由题意可得 ， 即实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和类比正弦： ①两中心 ②两垂直轴 ③一个中心 ，一条轴 1.（2022·广东惠州·模拟）已知 是定义在 上的奇函数， 且 ， 若 ，则 （ ） A．3 B．0 C．3 D．2018 【答案】C 【分析】先分析推理得到 即得函数的周期为4，再求得 ，再求 的值. 【详解】 为 的奇函数， 且 ，又 ， ， 是周期为4的函数，又 ， ， ， ， . 故选：C 2.（2022·广西南宁·一模）定义在 上的偶函数 满足：对任意的实数 都有 ，且 ， ．则 的值为（ ） A．2017 B．1010 C．1008 D．2 【答案】B 【分析】由偶函数可得 ，结合 可得函数 是周期为2的周期函数，于是 ，由周期性可得所求的值． 【详解】因为 是定义在 上的偶函数，所以 ， 因为 ，所以 ， ∴ 是周期为2的周期函数， ∴ ， 又 ， ∴于是 ， ∴ ． 故选：B． 3.（2023·山东·一模）已知 是定义在 上的奇函数,且 为偶函数,若 ,则 （ ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】C 【分析】 ，得 ， 的周期为4，又由 ， ，进而求解即可. 【详解】 是定义在 上的奇函数， ①， 为偶函数， ②， 在②式中，令用 替代 ，则 ， ③， 在①式中，令 替代 ，则 ④， ，再根据②式关系，得 综上所述，得 ， 的周期为4， 由已知得， 是定义在 上的奇函数，则 ， ， ， ， ，得 ， = 答案选C 【点睛】本题属于函数的周期性和单调性的综合运用，难点在于从等式中得到以下关系： ，有一定的运算量，属于一般题. 4.（22-23高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足 ，若 ，则 （ ） A． B．0 C．2 D．2020 【答案】B 【解析】根据奇偶性与 可得函数 的周期为4,再根据性质计算 即可. 【详解】因为奇函数 满足 ,即 . 故 周期为4.故 ,因为 .故原式 . 令 ,则 . 令 ,则 . 又奇函数 故 . 故 . 故选：B 5.（2023·广东梅州·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且 ，则 （ ） A．10 B．20 C．15 D．5 【答案】A 【分析】首先由条件确定 ，即可判断函数 的周期，再结合特殊值 ， ，即可求和. 【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，所以函数 的图象关于 对称，又因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， 即 ，即 ，则 ， 那么 ，所以2是函数 的一个周期，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 ， 所以 ， f 9  f 7    f 7  f 9 1， 所以 f 10  f 9    f 0  f 1    f 9  f 10 10 . 故选:A 题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解， 具有综合性，难度较大． 1.（21-22高三·云南红河·模拟）对于函数y f x ，若存在x ，使得 f(x )f(x )，则称点(x , f(x )) 0 0 0 0 0 x22x,x0 与点 是函数 的一对“隐对称点”，若函数 f x ，存在“隐对称点”， (x , f(x )) y f x mx2,x0 0 0 则实数m的取值范围是（ ） A．   22 2,0  B．  ,22 2  C．  ,22 2  D．  0,22 2  【答案】B 【分析】求出hxx22x，x0关于原点对称的函数解析式gxx22x，x0，根据题意只需 gxx22x，x0与 f xmx2，x0有交点，参变分离后，结合基本不等式求出  2 x 222 2，从而求出实数m的取值范围.  x 【详解】当x0时，hxx22x，设hxx22x，x0关于原点对称的函数解析式为gx ， 当x0时，x0，hxx22xx22x，故gxx22x， 故gxx22x，x0， 要想存在“隐对称点”，则gxx22x，x0与 f xmx2，x0有交点， 2 联立得x2m2x20， ，即mx 2， x0 x x0  2 2 而x 22 x 222 2，当且仅当 时取等号，  x x x 2  故实数m的取值范围是 ,22 2 . 故选：B 2.（2022广西柳州·一模）已知函数 f xlnxx3与gxx3ax的图像上存在关于y轴对称的对称点，则 实数a的取值范围是( ) 1 1 A．a B．a C． D． e e ae ae 【答案】A 【分析】将题中的问题转化为方程 f xgx 在 0, 上有解，即方程lnxax在 0, 有解的问题处 理，然后再转化为两函数的图象有公共点求解，借助导数的几何意义和图象可得所求范围．【详解】函数 f xlnxx3 与gxx3ax的图像上存在关于y轴对称的对称点， ∴方程 f xgx 在 0, 上有解，即方程lnxx3 x3ax在 0, 上有解，∴方程lnxax在 0, 有解． 1 设 ， ，则两函数的图象有公共点．由 得y ．若 为 的切线，且切点为 ylnx yax ylnx x yax ylnx x ,y  ， 0 0  1 a 则有 x 0 ，解得 1，结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足 1．  a a y 0 ax 0 lnx 0 e e 1 所以实数 的取值范围是(, ]．故选A． a e 3.（2022辽宁沈阳·模拟预测）函数 f(x)aex与g(x)x1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的 取值范围为（ ）(e为自然对数的底) A．a<0 B．a 1 C．a1 D．a1 【答案】C 【分析】因为g(x)x1关于x轴对称的函数为h(x)x1转化为 f(x)aex与h(x)x1的图象有交点， 即方程aex x1有解，对a0、a<0、a0进行讨论可得答案. 【详解】因为g(x)x1关于x轴对称的函数为h(x)x1，又函数 f(x)aex与g(x)x1的图象上存 在关于x轴的对称点，所以 f(x)aex与h(x)x1的图象有交点，即方程aex x1有解，a0时符合题 意； 1 1 1 时转化为ex  (x1)有解，即 与y (x1)的图象有交点，y (x1)是过定点 的直 a0 a yex a a (1,0) 1 1 线，其斜率为 ，若 ，则函数 与y (x1)的图象必有交点，满足题意；若 ，设 ， a a<0 yex a a0 yex  em 1   m1 a 相切时，切点的坐标为 ，则 ，解得 ，切线斜率为 ，由图可知，当 y 1 a (x1)  m,em   em  1 a a1 1 a 1 1 1 1，即 时， 与y (x1)的图象有交点，此时， 与 的图象有交点， a 0a1 yex a f(x)aex h(x)x1 函数 f(x)aex与g(x)x1的图象上存在关于x轴的对称点， 综上可得，实数a的取值范围为a1. 故选：C. 4.（2023·河北衡水·一模）若函数y f(x)图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点(A,B)为函数 y f(x)的“孪生点对”，且点(A,B)对(B,A)与可看作同一个“孪生点对”.若函数 2,x0 f(x) 恰好有两个“孪生点对”，则实数 的值为 x36x29x2a,x0 a A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A【详解】分析：由题可知当x0时， f x 与y2恰有两个交点.根据函数的导数确定 f x 的图象，即可 求得实数a的值. 详解：由题可知，当x0时， f x 与y2恰有两个交点. 函数求导 f 'x3x1x3 （x0） 易得x1时取得极小值 f 12a；x3时取得极大值 f 32a 另可知 f 02a，所得函数图象如图所示. 当 f 12a2，即a0时 f x 与y2恰有两个交点. 当 时， 恰好有两个“孪生点对”， 故选A. f x  a0 5.（22-23高三下·上海宝山·期中）若存在tR与正数m，使F(tm)F(tm)成立，则称“函数F(x)在 x2 处存在距离为 的对称点”．设 f(x) （ ），若对于任意 ，总存在正数 ， xt 2m x x0 t( 2，6) m 使得“函数 f(x)在xt处存在距离为2m的对称点”，则实数的取值范围是… A． 0，2 B． 1，2 C． 1，2 D． 1，4 【答案】A 【详解】若对于任意t( 2, 6)，总存在正数m，使得“函数 f x 在xt处存在距离为2m的对称点”， (tm)2 (tm)2  则对于任意 ，  有解，即1 有解．即 有解，因为 t( 2, 6) tm tm t2m2 t2m2 x2 f x （ ）具有对称性，故有 ，即有m）f(x) f(y)或者f(x)（或>f(x) f(t) ，则称 f(x)为优函数。 类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。 1.（2024 年高考 1 卷）已知函数为 f(x)的定义域为 R， f(x) f(x1) f(x2) ，且当 x3时 f(x) x，则下列结论中一定正确的是（ ） f(10)100 f(20)1000 A. B. f(10)1000 f(20)10000 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到 f(1)1, f(2)2 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当x3时 f(x) x，所以 f(1)1, f(2)2， 又因为 f(x) f(x1) f(x2)， 则 f(3) f(2) f(1)3, f(4) f(3) f(2)5， f(5) f(4) f(3)8, f(6) f(5) f(4)13, f(7) f(6) f(5)21， f(8) f(7) f(6)34, f(9) f(8) f(7)55, f(10) f(9) f(8)89， f(11) f(10) f(9)144, f(12) f(11) f(10)233, f(13) f(12) f(11)377 f(14) f(13) f(12)610, f(15) f(14) f(13)987， f(16) f(15) f(14)15971000，则依次下去可知 f(20)1000 ，则B正确； 且无证据.表明ACD一定正确. 故选：B xx 2.（2021·四川德阳·一模）已知函数 f(x) ，若 ， f  x23x   f(x) f(xa) f(x)，则 xx xR 实数a的取值范围是（ ） A．(1,) B．(1,) C．(,1) D．(,1) 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据奇偶性对不等式化简，再判断函数的单调性，然后利用单调性将 不等式转化为x23xxa，从而可求出实数a的取值范围 xx xx 【详解】函数的定义域为 ，因为 f(x)  f(x)，所以 为奇函数， R xx xx f(x) 所以 f  x23x   f(x) f(xa) f(x)可化为 f  x23x  f(xa)，即 f  x23x   f(xa)， x2 x2 x1 x1 任取 ，且 ，则 f(x ) f(x )  x 1 ,x 2 R x 1 x 2 2 1 x2 x2 x1 x1  x2 x2  x1 x1    x1 x1  x2 x2    x2 x2  x1 x1  2  x2x1 x1x2  2  x2x1 x1x2   ，因为 ，所以 0，所以 ，即  x2 x2  x1 x1  x x  x2 x2  x1 x1  f(x ) f(x )0 1 2 2 1 f(x ) f(x )， 2 1 所以 f(x)在 R 上为增函数，所以由 f  x23x   f(xa)，得x23xxa，所以ax22x(x1)21，所以a1，即实数a的取值范围是(,1)，故选：D 3.（2020高三·全国·专题练习）已知 f x 是定义在R上的函数， f 11，且对任意xR都有： f x5 f x5与 f x1 f x1成立，若gx f x1x，则g2017 ． 【答案】1 【解析】根据gx f x1x，得到gxx1 f x ，再结合 f x5 f x5与 f x1 f x1成立，可推理出gx5gx ，gx1gx ，两者结合进而推理出gx1gx ，得到 gx 是以1为周期的周期函数求解. 【详解】因为gx f x1x，所以gxx1 f x ． 所以gx5x51 f x5 f x5gxx15， gx1x11 f x1 f x1gxx11， 所以gx5gx ，gx1gx ， 所以gxgx5gx4gx3gx2gx1 ， 所以gx1gx ，所以gx 是以1为周期的周期函数． 所以g2017g1 f 1111． 故答案为：1 4.（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设 f x 是定义在Z上的函数，且对于任意的整数n，满足 f 2023 f n4 f n2n1， f n12 f n6n5, f 1505 ，则 的值为. . 289 【答案】3535 【分析】根据 f(n4) f(n)2(n1)，得出 f(n12) f(n)6(n5)，从而求出 f(n12) f(n)和 f(n4) f(n) 的值，再计算 f(2023)的值即可． 【详解】解：因为 f(n4) f(n)2(n1)， 所以 f(n12) f(n) f(n12) f(n8) f(n8) f(n4) f(n4) f(n) 2(n9)2(n5)2(n1)6(n5)， 又因为 f(n12) f(n)6(n5)，所以 f(n12) f(n)6(n5)， 所以 f(n4) f(n)2(n1)， 所以 f(2023)[f(2023) f(2019)][f(2019) f(2015)]...[f3 f(1)] f(1) 505(20204) 2202022016...20 f(1)2 5055052023， 2 f(2023) 5052023 所以  3535． 289 289 故答案为：3535． 5.（22-23高三·北京顺义·模拟）如果函数 f x 满足对任意s，t(0,)，有 f(st) f(s) f(t)，则称 f(x)为优函数．给出下列四个结论： ①g(x)ln(1x)(x0)为优函数； ②若 f x 为优函数，则 f(2023)2023f(1)； ③若 f x 为优函数，则 f x 在(0,)上单调递增； f(x) ④若F(x) 在 上单调递减，则 为优函数． x (0,) f(x) 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ st  【分析】①计算出gsgtgstln  1 1st   ln10，故 gsgtgst，得到①正确； ②赋值法得到2f 1 f 2 ，3f 1 f 3 ，依次类推得到 f(2023)2023f(1)； ③举出反例； f(x) f(st) f(s) f(st) f(t) ④由F(x) 在 上单调递减，得到  ,  ，整理变形后相加得到 x (0,) st s st t st f stst  f s f t ，即 f st f s f t ，④正确. 【详解】因为s,t0, ， 1s1t 所以gsgtgstln1sln1tln1stln 1st 1stst  st  ln ln1 ln10， 1st  1st 故gsgtgst ，故g(x)ln(1x)(x0)是优函数，①正确； 因为 f x 为优函数，故 f 1 f 1 f 11 ，即2f 1 f 2 ， f 2 f 1 f 21 f 3 ，故3f 1 f 3 ， 同理可得4f 1 f 4 ，……，2023f 1 f 2023 ，②正确； 例如 f xx2,x0，满足 f(st) f(s) f(t)st2s2t2 2st0， 即 f(st) f(s) f(t)，为优函数，但 f xx2 在x0, 上单调递减， 故③错误； f(x) 若F(x) 在 上单调递减， x (0,) 任取s,t0, ，st s,st t， f(st) f(s) f(st) f(t) 则FstFs,FstFt，即  ,  ， st s st t 变形为sf stst f s,tf stst f t ， 两式相加得： st f stst  f s f t ， 因为st 0，所以 f st f s f t ， 则 f(x)为优函数，④正确. 故答案为：①②④ 题型十三：类周期型函数局部周期：  2x,(x0 1、f（x）= f（x-1）, (x0) 局部周期：  2x,(x0 2、f（x）= f（x-1）+b, (x0) f x, x 8 1.（2023·上海·统考模拟预测） f x 在 R 上非严格递增，满足 f x1 f x1,gx  f xa, x 8 ， 若存在符合上述要求的函数 f x 及实数x 0 ，满足gx 0 4gx 0 1，则a的取值范围是 . 【答案】 4,2  2,4 【分析】根据题意整理可得：对nN*，则 f xn f xn，分类讨论x ,x 4的取值范围，分析运 0 0 算. 【详解】∵ f x1 f x1，即 f x1 f x1 对nN*，则 f xnf xn f xn1f xn1 f xn2f x1 f x f x       111 f xn f x ， 故对nN*，则 f xn f xn， ∵gx 4gx 1，则有： 0 0 1.当x 12时，则x 48， 0 0 可得 f x 4a f x a4 f x a1，不成立； 0 0 0 2.当12x 8时，则8x 44， 0 0 可得 f x 4 f x 4 f x a1，则 f x a f x 3， 0 0 0 0 0 若a3，解得a3，符合题意； 特别的：例如 f xk,xk,k1,kZ，取x 0 11,10,9,8 ，则3a4，解得4a3； 例如 f xk,xk,k1,kZ，取x 0 11,10,9,8 ，则2a3，解得4a2； 故4a3； 3.当8x 4时，则4 x 48， 0 0 可得 f x 4 f x 4 f x 1，不成立； 0 0 0 4.当4x 8时，则8x 412， 0 0 可得 f x 4a f x a4 f x 1，则 f x  f x a3， 0 0 0 0 0 若a3，解得a3，符合题意；特别的：例如 f xk,xk,k1,kZ，取x 0 4,5,6,7 ，则3a4； 例如 f xk,xk,k1,kZ，取x 0 4,5,6,7 ，则2a3； 故3a4； 5.当x 8时，则x 412， 0 0 可得 f x 4a f x a4 f x a1，不成立； 0 0 0 综上所述：a的取值范围是 4,2  2,4 . 故答案为： 4,2  2,4 .  1(x1)2,0x2 2.（2021下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数 f(x) ，  f(x2),x2 若对于正数k (nN*)，直线yk x与函数 f(x)的图像恰好有2n+1个不同的交点，则k2k2k2  n n 1 2 n . n 【答案】 4(n1) 【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到k 的表达式，最后裂项求和即可 n 求得k 1 2k 2 2  k n 2 的值. 【详解】当0x2时，y f(x) 1(x1)2 ，即(x1)2y2 1，y0； 当x2时， f(x) f(x2)，函数周期为2， 画出函数图象，如图所示： yk x与函数恰有2n+1个不同的交点， n 根据图象知，直线yk x与第n1个半圆相切， n 1 1 k   1 1 1 1 故 n (2n1)21 4n24n ，故k n 2  4n24n  4 ( n  n1 )， 1 1 1 1 1 1 n k2k2 k2  (1      ) 1 2  n 4 2 2 3  n n1 4(n1) . n 故答案为： . 4(n1) 3.已知f (x)=¿且方程f (x)=x恰有两解.则实数a的取值范围是______. 【答案】(−2,+∞) 【详解】 构造函数g（x）＝f（x）-a＝2−x 作出函数g（x）=¿的图象, 若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝x-a的图象有两个交点， 结合图象可知，当-a≥2时函数有1个交点；当-a＜2时函数有2个交点，即a＞-2时，函数 有两个交点.故答案为(−2,+∞) x2,1x1 4.（2023上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数 f x{ f x2,1x3 ，函数 f x 在 xx 处的切线为 0 1 1 l ，若 6 x 0  5 ，则 l 与 f x的图象的公共点个数为 ． 【答案】2或3. 1 1 【详解】由题意得，当 6 x 0  5 时，直线 l 的方程为： y2x xx 2，其与 1x1 时的图象只有一个交 0 0 点，当1x3时， f(x)(x2)2，则将直线l的方程y2x xx 2代入到 f(x)(x2)2中，得 0 0 1 1 1 x2(42x 0 )x4x 0 2 0x2x 0 2 x 0 ，由 6 x 0  5 得，12x 0 2 x 0 3 ，当 6 x 0 32 2 时， 22x 0 2 x 0 3，在定义域内，此时在1x3时，直线l与 f x 有两个交点，综合有三个交点； 1 当32 2 x 0  5 时， 2x 0 2 x 0 3，不在定义域内，此时在 1x3 时，直线 l 与 f x有一个交点， 综合只有两个交点；结合上述两种情况，l与 f x 的图象的公共点个数为2或3. 5.（福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题）定义在[0,+∞)上的函数f (x)满足 f (x)=¿. （i）f (2021)=___________. （ii）若方程f (x)−kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________. [ 1) 【答案】 −4042 −1,− ∪(0,1) 2 【分析】 （i）根据解析式，利用递推法即可得出； （ii）利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得. 【详解】 （i）f (2021)=f (2020)−2=f (2019)−2×2=f (2018)−3×3=…=f (0)−2021×2 =−4042 ; （ii）∵x≥1时，f(x)=f(x−1)−2， 所以f(x)的图象由在[0,1)之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所 示. 1 已知l ,l ,l 的斜率依次为1,− ,−1; 1 2 3 2由图可知若方程f (x)−kx=0有且只有两个解， [ 1) 则实数k的取值范围是 −1,− ∪(0,1)， 2 [ 1) 故答案为：−4042； −1,− ∪(0,1) 2 题型十四：“放大镜”函数类周期性质 形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析： 1.是从左往右放大，还是从右往左放大。 2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。 3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。 4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。 1.已知函数f (x)=¿当x∈[−1,1]时，f (x)=f (−x)，当x∈R时，f (x+4)=2f (x)，若关于x的方程 f (x)=mx在区间[0,5]上恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是___________. (2e−2 ) ( 2e−2] 【答案】{0}∪ ,1 ∪ 1, 5 3 【分析】 根据当x∈[−1,1]时，f (x)=f (−x)，可得当x∈[−1,1]时，函数f (x)为偶函数，再根据当x∈R时， f (x+4)=2f (x)，可得当x∈[3,5]时，函数f (x)可由当x∈[−1,1]时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍 即可，作出函数f (x)在[−1,5]时的函数图像，分m=0和m≠0两种情况讨论，当m≠0是，结合图像根据临 界点即可得出答案. 【详解】 解： 因为当x∈[−1,1]时，f (x)=f (−x)， 所以当x∈[−1,1]时，函数f (x)为偶函数， 又当x∈R时，f (x+4)=2f (x)， 则当x∈[3,5]时，f (x)=2f (x−4)， 则当x∈[3,5]时，函数f (x)可由当x∈[−1,1]时的图像横坐标不变，纵坐标变为2倍即可， 作出函数f (x)在[−1,5]时的函数图像，如图所示， 当m=0时，f (x)=mx=0在区间[0,5]上恰有三个不同的实数解，符合题意； 当m≠0时，当x∈[0,1]时，f'(x)=ex在x∈[0,1]上为增函数， 所以f'(x)≥f'(0)=1， 当函数y=mx过点(1,1)时，m=1，当函数y=mx过点(1,e−1)时，m=e−1， 2e−2 当函数y=mx过点(3,2e−2)时，m= ， 3 2e−2 当函数y=mx过点(5,2e−2)时，m= ， 5 结合图像，若关于x的方程f (x)=mx在区间[0,5]上恰有三个不同的实数解， 2e−1 2e−2 则1