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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 08 讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精
讲）
题型目录一览
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ， 也
在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的最小正周期.
【常用结论】1.奇偶性技巧
（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．②函数 ．③函数 类型的一切函数．
2.周期性技巧3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
4.对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
3．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.9．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
二、多选题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
三、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
题型 一 函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数
(4)非奇非偶函数
【分析】（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；
（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.
【详解】（1） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为偶函数.
（2） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为奇函数.
（3） 的定义域为 ，它关于原点对称.
，故 为奇函数.
（4） ，
故 ，故 为非奇非偶函数.
【题型训练】
一、单选题
1．函数 的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】A
【分析】由奇偶性定义直接判断即可.
【详解】 的定义域为 ， ，
是奇函数，不是偶函数.故选：A.
2．已知奇函数 ，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 得 ，代入得 ，根据奇函数即可求解.
【详解】当 ，则 ，则 ，
又 为奇函数，所以当 时， .
故选：A.
3．若函数 为奇函数，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】由 为奇函数求得 ，即可由分段函数求值.
【详解】函数 为奇函数，设 ，则 ，∴ ，
∴ ， .
故选：C.
4．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.
【详解】因为 的定义域为 ，关于原点对称，
所以 ，即函数为奇函数，排除AB，
当 时， ，排除D.
故选：C
二、填空题
5．函数 为偶函数，当 时， ，则 时， ___________．
【答案】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】 时， ， 是偶函数，
∴ ，
故答案为： ．
6． ，若 ，则 __________.
【答案】4
【分析】令 ，可得 为奇函数，再根据奇函数的性质求解.
【详解】令 ，则 ， 为奇函数，
由 ，解得 ，所以 .
所以 .故答案为：4.
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的解集是__________.
【答案】
【分析】利用奇偶性求出函数 的解析式 ，分类讨论即可求解.
【详解】当 时， ，所以 ，
因为函数 是定义在R上的奇函数，所以 ，
所以当 时， ，
所以 ，
要解不等式 ，只需 或 或 ，
解得 或 或 ，
综上，不等式的解集为 .
故答案为： .
三、解答题
8．已知函数
(1)求函数 解析式；
(2)判断函数 的奇偶性并加以证明【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）利用换元法，令 ，得 ，从而可得 ；
（2）先求函数定义域，利用奇偶性的定义进行证明.
【详解】（1）令 ，则 ，则 ，
所以 .
（2）奇函数；
证明：定义域为 ，因为 ，
所以 为奇函数.
9．已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)令 ，求证： 为奇函数；
(3)若锐角 满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）将 和 分别代入解析式求解即可；
（2）根据奇偶性的定义证明即可；
（3）根据奇偶性将不等式化为 ，利用单调性定义可证得 为 上的增函数，
由此可得 ，结合三角函数知识可求得结果.【详解】（1） ， ， .
（2） ，则 的定义域为 ；
， 为奇函数.
（3）由 得： ；
，
设 ，则 ，
为 上的增函数， ，即 ，
又 ， .
题型二 函数奇偶性的应用
策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题【典例1】若函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】求出 时的解析式后，代入 可求出结果.
【详解】因为 为奇函数，且当 时， ，
所以当 时， ，
所以 .
故选：C
【典例2】若函数 是偶函数，则 、 的值是（ ）
A． B． 不能确定，
C． ， 不能确定 D．
【答案】D
【分析】根据定义域关于原点对称，求得 ，再根据 ，求得 的值，即可求解.
【详解】因为函数 是偶函数，
可得 ，解得 ，即 ，
又由 ，
因为函数 为偶函数，则 ，即 ，
解得 .故选：D.
【典例3】偶函数 满足： ，且在区间 与 上分别递减和递增，使
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给条件，可画出符合全部条件的函数图象辅助做题.
【详解】根据题目条件，想象函数图象如下:
因为 ， 为偶函数，所以 ，
所以当 和 时， ，
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，计算可得 ，经检验均符合题意，即可得解.
【详解】由 为奇函数，
所以 ，
所以 ，可得 ，
解得 ，
当 时， 的定义域为 ，符合题意，
当 时， 的定义域为 符合题意，
故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用偶函数的性质直接求解即可.
【详解】由已知得，当 时，则 ，即 ， ，
∵ 为偶函数，∴ ，即 ，
∴ ， ，∴ ，
故选： .
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 为 上的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． ＋1 D．
【答案】B
【分析】由定义在 上的奇函数有 ，求出 的值，再由 可得出答案.
【详解】函数 为 上的奇函数，则 ，解得
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数及单调性解不等式即可.【详解】由题意， ，则 或 .故选:D.
5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数 在 上单调递增，则
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的对称性可得 ，即可求解集.
【详解】由偶函数的对称性知： 在 上递增，则在 上递减，
所以 ，故 ，可得 ，
所以不等式解集为 .
故选：D
6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上
单调递减，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递增，且 ，则当 或 时， ；当 时， ，
不等式 化为 或 ，
所以 或 或 ，
解得 或 或 ，即 或 ，
即原不等式的解集为 ；故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上是偶函数，在区间 上是单调函数，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性直接求解.
【详解】函数 在区间 上是单调函数，又 ，且 ，
故此函数在区间 上是减函数．
由已知条件及偶函数性质，知函数 在区间 上是增函数．
对于A， ，故 ，故A错误；
对于B， ，故 ，故B正确；
对于C， ，故C错误；对于D， ，故D正确．
故选:BD.
8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为R， 为奇
函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数定义换算可得 为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知 为周期函数，再根据
函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，故
又 ，所以 ，故 ，
所以 ， 为偶函数，A错误；
为奇函数，所以 ， ，
所以 ，B正确；
，又 的图象关于点 对称，所以 ，
所以 ，C正确；
又 ，所以 是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
三、填空题9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数 （其中 是自然对数的底数， ）
是奇函数，则实数 的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出 ，结合对数运算可得出实数 的值.
【详解】对于函数 ， ，解得 或 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为函数 为奇函数，则 ，即 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上单调递减，
且 ，则不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数 在 上为减函数，在 上为增函数，结合
，分类讨论当 、 时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数 是定义在R上的偶函数，且在 上单调递减
所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
，当 时， ，
有 ，解得 ；
当 时， ，有 ，解得 ，
综上，不等式 的解集为 .
故答案为： .
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在 上的函数 ，满足
为偶函数， 为奇函数，若 ，则 __________.
【答案】1
【分析】根据 为偶函数、 为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.
【详解】若 为偶函数， 为奇函数，
则 ， ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故答案为：1.
12．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
且 ，则 _________.
【答案】
【分析】推导出函数 为周期函数，确定该函数的周期，计算出 的值，结合 以及周
期性可求得 的值.【详解】因为 为奇函数，则 ，
所以， ，
在等式 中，令 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，则 ，①
所以， ，②
由①②可得 ，即 ，
所以，函数 为周期函数，且该函数的周期为 ，
所以， .
故答案为： .
题型三 函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【典例1】若函数 满足 ，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可.【详解】因为 ，
所以函数的周期为 .
A：因为 ，
所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
B：因为 ，
所以 ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期为： ，因此函数的周期不可能 ，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期为： ，因此本选项符合题意，
故选：D
【典例2】若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 为 的奇函数和 满足 ，得到函数 ，再结合 求解.
【详解】因为函数 为 的奇函数，
所以 ，
又 满足 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ， ，所以
故选：D
【典例3】已知定义在 上的奇函数， 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根已知条件求出 的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.
【详解】因为 满足 ，所以 ，
所以 是周期为 的函数，
当 时， ，所以 ，
又因为 是奇函数，
，
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数 是定义在R上奇函数，且 ， ，
则 （ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则 ，根据已知得出 ，
即可得出答案.【详解】 函数 是定义在R上奇函数，且 ，
，
，
则函数 是周期为8的周期函数，
则 ，
令 ，则 ，
，
故选：B.
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意推出函数 的周期以及满足等式 ，赋值求得 ，利用函数的周
期性即可求得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的周期为6，
又 为奇函数，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ,
所以 ，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的图像关于y轴对称，且周期为3，又
，则 的值是（ ）A．2023 B．2022 C． D．1
【答案】D
【分析】利用 的周期，根据函数的奇偶性和已知函数值，结合题意，求解即可.
【详解】因为 的周期为 ；
又 ，则 ；
，则 ；
因为函数 在 上的图像关于y轴对称
所以 为偶函数，
故 ，则 ；
故 .
故选：D.
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数 满足 ，且 是偶函数，当
时， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函数值.
【详解】由 是偶函数，得 ，令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ，
则有 ，即 ，所以函数 周期为4．
因为 ，则有 ，所以 ．
故选：B
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，都有 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由 ，都有 ，得出函数 是周期为4的周期函数，再利用
周期性逐一选项分析即可.
【详解】由 得 ，
则 ，
故 ，
所以 ，
所以函数 是周期为4的周期函数.
对于A, A错误；
对于B, ，B正确；对于C, ，
所以 ，C正确；
对于D, ，
所以 ，D正确.
故选：BCD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数 满足 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 是以2为周期的周期函数
B．函数 是以4为周期的周期函数
C．函数 为偶函数
D．函数 为偶函数
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.
【详解】依题意 是偶函数，且 ，
，所以A错误.
，所以B正确.
，所以函数 为偶函数，C正确.
若 是偶函数，则 ，则函数 是周期为 的周期函数，这与上述分
析矛盾，所以 不是偶函数.D错误.
故选：BC
三、填空题7．（2023·江西南昌·统考二模） 是以2为周期的函数，若 时， ，则 ________．
【答案】
【分析】直接根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为 是以2为周期的函数，若 时， ，
所以 .
故答案为： .
8．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则
________．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 ，即 .
所以函数 的周期为 .
因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 .
令 ，则 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
9．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知定义在实数集 上的函数 满足 ，
且当 时， ，若 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据题意求出函数 的周期为 ，再利用周期得到 ，最后利用基本不等式即可求解.【详解】因为函数 满足 ，所以函数 的周期为 ，
又因为 ，所以 ，
因为当 时， ，则有 ，
所以 当且仅当 ，即 时，取
等号.故答案为： .
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ，
，都有 ，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得 、 ，结合 即可求解；
（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得 ，即可得出结果；
（3）由（1）可得 ，结合 和周期为2，即可求
解.
【详解】（1）因为对任意的 ，都有 ，所以 ，
又 ，
， ，
∴ .
（2）设 关于直线 对称，故 ，
即 ，又 是偶函数，
所以 ，
∴ ，将上式中 以 代换，
得 ，
则 是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知 ，
∵
，
又 ，∴ .
∵ 的一个周期是2，
∴ ，因此 ．
题型四 函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用【典例1】已知二次函数 满足 ，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， 对称轴为 ，又 为二次函数以及已知条件可得 的单调性，根据单
调性即可求得实数 的取值范围.
【详解】由已知，二次函数 对称轴为 ，所以有 .
又 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，由 ，以及 在 上单调递增，可得 ；
当 时，由 ，可得 ，
又 在 上单调递减，所以 .
所以，实数 的取值范围是 .
故选：C.
【典例2】函数 在 上是增函数，函数 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知函数 的图象关于直线 对称，可得出 ， ，利用函数
在 上的单调性可得出 、 、 的大小关系，即可得出结果.
【详解】因为函数 是偶函数，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，
因为 ， ，且 ，
因为函数 在 上为增函数，所以， ，即 .
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.
【详解】对于A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；对于C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）若 的偶函数，其定义域为 ，且在 上是减函数，则
与 得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】由题意可得 ，且 ，即可得到所求大小关系．
【详解】 是偶函数，其定义域为 ，且在 ， 上是减函数，则 ，且
，则 ，故选 ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．
3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，且
为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数 的对称轴和中心对称点及周期，利用
相关性质得出具体函数值，即可得出结果.
【详解】∵ ，∴ 关于 对称，
∵ 为奇函数，∴由平移可得 关于 对称，且 ，，即
上两式比较可得
∴函数 是以4为周期的周期函数. ， ，
∴ ， ∴ .
故选：D.
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于坐标原点对称 B． 的图象关于 轴对称
C． 的最大值为1 D． 在定义域上单调递减
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性可判断AB；分离常数求出值域可判断C；分离常数后判断单调性可判断D.
【详解】因为 ，所以 为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；
因为 ， ， ，所以 不是偶函数，图象不关于 轴对称，故
不B正确；
因为 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故C不正确；
因为 ，且 为增函数，所以 在定义域 上单调递减，故D正确.故选：AD
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，且函数 的图像关于直线 对称，
函数 的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】首先利用轴对称、中心对称的公式，化简条件，然后利用赋值法即可求解.
【详解】 关于 对称，则有 ，令 ，
可得 ，令 ，得 ①.又 的图像关于点 对称，
可得 ②，
联立①②，可得 ，故A正确； ，令 得 ，故C
正确.
对于BD，例如 ，该函数符合AC，但是代入BD条件时，均不满足，故BD错误.
故选：AC
三、填空题
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在R上的非常数函数 满足：
，且 .请写出符合条件的一个函数的解析式 ______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据已知 ，且 得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为 .得出对称中心 ，且 得出对称轴为 轴，且周期为4的
函数都可以.
故答案为：
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，若 的图像关于直线 对称，则 _________.
【答案】1
【分析】利用赋值法结合所给已知条件即可解决问题.
【详解】因为 ， 令
所以 ，
所以 ，
又 的图像关于直线 对称，
所以 ，
令 ，
则 ，
即 ，
所以 .
故答案为：1.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 （a，b为常数）满足 ，且
方程 有两等根， 在 上的最大值为 ，则 的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由 有两等根，可得 得 ，由 可得 为 对称轴，可得
，则可得到 的解析式，对 分类讨论，利用函数单调性可得 的最大值.
【详解】解：已知方程 有两等根，即 有两等根，，解得 ；
，得 ， 是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线 ， ，
故 ，
若 在 上的最大值为 ，
当 时， 在 上是增函数， ，
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数， ，
综上， 的最大值为1.
故答案为：1.
四、解答题
9．（教材习题全解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质）我们知道，函数 的图象关于坐
标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数 的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数 为
偶函数”的一个推广结论.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）将函数 的解析式经过适当的变形，得出 ，构造函数 ，利用
奇偶性的定义证明 为奇函数，根据题设条件即可得出函数 图象的对称中心；（2）将“函数 的图象关于点 成中心对称图形”，类比为“函数 的图象关于直线
成轴对称图形”，再将“函数 为奇函数”，类比为“函数 为偶函数”，即
可写出结论.
【详解】解：（1） .
设 ，则 .
为奇函数.
的图象关于点 对称.
即 的图象的对称中心是点 .
（2）函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的证明以及函数的对称性，属于中档题.
题型 五 函数性质的综合应用
【典例1】若 的定义域为 ，且满足 为偶函数， 的图象关于 成中心对称，则
下列说法正确的个数是（ ）
① 的一个周期为4
②
③ 图象的一条对称轴为
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得 ，由此推理计
算即可判断各命题作答.【详解】 的定义域为 ，由 为偶函数，得 ，即 ，
由 图象关于 成中心对称，得 ，于是 ，
则 ，因此函数 是周期为4的周期函数，①正确；
由 ，得函数 的图象关于直线 对称，因此 图象的一条对称轴为 ，③正确；
由 ，得 ，则 ， ，即
，
因此 ，④正确；
而 ，则② 错误，
所以正确说法的个数是3，C正确.
故选：C
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
(1)存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
(2)存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
【题型训练】
一、单选题
1．（河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题）已知定义在 上的函数 满足
， ， 在区间 内单调且 ，则
（ ）
A． B．5055
C． D．1011
【答案】A【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数 的周期性，再由 在
区间 内单调且 ，可得 根据函数周期性即可解得 的值.
【详解】由题知 在 内单调，且 时，有 ，由此可知
，
当 时. ，得 ,
且 在 内单调，可得
，令 , 则 .又 ，
故 . 令 . 则 的周期为 4 .
当 趋于0时，有 . 故 ，
有 ，
，
根据 的周期性可知 ，
，
由 ，
故
.
故选：A.【点睛】关键点睛：由奇函数性质 ，以及对称性性质 推出函数周期是
解题的必要步骤，再由 在区间 内单调且 ，用特值法得出 的值为难点，
本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.
2．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）定义在 上的奇函数 满足 为偶函数，且
当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数 满足 为偶函数可知 是一个周期函数，根据 可判断单
调性，利用周期性将自变量都转化到 上，再利用单调性即可得大小关系.
【详解】因为 为偶函数,所以满足 ,又因为 是奇函数,所以
故
因此 即 是以4为周期的周期函数.
，
当 时， ， 在 单调递增， 在 单调递减，故 在单调递增.所以
故选：A
3．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）函数 的图像大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】 ，则 的定义域为R，
又 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当 时， ，故排除A.
故选：B.4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在 上函数 满足 ，
.当 时， ，则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出函数的对称性以及函数的周期为4.进而根据对称性可求出 在 以及 上
的解析式，作出函数图象，即可得出 的解集.分别令 取 ，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 关于点 对称，所以 ；
又 ，所以 ，所以有 ，故 关于直线 对
称，所以 .
所以， ，所以有 ，所以 ，
所以 的周期为4.
当 时， ，所以 ，
所以 时， .
当 时， ，所以 .
作出函数 在 上的图象如下图当 时，由 可得， ，解得 ，所以 ；
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 .
根据图象可得 时， 的解集为 .
又因为 的周期为4，
所以 在实数集上的解集为 .
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故A项错误；
令 ，可得区间为 ，故B项错误；
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故C项错误；
令 ，可得区间为 ，故D项正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，，若 ，其中 为正整数，则（ ）
A．2是 的一个周期 B．
C． 的图象关于 对称 D．
【答案】BCD
【分析】根据题意推得 ，即 ，可判定A不正确；令 ，求得
，推得 ，可判定C正确；根据 ，可判定B正确；由函数 的对
称性与周期性求得 ，结合函数 是以 为周期的周期函数，可判定D
正确．
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 是周期为4的周期函数，所以A不正确；
在 中，令 ，得 ，则 ，
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，所以C正确；
因为 ，所以 ，
所以 ，所以B正确；
由函数 的对称性与周期性可得 ，
因为 ，即 ，
所以 ，则 ，
结合函数 是以 为周期的周期函数，可得 ，所以D正确．
故选：BCD.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 、 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 的图象关于 对称 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以 为周期的周期函数 D．函数 是以 为周期的周期函数
【答案】BC
【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为 为偶函数，所以 ．
由 ，可得 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，A错；
对于B选项，因为 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，B对；
对于C选项，因为函数 为偶函数，且 ，
则 ，从而 ，则 ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数，C对；
对于D选项，因为 ，且 ， ，又因为 ，所以， ，
又因为 ，则 ，所以， ，
故 ，因此，函数 是周期为 的周期函数，D错.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数 的图象关于直线 和 对称，则函数 的周期为 ；
（2）若函数 的图象关于点 和点 对称，则函数 的周期为 ；
（3）若函数 的图象关于直线 和点 对称，则函数 的周期为 .
三、填空题
7．（2020·北京·统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排
放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小
评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关
系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力
比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知R上的偶函数 在区间 上单调递增，且恒有
成立，给出下列判断：① ；② 在 上是增函数；③ 的图象关
与直线 对称；④函数 在 处取得最小值；⑤函数 没有最大值，其中判断正确的序号
是______ ．
【答案】①④
【分析】由 可得函数 的图象关于点 对称，结合偶函数可得
是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答.
【详解】由 恒成立知，函数 的图象关于点 对称，
又 是偶函数，由 得 ，则有 ，即 ，因此， 是周期为4的周期函数，
对于①，在 中，当 时， ，则 ，①正确；
对于②， 是偶函数，且在 上单调递增，则在 上单调递减，而 的图象关于点
对称，
所以 在 上是减函数，②不正确；
对于③，函数 的图象关于点 对称，③不正确；
对于④，由①②的信息知， 在 上单调递减，由 是偶函数知， 在 上单调递增，
由 周期是4知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得最小值，④正确；
对于⑤，由④的信息知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得最大值，⑤不正确.
故答案为：①④
【点睛】论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a，b使得
，
则函数 图象关于点 对称.
