文档内容
专题 2-2 点对称+轴对称+周期+单调性
目录
专题2-2 点对称+轴对称+周期+单调性..........................................................................................1
..................................................................................1
题型一：利用奇偶性+单调性解不等式..........................................................................................1
题型二：构造奇偶函数求函数值.....................................................................................................3
题型三：奇偶性+周期性...................................................................................................................4
题型四：对称性+奇偶性...................................................................................................................5
题型五：对称性+周期性+奇偶性（知二推三）............................................................................7
题型六：三角函数中的对称性，周期性，奇偶性与单调性问题................................................9
.............................................................12
题型一：利用奇偶性+单调性解不等式
【典型例题】
例题1．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练习）定义在实数 上的奇函数
在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·广东·深圳市燕川中学高一期中）偶函数 的定义域为 ，且对于任意 ，均有 成立，若 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
1、对于任意 ，均有 成立，注意功能用
来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式
3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（ ）远，谁的函
数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（ ）远，谁的函数值就小。
【变式演练】
1．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设a为实数，定义在R上的偶函数 满足：
在 上为增函数，则使得 成立的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）已知定义在 上函数 的图象是
连续不断的，且满足以下条件：① ， ；② ，当
时，都有 ；③ ．则下列选项成立的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ，则 D． ， ，使得
3．（2022·广东·广州市第五中学高一阶段练习）已知偶函数 在 上单调递减，
若 ，则满足 的x的取值范围是___________.
题型二：构造奇偶函数求函数值
【典型例题】
例题1．（2022·陕西·无高一期中）已知函数 在区间 上的
最大值与最小值分别为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 ， 上
的最大值和最小值分别为 、 ，则 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【提分秘籍】
对于 本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），
构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ，若 ，
则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
2．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数，则 在 上的最大值与最小值之和为______．
3．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数
，若 ，则 ______．
题型三：奇偶性+周期性
【典型例题】
例题1．（2021·湖北·高一阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，且满足
，当 时， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河南河南·一模（文））函数 是定义在 上的偶函数，且
， 则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
例题3．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，
，若对任意 ，都有 ，对任意 且 ，都有
，则 ____________．
【提分秘籍】
函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
【变式演练】
1．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，满
足 ，当 时，有 ，求 的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数 对于任意 都有
， ，且 在区间 上是单调递增的，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川·邻水县九龙中学高三阶段练习（理））已知偶函数 的定义域为R，满
足 ，且当 ，则 _______________
题型四：对称性+奇偶性
【典型例题】
例题1．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数 的定义域为
，且 为奇函数，当 时， ，则 的所有根
之和等于（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·陕西·永寿县中学高一期中）已知函数 是偶函数，当
时， 恒成立，设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则
① ；
② ；
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
【变式演练】
1．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知定义在R上的奇函数 满足
，且在区间 上是减函数，令 ，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建省厦门第六中学高三阶段练习）设函数 的定义域为 ， 为偶函
数， 为奇函数，当 时， .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知 是R上的奇函数，且 ，当 ，
，且 时， ，则当 时，不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
题型五：对称性+周期性+奇偶性（知二推三）
【典型例题】
例题1．（2022·北京市第十七中学高一期中）已知 是定义域为 的奇函数，满足
，若 ，则
）
A．0 B．1 C．2 D．2021
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 存在导函数 ，
且满足 ，则曲线 在点 处的切线方
程可能是（ ）
A． B． C． D．例题3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知定义在 上的偶函数满足
，且当 时， 是减函数，则下列四个命题中正确的是
（ ）
A．
B．直线 为函数 图象的一条对称轴
C．函数 在区间 上存在2个零点
D．若 在区间 上的根为 ，则
【提分秘籍】
（1）例1中：奇偶性+对称性 周期性
已知 是奇函数，则 ；又 ，则 关于
对称 ，综合考虑
（2）例2中：奇偶性+周期性 对称性
由 和 可知 关于 对称
【变式演练】
1．（2022·浙江·高一期中）己知 是定义在 上的偶函数，且函数 的图像关于
原点对称，若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（理））已知 是定义域为 的奇函数，
满足 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于
点 对称，当 时， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．24．（多选）（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）设函数 的定义域为 ，且满足
， ，当 时， ，则下列说法正
确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 为奇函数
C．函数 有 个不同的零点 D．
5．（2023·浙江温州·模拟预测）定义在R上的函数 满足 ，
，若 ，则 __________，
__________．
题型六：三角函数中的对称性，周期性，奇偶性与单调性问题
【典型例题】
例题1．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文））已知点 是函数
图象的一个对称中心，其中 为常数且 ，则以下结论正确的
是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．将函数 的图象向右平移 个单位所得的图象关于 轴对称
C．函数 在 上的最小值为
D．若 ，则
例题2．（2022·山西·高二学业考试）将函数 的图象向左平移 个单位，
得到函数 的图象，那么下列说法正确的是（ ）A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 为奇函数 D．函数 的图象关于直线 对称
例题3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列关于函数 的说法正
确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 对称
【提分秘籍】
1、三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独
考，也可能以多选的形式综合在一个题目中考查.
2、三角函数的奇偶性
(1) 函 数 是 奇 函 数 ⇔ ( ) ， 是 偶 函 数 ⇔
( )；
(2)函数 是奇函数⇔ ( )，是偶函数⇔
( )；
(3)函数 是奇函数⇔ ( )．
3、三角函数的对称性
(1)函数 的图象的对称轴由 ( )解
得，对称中心的横坐标由 ( )解得；
(2)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对
称中心的横坐标由 ( )解得；(3)函数 的图象的对称中心由 )解得．
【变式演练】
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 的图
象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长
度得到函数 的图象.若函数 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数 的定义域
为 ，函数 的图象关于点 对称，函数 的图象关于直线 对称，
下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数 图像上所
有的点向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为π
B． 图像的一个对称中心为
C． 的单调递增区间为
D． 的图像与函数 的图像重合
4．（多选）（2022·广东广雅中学高三阶段练习）设 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递增
C． 的图象关于 轴对称 D． 的图象关于 对称
5．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数
( )的图象向左平移 个单位长度,得到曲线
.若 关于 轴对称,则 的最小值是______．
6．（2022·北京海淀·高三期中）若函数 和
的图象的对称中心完全重合，则 __________；
__________．
一、单选题
1．（辽宁省辽阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题）已知定义在R上的奇函数
在 上单调递减，且 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）己知函数 图象关于点 成中心对称
图形的充要条件是函数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是
（ ）
A． B． C． D．3．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知函数 为奇函数，且在区间 上
是增函数，若 ，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·贵州·高一期中）已知 是定义域为 的奇函数，且 为偶函数，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
5．（2022·福建泉州·高三期中）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数 在 上单调递增，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数 （ ， ），直线
和点 分别是 图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上为单调函数
D．函数 在区间 上有12个零点
8．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））已知定义在 上的奇函数 满足
， 且当 时， ， 则下列结论正确个数为
（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ ④ 图象关于直线 对称
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知函数 ，下列说法
正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点 对称
C．图象关于直线 对称 D．在区间 的值域为
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知 ，则下列说法错误的是
（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在 上的值域为D．函数 在区间 上的零点个数为8
11．（2022·四川·成都七中高一期中）已知函数 定义域为 ，且 ，
， ，则（ ）
A． 的图象关于直线x＝2对称 B．
C． 的图象关于点 中心对称 D． 为偶函数
12．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知定义R上的函数 满足
，又 的图象关于点 对称，且 ，则（ ）
A．函数 的周期为12 B．
C． 关于点 对称 D． 关于点 对称
三、填空题
13．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知 是定义在R上的奇函数，且函数图象关
于直线 对称，对 ， ，则以下结论：① 为奇函数；②
为偶函数；③ ；④在区间 上， 为增函数．其中正确的序号
是______．
14．（2022·四川省南部中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的奇函数，
为偶函数，且当 时， ，则 __________.
15．（2022·贵州遵义·高一期末）对 ，函数 满足 ，
.当 时， .设 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为____________.
16．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知函数 为奇函数，且
，当 时， ，给出下列四个结论：① 图像关于 对称
② 图像关于直线 对称
③
④ 在区间 单调递减
其中所有正确结论的序号是_______
