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微专题 1 函数的图象与性质
[考情分析] 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、
函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以
上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题
相结合命题.
考点一 函数的概念与表示
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
2.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集
例1 (1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是 ( )
A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+√3-x的定义域为(2，3]
B.函数f(x)=x2的定义域A R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个
C.若函数f(lg x)=x，则f
(1 ⊆)
=√10
2
x-2
D.函数y= 的值域为{y|y≠1}
x+1
(2)[角谷猜想]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的
是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再
加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串
自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷
运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是 ( )
A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数
B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1
D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题[规律方法] (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.
{
1,x>0,
跟踪演练1 (1)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)= 0,x=0, 则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的 (
-1,x<0,
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
{log (2x2+1),x≥0,
(2)已知a>0，且a≠1，函数f(x)= a 若f(f(-1))=2，则a= ，f(x)≤4的解集为
ax,x<0,
.
考点二 函数的图象
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对
称变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.
考向1 函数图象的识别
例2 (2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]上的大致图象为 ( )
考向2 函数图象的变换及应用
{ 2x,x≤1,
例3 (1)(2024·长沙统考)已知函数f(x)= log x,x>1,则f(2-x)的图象是 ( )
1
2{|sin πx|,0≤x≤2,
(2)(2024·渭南模拟)已知f(x)= 若存在实数x ，x ，x ，x ，x 且x <x <x <x <x ，使得
ex,x<0, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
5
f(x )=f(x )=f(x )=f(x )=f(x )，则 Σ x f (x )的取值范围为( )
1 2 3 4 5 i i
i=1
( 1 ] ( 1 ]
A. -∞，- B. - ，0
e5 e3
[ 1 )
C.(-∞，4] D. - ，4
e5
[规律方法] (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用
一些特殊点排除不符合要求的图象.
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、
最值、交点、方程的根等问题.
跟踪演练2 (1)(2024·马鞍山模拟)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为 (
)
x·3x
A.f(x)=
9x-1
x·3x
B.f(x)=
9x+1
ln(|x|+1)
C.f(x)=
x2+1
-x
D.f(x)=
(x2+1)ln(|x|+2)
xcosx
(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)= ，则函数y=f(x-1)+1的图象 ( )
ex+e-x
A.关于点(1，1)对称
B.关于点(-1，1)对称
C.关于点(-1，0)对称
D.关于点(1，0)对称
考点三 函数的性质1.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
3.函数的周期性
若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)，则函数y=f(x)的周期为2|a|.
4.函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.
a+b
(2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
考向1 单调性与奇偶性
(1) -0.8 ((1) -0.8 )
例4 已知定义在R上的函数f(x)=ex-e-x，设a=20.7·f(20.7)，b= ·f ，c=-
2 2
log 1.25·f(log 0.8)，则a，b，c的大小关系是( )
0.7 0.7
A.b>a>c B.c>a>b
C.b>c>a D.c>b>a
考向2 奇偶性与周期性、对称性
例5 (多选)(2024·三门峡模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，且g(x)=f'(x)，若∀x∈R，f(x)=f(6-x)，
g(4+x)=g(4-x)，则 ( )
A.f(-2)=f(8) B.g(-1)+g(3)=2
2025
C. Σ g(i)=0 D.f(0)+f(4)=2
i=1
( 1 )
[二级结论] (1)若f(x+a)=-f(x) 或f(x+a)= ，其中f(x)≠0 ，则f(x)的周期为2|a|.
f(x)
(2)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的周期为2|a-b|.
(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的周期为4|a-b|.
跟踪演练3 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x ，x ∈[0，+∞)，且x ≠x ，有
1 2 1 2
f(x )-f(x )
1 2
>0，若f(1)=0，则不等式(x-1)f(x)>0的解集是 ( )
x -x
1 2
A.(-1，1)∪(1，+∞)
B.(-1，1)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪(0，1)(2)(多选)(2024·开封模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则 ( )
A.f(0)=2
B.f(3-x)=f(3+x)
C.f(x)是周期函数
π
D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sin x
6答案精析
例1 (1)ACD (2)A
跟踪演练1 (1)B
( √6]
(2)√2 -∞，
2
例2 B
例3 (1)C
{|sin πx|,0≤x≤2,
(2)D [作出f(x)= 的图象如图，
ex,x<0
由题，x +x =1，x +x =3，x <0，
2 3 4 5 1
5
所以 Σ x f (x )=(x +x +x +x +x )f(x )=(x +4)f(x )
i i 1 2 3 4 5 1 1 1
i=1
=(x
1
+4)ex 1，
令g(x)=(x+4)ex(x<0)，
则当x<-4时，g(x)<0；
当-4<x<0时，g(x)>0.
g'(x)=(x+5)ex，当x<-5时，
g'(x)<0，g(x)在(-∞，-5)上单调递减；
当-5<x<0时，g'(x)>0，g(x)在(-5，0)上单调递增.
1
所以g(x) =g(-5)=- ，
min e5
5
[ 1 )
且g(x)<g(0)=4，所以 Σ x f (x )的取值范围为 - ，4 .]
i i e5
i=1
跟踪演练2 (1)D (2)A
例4 A
例5 AC [因为f(x)=f(6-x)，所以f(x)的图象关于直线x=3对称.
令x=-2，得f(-2)=f(8)，故A项正确；
因为f(x)=f(6-x)，所以f'(x)=-f'(6-x)，即g(x)=-g(6-x)，
所以g(4+x)=-g(2-x)，因为g(4+x)=g(4-x)，
所以g(4-x)=-g(2-x)，
即g(x+2)=-g(x)，所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，则g(x)的一个周期为4.
因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以x=3是f(x)的一个极值点，所以g(3)=f'(3)=0，
所以g(-1)=g(3)=0，
则g(-1)+g(3)=0，故B项错误；
由g(x+2)=-g(x)，得g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0，
即g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，
g(1)=0.
2025
所以 Σ g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1)=0，故C项正确；
i=1
设h(x)=f(x)+c(c为常数)，定义域为R，
则h'(x)=f'(x)=g(x)，h(3+x)=f(3+x)+c，h(3-x)=f(3-x)+c，
又f(3+x)=f(3-x)，
所以h(3+x)=h(3-x)，
显然h(x)=f(x)+c也满足题设，
即f(x)上、下平移均满足题设，显然f(0)+f(4)的值不确定，故D项错误.]
跟踪演练3 (1)A (2)ABC
