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方程的根与函数的零点
三维目标
知识与技能目标
1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图像
与x轴的交点三者的关系； 小鹿学姐独家整理 淘宝店铺：我爱教师工作室 版权保护
2、理解函数零点存在性定理：了解图像连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个
充分条件；了解函数零点可能不止一个；
3、能利用函数图像和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间。
过程与方法目标
1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力；
2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题。
情感、态度和价值观目标
1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系；
2、体验规律发现的快乐。
教学过程：
一、创设情境
师：同学们还记不记得上一章我们学过的指数函数以及它的性质，现在我们来解几道指数函数的方程。
解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x。
（老师环视全班）
师：我看同学们出现问题了是吧，代数运算好像是无法解决这一类方程，那今天我们就来看看这一类
方程如何解决。
师：首先我们先来复习一下一元二次方程的根与二次函数图像之间的关系，谁还记得，老师这里有一
个表格，谁能来说说都填什么。
（学生回答）
方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
根 x=-1，x=3 x=x=1 无实数根
1 2 1 2
函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3微信NTCECN整理
y y y
4 4 4
2 2 2
图像
O O
O
-1 1 2 3 x -1 1 2 3 x -1 1 2 3 x
-2 -2
-2
-4 -4
图像与x轴的 两个交点：
一个交点：(1,0) 没有交点
交点 (-1,0)，(3,0)
师：大家的基础知识都比较扎实，都答对了，那么从该表你可以得出什么结论？
（学生总结归纳，教师指导）
师：好，大家都说的不错，下面我们再用一个表格来归纳一下。
归纳：
判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 两个不相等的实数根 有两个相等的
没有实数根
(a>0)的根 x、x 实数根x = x
1 2 1 2
y y y
函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
O x 1 x 2 O
x O
x x
1 x
函数的图像与x轴的 两个交点： 一个交点：
无交点
交点 (x,0)，(x,0) (x,0)
1 2 1
师：大家看着这个表格，老师又有问题了，一元二次方程的根与相应的二次函数的图像之间有怎样的
关系？ 小鹿学姐独家整理 淘宝店铺：我爱教师工作室 版权保护
（学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标）
师：大家说的不错，那么我们再想刚才的问题，其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！
（师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善。）
师：下面我用几何画板画几个函数的图像：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x
－3)。大家来比较函数图像与x轴的交点和相应方程的根的关系，看看能不能够得出一般的结论。
师：有什么结论，谁来说。
（方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图像与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标）
二、深化概念微信NTCECN整理
师：在这里我们介绍一个新的概念—函数零点。通过刚才的讨论我们应该大概知道了什么是函数的零
点，下面我们给出严格的定义--对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。
师：同学们趁热打铁看这个题函数f(x)=x(x2－16)的零点是什么？
（学生回答）
师：我看到还有同学出现了问题，这里我们在计算函数零点时要注意几个问题：首先去除“零点是交
点”这一误解；其次要知道函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；以及求函数零点就是求方程
f(x)＝0的根。
师：那下面谁来告诉老师函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（同学回答，教师总结：
联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点。
区别：零⇔点对于函数而言，根对于方程而言。⇔）
师：那么我们就可以说函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方
程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础。下面我们再来练习几个问题：
练习：求下列函数的零点：
(1) f(x)=−x2+3x+4 (2) f(x)=lg(x2+4x−4)
三、归纳定理
师：老师现在又有新问题了：在怎样的条件下，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？这个可能
不好回答，那我们先来看这个问题。
（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．
（2）观察函数的图像： 小鹿学姐独家整理 淘宝店铺：我爱教师工作室 版权保护
①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．
②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．
师：通过图像同学们看看是否可以得到有用的结论。谁来总结一下？
（如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么，函
数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根）
师：这就是我们这节课主要研究的问题—零点存在性定理。下面我们来看几个练习。
下列函数在相应区间内是否存在零点？微信NTCECN整理
（1）f(x)=logx，x∈[1，2]； （2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]。
2
2
四、练习巩固
师：接下来我们一起来看看，上面的知识大家学明白了没有。看着几个例题。
例 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图像举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个
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零点． （ × ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．
（ × ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．
（ × ）
师：下面我请一位学生板书反例，其他学生补充。
y y y
a a
O b x O a b x O b x
师：这里我们要注意定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定
理条件时依然可能有零点。下面大家继续练习这个问题。
练习：
（1）已知函数f (x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 －7 11 －5 －12 －26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（2）方程– x3 – 3x + 5=0的零点所在的大致区间为 （ ）
A．(– 2，0) B．(0，1) C．(0，1) D．(1，2)
师：是不是感觉零点的考查方式越来越灵活了，谁来说一说你是怎么想的。
五、总结整理
师：谁先来说一说这节课的收获。
（学生回答）
师：大家说的都不错，总结起来，这节课可以用一二三来概括：微信NTCECN整理
（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：
函数 方程
数值
零点 存在性 根
个数
（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想。
（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间。
六、布置作业
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师：回去之后大家做一做这些问题，前三个题可以让大家更加深刻的认识函数的零点，最后的思考题
对大家下一节课将要学习的内容有很大的帮助。
1．函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？
2．利用函数图像判断下列方程有几个根：
（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．
3．结合上课给出的图像，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．
思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？
