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第 3 节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解
和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简
单函数的周期性.
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f ( － x ) ＝
偶函数 关于 y 轴 对称
f ( x ) ，那么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f ( － x ) ＝
奇函数 关于原点对称
－ f ( x )，那么函数f(x)是奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内
的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个
函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原
点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，
则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶
性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，
(2)错误.
2.下列函数中为偶函数的是( )
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
答案 B
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A
选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；
D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
答案 B
解析 因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于 A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足 F(x)＝－
F(－x)，故不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足 G(x)＝－G(－
x)，故是奇函数；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称，故不是奇函数；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称，故不是奇函数.
4.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且 f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f
＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 C
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，
所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)是以2为周期 的周期函数，f＝f＝f＝.
5.(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x>0时，f(x)＝x－3，则函数
f(x)的解析式为___________________.
答案 f(x)＝
解析 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x－3.
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3.
又f(0)＝0，∴f(x)＝
6.(2022·西安质检)已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1，
经检验，a＝－1时，符合题意.
所以f(x)＝ex＋e－x≥2＝2，
当且仅当x＝0时取等号.
故函数f(x)的最小值为2.
考点一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log (x＋)；
2
(4)f(x)＝＋x.
解 (1)由得x2＝1，即x＝±1，
即函数f(x)的定义域为{－1，1}，
从而f(x)＝＋＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称.
∵x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
∵x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝f(x).
综上，f(x)为偶函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log (－x＋)＝log (－x)＝log (＋x)－1
2 2 2
＝－log (＋x)＝－f(x)，
2
故f(x)为奇函数.
(4)由得
∴原函数的定义域为{x|－10，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
角度3 求参数的值
例4 (2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 法一 因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
法二 因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所
以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
感悟提升 利用函数的奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求参数值；(4)画函数图象；(5)求一些特殊结构式
的值.训练2 (1)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝
________.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
答案 (1)－7 (2)4
解析 (1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
(2)令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1.
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
考点三 函数的周期性及其应用
1.已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
则f等于( )
A. B. C.1 D.
答案 C
解析 因为f(x＋2π)＝f(x)，
所以f(x)的周期为2π，
所以f＝f＝f＝f.
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
所以f＝2sin ＝1.
2.(2022·成都诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]
时，f(x)＝2x＋log x，则f(2 024)等于( )
2
A.5 B. C.2 D.－5
答案 D
解析 ∵f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的周期为4，f(2 024)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log 2)＝－5.
2
3.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1，1)时，f(x)＝则 f＝
________.答案 1
解析 由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
4.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则
函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
答案 7
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
感悟提升 1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函
数的周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，
转化到已知区间上，进而解决问题.
考点四 函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性
例 5 (1)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x).若 a＝g(－log 5.1)，b＝
2
g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.alog 5.1>2>20.8，且a＝g(－log 5.1)＝g(log 5.1)，
2 2 2
∴g(3)>g(log 5.1)>g(20.8)，则c>a>b.
2(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，
且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图
(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
感悟提升 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上
的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较
大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x )>f(x )的形式，再结合单调性，脱去
1 2
“f”变成常规不等式，转化为x x )求解.
1 2 1 2
训练3 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，
b＝f(log 3)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为( )
2
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.a>c>b
(2)(2021·汕头联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其在区间[0，＋∞)上
单调递增，且f(2)＝0，则不等式f(log x)>0的解集为________________.
2
答案 (1)C (2)∪(4，＋∞)
解析 (1)当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，f(x)的图象关于y轴对称，
则a＝f(－π)＝f(π).
又π>3>log 3>1>2－0.2>0，
2
∴f(π)>f(log 3)>f(2－0.2)，
2
∴a>b>c.
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(|x|).又f(2)＝0，所以不等式f(log x)>0等价于f(|log x|)>f(2).
2 2
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以|log x|>2，
2
所以log x>2或log x<－2，
2 2
所以x>4或00，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知所以10
时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是R上的奇函数.
(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：任取x ，x ∈R，x 0，
1 2 1 2 2 1
∴f(x )－f(x )＝f(x －x ＋x )－f(x )＝f(x －x )＋f(x )－f(x )＝f(x －x )>0，
2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
∴f(x )
