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7.3 空间角（精练）
1．（2023·黑龙江哈尔滨）如图所示，在棱长为2的正方体 中，O是底面的中心，E，F
分别是 ，AD的中点，那么异面直线OE与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正方体 中建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2， 是底面的中心，E，F分别是 ，AD的中点，
所以 ， ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以异面直线OE与 所成角的余弦值等于 ，
可得异面直线OE与 所成角的正弦值为 .
故选：A．
2．（2022·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体 中，E，F分别是 的中点，则直线
与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方体 中，E，F分别是 的中点，
设正方体 中棱长为2，
以D为原点， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设直线 与EF所成角为θ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 = = ，
∴直线 与EF所成角的余弦值是 ．
故选：B．
3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报
时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在
某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正
四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），
已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟
面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，在正四棱柱 中， 分别为侧面 和侧面 的中心，
为 的中点， 为 点钟时针， 为 点钟时针，
则 ， ，
设正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，
以 为原点，以 的方向分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
所以 .
所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为 .
故选：B
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱 如图所示，
为棱 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为 ，则异面直
线 和 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在直三棱柱 中，所以球心到底面的距离 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以底面外接圆半径 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为球的表面积为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ， ，
，
，
设直线 和 所成的角为 ，则
.
故选：A.
5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面
均为矩形， ， ， ， .
(1)求证： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接 ，四边形 和四边形 均为矩形，
， ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
平面 ，则 ，
由 ，所以 .
（2）设 ， ，
，
， ，
， ，
过C点作 垂直交 于点M，由（1）可知 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ，
， 平面 ， ， 平面 ，
设 与平面 所成的角为 ，
又 ， ，
平面 ， 到平面 的距离等于3，
连接 ，在平行四边形 中， ，
， ，
，
与平面 所成角的正弦值
6．（2023春·新疆伊犁 ）如图：已知直三棱柱 中， 交 于点O， ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： ；
(2)求二面角 的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 平面ABC， 平面ABC，可得 ，
由题意可知： ，即 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ，则 是正方形，可得 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，所以 .
（2）连接 ，可知平面 即为平面 ，则二面角 即为二面角 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 ，且 为 的中点，则 ，
又因为 平面ABC， 平面ABC，可得 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，则 ，
所以二面角 的平面角为 ，
在 中， ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角 的正切值为 .
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）四棱锥 中， 平面
，四边形 为菱形， ， ，E为 的中点，F为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
如图所示，取 中点G，连接 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由中位线的性质易知： 且 ，
又因为底面 是菱形，E为 的中点，所以 ， ，
即四边形 是平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）
如图所示，作 ，垂足为I，作 交PC于J，连接AJ，
易知 即二面角 ，
在菱形 中，由于 ， ， 平面 ，
易得 ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
即二面角 的正弦值为 .
8．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥 中，底面ABCD的中心为O，PD边上
的垂线BE交线段PO于点F， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： //平面PBC；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【解析】（1）证明：如图，延长FO至点M，使 ，连接MD，
∵底面ABCD的中心为O，∴ 平面ABCD，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
而 ，∴ ，∴ ，
∵ 平面PBC， 平面PBC，∴ 平面PBC；
（2）由（1）知E是PD的中点，又 ，∴ ，
不妨设 ，则 ， ，
∵ 是正四棱锥，底面ABCD的中心为O，∴OC，OD，OP两两垂直，
以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面PAB的一个法向量为 ，
，令 ，则 ， ，
设平面PBC的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
∴ ，
∴二面角 的余弦值为 ．
9．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】1）因为 平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 为直角三角形，
又因为 ， ，
所以 ，则 为直角三角形，故 ，
又因为 ， ，
所以 平面 .
（2）由（1） 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 为 轴，过 且与 平行的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为 .
10．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
11．（2023·四川·校联考一模）如图，在四棱锥 中， 是边长为4的等边三角形，平面
平面 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：取AD中点O，连结PO，CO，
因为 是等边三角形，所以 ．
又因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 是等边三角形，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）解：由平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在 中由余弦定理： ，
因为 ，可得 ，解得 ，
可得 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
12．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）如图，连接 ，交 于 ，连接 .
因为侧面 为菱形，所以 ，且 为 的中点.又 ，故 .
又 ，且 ，所以 ，所以 .又 ，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 .
因为 平面 ， ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知， 两两互相垂直，因此以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，
轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .
故 ， ， .
设 为平面 的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，则
.
设 为平面 的一个法向量，则有 ，即 ，令 ，则
.因为平面 平面 ，所以 也是平面 的一个法向量.
所以 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体 中， 平面 ，点 在平面 的投
影在线段 上 ， ， ， ， 平面 .
(1)证明：平面 平面 .
(2)若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【解析】（1）由题知，平面 平面 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，
又因为平面 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，则 共面.
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，则四边形 为平行四边形，所以 .
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 , 平面 ，所以 平面 .
因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知， ， ， 两两垂直，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴建立空间直
角坐标系，设 ，如图所示，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量 ，
所以 ，即 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量 .
设平面 的法向量 ，
所以 ，即 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量 .
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，不合题意，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以线段 的长为2.
14．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥 中，四边形 为梯形， ∥ ， ，
， ， ，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线 ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接BD， M，N分别是PD，PB的中点．
∥
又 平面 ， 平面
直线 ∥平面
（2） ， ，
,
,
两两之间互相垂直
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】, , , ,
又 M，N分别是PD，PB的中点．
，
, ，
设平面 的法向量为
可得
解得 令 可得法向量
, ，
平面
为平面 得法向量
令平面 与平面 夹角为 且为锐角
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
15．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，点 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)设 的中点为 ，点 在棱 上（异于点 ， ，且 ，求直线 与平面 所成角的
正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为 ，点 是 的中点，所以 .
因为 平面 平面 ，所以平面 平面 ，
因为四边形 为矩形，所以 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：由题意可得 两两垂直，
设 ，如图，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为点 是 的中点，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 可得 ，所以平面 的一个法向量 .
，设 ，
即 ，所以 .
又 ，
所以 ，
化简得 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
1．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）二面角 中， ， ， ，
且 ， ，垂足分别为A、C， ， ， ，已知异面直线 与 所成角为 ，
则 （ ）
A． B． C． 或5 D． 或
【答案】D
【解析】在 内做 ，且使 ，连接 ，因为 ，
所以四边形 为平行四边形， ， ，
由 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，可得 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为异面直线 与 所成角为 ， ，
所以直线 与 所成角为 ，
当 时，如下左图，由余弦定理可得
，
此时 ，即 ；
当 时，如下右图，由余弦定理可得
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 ，即 ；
综上所述， 或 .
故选：D.
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）（多选）直角 中 是斜边 上的一动
点，沿 将 翻折到 ，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线 与 的夹角余弦值为
D．四面体 的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】如图所示：过点 作 ，交于 延长线于点 ，
过点 交于 于点 ，作 ，使得 ，
由二面角 为直二面角，可知 ，
设 ，则有 ， ， ，
在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，当且仅当 ，
此时， ，
在图1中， ，所以 为 的平分线，
于是有 ，所以 ，
，
由上可知： 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
因为 ，
所以选项A正确；
因为 ，
所以选项B正确；
，
因为 ，
所以直线 与 的夹角余弦值为 ，因此选项C不正确；
设四面体 的外接球的球心为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然有 ，
所以有 ，
，
，
由 ，解得 ，
四面体 的外接球的半径为 ，
四面体 的外接球的表面积为 ，
因此选项D正确，
故选：ABD
3．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）（多选）如图，正方体 的棱长为 分
别为 的中点，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．点 与点 到平面 的距离相等
B．直线 与平面 所成角的正弦值为
C．二面角 的余弦值为
D．平面 截正方体所得的截面面积为
【答案】ACD
【解析】对于 ，如图1所示，取 的中点 ，连接 ，
则有 平面 , 平面 , 平面 .
.， , 平面 . 平面 平面 , 平面 , 平面 ,
,
所以平面 平面 .
又因为 平面 ，所以 平面 ，点 与点 到平面 的距离相等，故 正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于 ，如图2所示，连接 ，又 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，由已
知得： ，
所以 中， ，即B错误；
对C，如图3所示，因为 平面 ，作 交 延长线于 ，
连接 ，则 ，故设二面角 的平面角为 ，
由 得 ，
所以 ，即C正确；
对于D，如图4所示，连接 ，延长 交于点 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
所以 四点共面，所以截面即为等腰梯形 .
，梯形 的高为 ，
所以梯形 的面积为 ，故D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ACD.
4．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，
且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 平面 平面 ，所以 ，
又因为 ，而 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又因为 ，点 是 的中点，所以 .
而 平面 ，
所以 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解法一：设 ，由（1）得， ，
可知 ，
由 ，得 ，故 ，
在Rt 中， ，
所以 ，
化简得 ，解得 ，故 .
由（1）知 平面 ，故 即为所求角，
在Rt 中， ，
又 ，故 ；
解法二：设 ，由（1）得， ，
可知 ，
由 ，得 ，故 ，
在Rt 中， ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
如图，以 为原点，与 垂直的方向，射线 ，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】系.
因为 ，则 ，
，
由（1）知， 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又 ，故 .
5．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形 为正方形，
四点共面，且 和 均为等腰直角三角形， ，平面 平面 ，
.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若点 在直线 上，求直线 与平面 所成角的最大值.
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
(3) .
【解析】（1）因为 和 均为等腰直角三角形，且 ，
所以 ，
所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）连接 ，因为四边形 为正方形，
所以 ，
因为平面 平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，
令 ，得 ，
因为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值是 .
（3）设 ，则 ，
设 与平面 所成的角为 ，则
要使 最大，则 ，
所以 时等号成立，
所以 ，所以 与平面 所成角的最大值为 .
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求直线 与平面 所成角的正
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接
， ， 是 的中点
， 是 的中点
，
，
平面
平面 ， 平面 ， ，
在三棱柱 中， ，
， ，
，
平面 ，
平面 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）连接 ，由（1）可知 ，
平面 ， 平面
平面 ，
，要使 的面积最小，则 最小，
又 ， △ 是等腰直角三角形
即 时， 最小， 是 的中点，
如图，建立以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系：
则 ， ， ， ,0, ，
设 , , ，则 ，即 ，得 ， ， ，
即 , , ，
，则 ，
， , , ，
设平面 的法向量为 , , ，
由 ，得 ，即 ，令 ，则 ， ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 , ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
7．（2023秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图1，在平面图形 中， ，
， ， ，沿 将 折起，使点 到 的位置，且 ， ，
如图2.
(1)求证：平面 平面 .
(2)线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ?若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，且 ，所以四边形 为等腰梯形，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 ， ， 平面AEG，所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由 ， ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，可得 ，所以 平面 ，
又由（1）知 ， ，所以 两两互相垂直，
以 为原点， 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ，四边形 是矩形，所以 ，
则 ， ， .
假设线段 上存在点 满足题意，
令 ,则 ，可得 ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
由 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，其中 ，
所以 ，解得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以线段 上存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ，且 .
8．（2023·北京·高三景山学校校考期中）在四棱锥 中，侧面 底面 ， ，
为 中点，底面 是直角梯形， ， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)点Q在线段PC上，平面BDQ和平面PBD的夹角为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：如图，取PD的中点F，连接EF，AF，
又E为PC中点，∴ ，且 ，
又 ，且 ，
∴ ，且 ，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）∵侧面 底面 ， ，
又 平面 ，侧面 底面 ，
∴ 底面 ，又 底面 ，
∴ ，又易知 ，且 ，
∴ 平面 ，又 ，
∴B到平面 的距离等于A到平面 的距离，即为AD，
∴三棱锥 的体积为： .
（3）根据题意，可建系如图，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
设平面PBD与平面BDQ的法向量分别为 ， ，
则 ， ，
取 ， ，
又平面BDQ和平面PBD的夹角为 ，
∴ ，
又 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
9．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形，
平面 ，且 ，点 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，确定点
的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 ，使得二面角 的余弦值为
【解析】（1）连接 ，如下图所示：
由四边形 为菱形，可得 ，
又 平面 ，又 平面 ，所以 ，
，且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，依题意易知 三条线两两互相垂直，以 为原点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所在直线分别为 轴建立空间坐标系如下图所示：
由 ， 可得
设点 ，则 ，其中 ，
由点 在线段 上，可设 （其中 ），
即 ，可得 ，
所以
设 为平面 的法向量，
则 即
令 ，则
设 为平面 的法向量，
则 即
令 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依题意可知 ，
即 ，
即 ，即 或 （舍），所以 ；
故存在点 使得二面角 的余弦值为 .
10．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥 中， ，
， .
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，平面 平面 ，探索： 是否为定值？若为定值，请求出 的
值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)是定值，
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ，连接 交 于 ，
如图，由 知 为等腰梯形， ，
又 ，故 ，
显然 为 中点， ，
故 又 ，所以 平面
又 平面 ，故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若平面 平面 ，
由 为平面 与平面 的交线， 知， ，
如图，可以 为原点，建立平面直角坐标系.
设 ，因 ，
如图，底面延长 交于 点，
由 知 为等边三角形，
又 ，可知 也为等边三角形，
故 ，
又 ，
所以 ，又 ，所以 为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 也为等边三角形，故 ，
所以 ，故 ，
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设平面 法向量为 ，则 即
可令 得 ，
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设平面 法向量为 ，则 即
可令 ，
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故 .
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