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专题 04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类
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题型一：奇偶性基础.............................................................................................................................................................1
题型二：单调性基础.............................................................................................................................................................3
题型三：周期性基础.............................................................................................................................................................4
题型四：中心与轴对称应用：左右平移.............................................................................................................................5
题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型.........................................................................................................................6
题型六：中心与轴对称应用：轴对称型.............................................................................................................................7
题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称.........................................................................................................................7
题型八：中心与轴对称应用：中心对称.............................................................................................................................8
题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和.................................................................................................................9
题型十：中心与轴应用：“隐对称点”...........................................................................................................................10
题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”...................................................................................................................10
题型十二：函数型不等式：“优函数”型.......................................................................................................................11
题型十三：类周期型函数...................................................................................................................................................12
题型十四：“放大镜”函数类周期性质...........................................................................................................................13
题型一：奇偶性基础判定函数的奇偶性的常见方法：
（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证
货等价形式 是否成立；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于 轴对称，可得函数为
偶函数；
（3）性质法：设 的定义域分别为 ，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论
（在定义域内）：
1.加减型：
奇+奇→ 奇
偶+偶→ 偶
奇-奇→ 奇
偶-偶→ 偶
奇+偶→ 非
奇-偶→ 非
2.乘除型（乘除经验结论一致）
奇X 奇→ 偶
偶X 偶→ 偶
奇X 偶→ 奇
奇X 偶X 奇→ =偶
简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变
3.上下平移型：
奇+c→ 非
偶+c→ 偶
4.复合函数：
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数
1.（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则
下列函数不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知 是定义域为 的函数，且
是奇函数， 是偶函数，满足 ，若对任意的 ，都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数 是 的奇函数， 是常数．不等式
对任意 恒成立，求实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数 为奇函数，则 的值是（ ）
A．0 B． C．12 D．10
6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
题型二：单调性基础
单调性的运算关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x，x∈[a，b]，那么有：
1 2
①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；
②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．
1.（21-22高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x ，x ∈[a，b](x ≠x )，下
1 2 1 2
列结论中不正确的是（ ）
A． >0
B．(x －x )[f(x )－f(x )]>0
1 2 1 2
C．若x 0
2.（23-24高三·福建厦门·模拟）已知定义在 上的奇函数 满足① ；② ， ，且
， ，则 的解集为（ ）
A． B．C． D．
3.（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知 为偶函数，若对任意 ， ，总有
成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4.（22-23高三·浙江·模拟）设 ， 都是 上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ）
①若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；
②若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；
③若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；
④若 单调递减， 单调递减，则 单调递减.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5.（23-24高三·河北邢台·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，对任意的
，且 ， 恒成立，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三：周期性基础
周期性
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
1.（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）函数 的定义域为 ，且 ， .若对任意实数 ， 都
有 ，则 （ ）
A． B．-1
C．0 D．1
2.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足： 为偶函数，且 ，则
一定是( )
A．是偶函数，也是周期函数
B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数
D．是奇函数，但不是周期函数
3.（23-24高三 ·湖南衡阳·阶段练习）已知函数 满足 ，对任意实数x，y都有
成立，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
4.（22-23高三 安徽·阶段练习）已知 是定义在 上的函数， ，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
5.（21-22高三·贵州六盘水·）函数 的定义域为 ，若 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型四：中心与轴对称应用：左右平移
图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) ――――――――→y＝ － f ( x )；
②y＝f(x) ―――――――――→y＝ f ( － x ) ；
③y＝f(x) ―――――――――→y＝ － f ( － x )；
④y＝ax (a>0且a≠1) ――――――――→y＝log x ( a >0 且 a ≠1) ．
a
⑤y＝f(x) ――――――――――――――――→y＝ | f ( x ) |.
⑥y＝f(x) ――――――――――→y＝ f ( | x |) ．
1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.．（2023·全国·高三专题练习）已知 为R上的奇函数， 为R上的偶函数，且当 时，
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·陕西·统考二模）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．6
5.（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数， 为偶
函数．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型
带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移
平移变换：左右或者上下
左加右减
1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知 是定义域为 的函数， 为奇函数， 为偶函
数，则有① 为奇函数，② 关于 对称，③ 关于点 对称，④ ，则上述推
断正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④
2.（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶
函数，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
3.（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数 满足
是奇函数， 是偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． D． 的一个周期为8
4.（2023秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数 及其导函数 的定义域都为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知 及其导函数 的定义域均为 ，若
为奇函数， 为偶函数．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型六：中心与轴对称应用：轴对称型
1.（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数 关于直线 对称，则
．
2.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，
若方程 有且仅有三个根，且 为其一个根，则其它两根为 .
3.（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数 满足 ，且当
时， ，设 ，则 的大小关系是 ．
4.（广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题）若函数 有
且只有一个零点，又点 在动直线 上的投影为点 若点 ，那么 的最
小值为__________.
5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试 2021 届高三第一学期 11 月月考）.已知
， ， ，则实数m的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称
轴变换，又叫直线镜面变换：
1、
1.（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数 的图像与函数 的图像关于
直线 对称，则函数 的单调递增区间是 .
2.（2023·高三单元测试）函数 与 的图象关于直线 对称, ,则
．
3.（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，函数
的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ．
4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线 与函数 的图像关于直线 对
称，设曲线 仍然是某函数的图像，则实数 的取值范围是 .
5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线 : ，函数 ，若 存在切线与 关于直
线 对称，则 ．
题型八：中心与轴对称应用：中心对称中心对称：
（1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为
（3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 .
函数变换，又叫原点变换：
1. （ 湖 北 省 武 汉 二 中 2022-2023 学 年 高 三 下 学 期 4 月 第 三 次 测 试 数 学 试 题 ） 已 知 函 数
，不等式 对 恒成立，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
2.（四川省达州市大竹县大竹中学 2020-2021 学年高一下学期 5 月月考数学试题）已知函数
， ， 若 使 关 于 的 不 等 式
成立，则实数 的范围为___________.
3.函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ， ，则 的取值
范围是______.
4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校 2022-2023 学年高三数学试题）已知函数 满足
，若函数 与 图像的交点为 ，则
____________.
5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数 ．
若存在 使得不等式 成立，则实数 的取值范围是________．
题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和类比正弦：
①两中心
②两垂直轴
③一个中心 ，一条轴
1.（2022·广东惠州·模拟）已知 是定义在 上的奇函数， 且 ， 若 ，则
（ ）
A．3 B．0 C．3 D．2018
2.（2022·广西南宁·一模）定义在 上的偶函数 满足：对任意的实数 都有 ，且
， ．则 的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
3.（2023·山东·一模）已知 是定义在 上的奇函数,且 为偶函数,若 ,则
（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
4.（22-23高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足 ，若
，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．2020
5.（2023·广东梅州·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且 ，则
（ ）
A．10 B．20 C．15 D．5
题型十：中心与轴应用：“隐对称点”
两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，
具有综合性，难度较大．
1.（21-22高三·云南红河·模拟）对于函数 ，若存在 ，使得 ，则称点
与点 是函数 的一对“隐对称点”，若函数 ，存在“隐对称点”，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2.（2022广西柳州·一模）已知函数 与 的图像上存在关于 轴对称的对称点，则
实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
3.（2022辽宁沈阳·模拟预测）函数 与 的图象上存在关于 轴的对称点，则实数 的
取值范围为（ ）( 为自然对数的底)
A． B． C． D．
4.（2023·河北衡水·一模）若函数 图象上存在两个点 ， 关于原点对称，则对称点 为函数
的“孪生点对”，且点 对 与可看作同一个“孪生点对”.若函数
恰好有两个“孪生点对”，则实数 的值为
A．0 B．2 C．4 D．6
5.（22-23高三下·上海宝山·期中）若存在 与正数 ，使 成立，则称“函数 在
处存在距离为 的对称点”．设 （ ），若对于任意 ，总存在正数 ，
使得“函数 在 处存在距离为 的对称点”，则实数 的取值范围是…
A． B． C． D．
题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”
双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
传递中心，对称轴，与周期
若函数 关于 轴对称，关于 中心对称，则函数 的周期为 ，
若函数 关于 轴对称，关于 轴对称，则函数 的周期为 ，
若函数 关于 中心对称，关于 中心对称，则函数 的周期为 .
1.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数 的定义域均为R，且满足
则 （ ）
A． 3180 B．795 C．1590 D． 1590
2.（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数 ， 的定义域均为R，且 ，，若 的图像关于 对称， ，则 （ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
3.（2023·辽宁·模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为R， 是奇函数，且 ，
，则下列结论正确的是 ．（只填序号）
① 为偶函数；② 为奇函数；③ ；④ .
4.（2023·河南·模拟预测）已知 为定义在 上的奇函数， 是 的导函数， ，
，则以下命题：① 是偶函数；② ；③ 的图象的一条对称轴是 ；
④ ，其中正确的序号是 ．
5.（2023·四川南充·二模）设定义在 上的函数 和 .若 ， ，
且 为奇函数，则 .
题型十二：函数型不等式：“优函数”型
有 ，则称 为优函数。
类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。
1.（2024 年高考 1 卷）已知函数为 的定义域为 R， ，且当 时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2021·四川德阳·一模）已知函数 ，若 ， ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2020高三·全国·专题练习）已知 是定义在R上的函数， ，且对任意 都有：
与 成立，若 ，则 ．
4.（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设 是定义在 上的函数，且对于任意的整数 ，满足， ，则 的值为. .
5.（22-23高三·北京顺义·模拟）如果函数 满足对任意s， ，有 ，则称
为优函数．给出下列四个结论：
① 为优函数；
②若 为优函数，则 ；
③若 为优函数，则 在 上单调递增；
④若 在 上单调递减，则 为优函数．
其中，所有正确结论的序号是 ．
题型十三：类周期型函数
1.（2023·上海·统考模拟预测） 在 上非严格递增，满足 ，
若存在符合上述要求的函数 及实数 ，满足 ，则 的取值范围是 .
2.（2021下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数 ，
若对于正数 ，直线 与函数 的图像恰好有 个不同的交点，则
.
3.已知f (x)=¿且方程f (x)=x恰有两解.则实数a的取值范围是______.4.（2023上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数 ，函数 在 处的切线为
，若 ，则 与 的图象的公共点个数为 ．
5.（福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题）定义在[0,+∞)上的函数f (x)满足
f (x)=¿.
（i）f (2021)=___________.
（ii）若方程f (x)−kx=0有且只有两个解，则实数k的取值范围是___________.
题型十四：“放大镜”函数类周期性质
形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
1.已知函数f (x)=¿当x∈[−1,1]时，f (x)=f (−x)，当x∈R时，f (x+4)=2f (x)，若关于x的方程
f (x)=mx在区间[0,5]上恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是___________.
2.（山西省朔州市怀仁市第一中学2022届高三下学期第二次模拟数学（理）试题）已知 是定义在 上
的奇函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4
个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D． 或8
3.（上海市杨浦区统考2023届高三上学期考试数学试题）已知定义域为 的函数 满足：对任何
，都有 ，且当 时， ，在下列结论中，正确命题的序号是________
① 对任何 ，都有 ；
② 函数 的值域是 ；
③ 存在 ，使得 ；④ “函数 在区间 上单调递减”的充要条
件是“存在 ，使得 ”；
4.（湖南省衡阳市第八中学2022届高三第三次月考数学试题）定义在 上的函数 满足：对
，都有 ，当 时， ，给出如下结论，其中所有正确结论的序
号是： ____.①对 ，有 ；②函数 的值域为 ；
③存在 ，使得 ；
5. （ 上 海 市 交 大 附 中 2021-2022 学 年 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 试 题 对 于 函 数
，下列 个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．
（1）任取 ，都有 ；
（2）函数 在 上单调递增；
（3） ，对一切 恒成立；
（4）函数 有 个零点；
（5）若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ， ，则 .
