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第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、
对称性
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）借助函数图像，会用符 从近几年高考命题来看，本节是高考
号语言表达函数的单调性、 2022年II卷第8题，5分 的一个重点，函数的单调性、奇偶
最大值、最小值，理解它们 2022年I卷第12题，5分 性、对称性、周期性是高考的必考内
的作用和实际意义． 2021年II卷第8题，5分 容，重点关注周期性、对称性、奇偶
（2）结合具体函数，了解奇 2021年甲卷第12题，5分 性结合在一起，与函数图像、函数零
偶性的概念和几何意义． 点和不等式相结合进行考查．
（3）结合三角函数，了解周
期性的概念和几何意义．1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， 当 时，都有 ，那么就说 在区间
上是增函数．
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在区间
上是减函数．
①属于定义域 内某个区间上；
②任意两个自变量 ， 且 ；
③都有 或 ；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在区间 上具有单调性， 称为函数 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于原点对
奇函数
称
，那么函数 就叫做奇函数
判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ，则
函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ，
也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，
那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 的最小正周期.
【解题方法总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增(或减)函数，则在 和 的公共定义域上 为增(或减)函数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(7)复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且 .
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
例2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
例3．下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是
A． B．
C． D．
变式1．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． 和 D． 和
变式2．（江苏省泰州市海陵区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数
．
(1)判断函数 的单调性，并利用定义证明；(2)若 ，求实数 的取值范围．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，证明：函数 是x的增函数 ．
变式4．（2023·上海静安·高三校考期中）已知函数 ，且 .
(1)求 的值，并指出函数 的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数 在 上是增函数.
【解题总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例5．（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三下学期期末数学试题）函数 的单调递减
区间为（ ）
A． B．
C． D．例6．（陕西省榆林市2022-2023学年高三下学期阶段性测试）函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B．
C． D．
【解题总结】
讨论复合函数 的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般
需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，
再用复合法则，复合法则如下：
1、若 ， 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则 为增函数；
2、若 ， 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 为减函数．
列表如下：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（河南省2023届高三下学期仿真模拟考试数学试题）已知函数 为定义在R上的单调函数，且
，则 在 上的值域为______．
例8．（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数 为偶函数，则函数
的值域为___________.
例9．（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测）已知函数
且 ，若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 在 上的最大值
为__________.
变式5．（新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考）若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 _______.
【解题总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则函数
在 处有最大值 ．
2、如果函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，则函数
在 处有最小值 ．
3、若函数 在 上是严格单调函数，则函数 在 上一定有最大、最小值．
4、若函数 在区间 上是单调递增函数，则 的最大值是 ，最小值是 ．
5、若函数 在区间 上是单调递减函数，则 的最大值是 ，最小值是 ．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．已知函数 ，满足对任意的实数 ， 且 ，都有
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例11．（吉林省松原市2022-2023学年高三上学期第一次月考）若函数 （ 且
）在区间 内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例12．（四川省广安市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数 在
上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数
在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
变式7．（天津市复兴中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数 在
上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C． 或 D． 或
【解题总结】
若已知函数的单调性，求参数 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数 的不等式，利
用下面的结论求解．
1、若 在 上恒成立 在 上的最大值．
2、若 在 上恒成立 在 上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数 是 上的偶函数，对任意
， ，且 都有 成立．若 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例14．（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数
在区间 上是偶函数，在区间 上是单调函数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2023届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单
调区间(同增异减).
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注
意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ；
(5) .
例17．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
例18．（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数
的定义域都为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
变式8．（北京市海淀区2023届高三二模数学试题）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的
是（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高三下学期第二次联考）已知函数是偶函数，则 ______．
例20．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试）若函数 是偶函数，
则 __________．
例21．（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数 ，若 是
偶函数，则 ______．
变式9．若函数 为偶函数，则 __________.
【解题总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为 ，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023年高三数学押题卷五）已知函数 是奇函数，函数 是偶函数．若
，则 （ ）
A． B． C．0 D．
例23．（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）已知奇函数 则 __________．
例24．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的解析式为
_________．
变式10．设函数 与 的定义域是 ，函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得的解析式.
题型九：已知 奇函数+M
例25．（宁夏银川一中、昆明一中2023届高三联合二模考试数学试题）已知函数 ，
若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
例26．（河南省济洛平许2023届高三第四次质量检测数学试题）已知 在R上单调递增，且为奇函
数.若正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例27．（重庆市巴蜀中学2023届高三高考适应性月考数学试题）已知函数
在区间 的最大值是M，最小值是m，则 的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
变式11．（福建省福州格致中学2022-2023学年高三下学期期中考数学试题）已知函数
，若 ，则 （ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定
【解题总结】
已知 奇函数+M， ，则
（1）
（2）
题型十：函数的对称性与周期性
例28．（多选题）（2023·山东烟台·统考二模）定义在 上的函数 满足 ，
是偶函数， ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D．
例29．（多选题）（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 和 的导函数分别是 和 ，若 ， ，且 是奇函数，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． 的图像关于点 对称
C． D．
例30．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为 ，导函数分别为
， ，若 ， ，且 ，则（ ）
A．4为函数 的一个周期 B．函数 的图象关于点 对称
C． D．
变式12．（多选题）（2023·山东滨州·统考二模）函数 在区间 上的图象是一条连续不断
的曲线，且满足 ，函数 的图象关于点 对称，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B．8是 的一个周期
C． 一定存在零点 D．
【解题总结】
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .
题型十一：类周期函数
例31．（2023·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）定义域为 的函数 满足
， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
例32．（2023·江西南昌·高三校考期中）已知定义在 上的函数 满足 ，且当时， .设 在 上的最大值为 （ ），且数列 的前 项的和
为 .若对于任意正整数 不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．若函数 有4个零点，则实数 的取值范围为
B．关于 的方程 有 个不同的解
C．对于实数 ，不等式 恒成立
D．当 时，函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
【解题总结】
1、类周期函数
若 满足： 或 ，则 横坐标每增加 个单位，则函数值
扩大 倍．此函数称为周期为 的类周期函数．
y y
k2
y0 k2
y0
k
y0 k
y0
y
0 y
0
x
-m O m 2m 3m x
O 1 m m2 m3
类周期函数图象倍增函数图象2、倍增函数
若函数 满足 或 ，则 横坐标每扩大 倍，则函数值扩大
倍．此函数称为倍增函数．
注意当 时，构成一系列平行的分段函数， ．
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例34．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在 上的函数 ， 满
足：① ；② 为奇函数；③ ， ；④任意的 ， ，
.
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 在 上的单调性.
例35．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上是减函数 D．方程 仅有6个实数解
例36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，且
，有 ，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式14．（四川省遂宁市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）定义在 上的函数 ，对任意
，满足下列条件：① ②（1）是否存在一次函数 满足条件①②，若存在，求出 的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明： 为奇函数；
变式15．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在 上的函数 ，
满足：
① ；
②任意的 ， ， .
（1）求 的值；
（2）判断并证明函数 的奇偶性.
变式16．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）已知函数 对任意 都有
，若 的图象关于直线 对称，且对任意的 ， ，且 ，
都有 ，则下列结论正确的是（ ）．
A． 是偶函数 B． 的周期
C． D． 在 单调递减
【解题总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若 ，则 (正比例函数)
(2)若 ，则 (指数函数)
(3)若 ，则 (对数函数)
(4)若 ，则 (幂函数)
(5)若 ，则 (一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例37．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学试题）已知定义在 上的函数 在 上单调
递减，且 为偶函数，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
例38．（北京市西城区第五十六中学2023届高三数学一模试题）已知函数 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例39．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式17．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，
，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式18．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 ，则使不等式
成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式19．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．C． D．
变式20．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． ∪ D． ∪
变式21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数 ，若
，则实数 范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，若对任
意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和
比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称
轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
