第09讲函数的奇偶性与周期性（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 09 讲 函数的奇偶性与周期性 【基础知识全通关】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f( － x) ＝ f(x) ， 偶函数 关于 y 轴 对称 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( － x) ＝－ 奇函数 关于原点对称 f(x)，那么函数f(x)是奇函数 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值 时，都有 f(x ＋ T) ＝ f (x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期. 【考点研习一点通】 考点01 ：函数奇偶性的判断 【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在 为增函数 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】 解：根据题意，依次分析选项： 对于 ， ，偶函数，且在 为增函数，符合题意； 对于 ， ，不是偶函数，不符合题意；对于 ， ，是偶函数，在 上为增函数，故在 为增函 数，符合题意； 对于 ， ，是偶函数，且在 为增函数，符合题意； 故选： ． 【知识拓展】 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)． ⇔ ⇔ (3)函数奇偶性的三个关注点． ⇔ ⇔①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函 数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原 点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 【典例2】【多选题】（2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数 的 定义域都是R，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ） A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是偶函数 【答案】AD 【解析】 由奇偶性的定义逐一证明即可. 【详解】 对于A， ， ，即 是奇函数，故A正确； 对于B， ， ，即 是偶函数，故B错误； 对于C， ， ，即 是奇函数，故C错误； 对于D， ，，即 是偶函 数，故D正确； 故选：AD 考点02：函数奇偶性的应用 【典例3】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数 为奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由奇函数对称性可得 ，代入已知解析式解得 . 【详解】 函数 为奇函数， . 又 ，则 ，解得 . 故选：B. ex 1 【典例4】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ， 则当x<0时，f(x)= （ ） ex 1 ex 1 A． B． ex 1 ex 1 C． D． 【答案】D 【解析】 f(x) f(x)ex1  是奇函数，x≥0时， ．x0 x0 f(x)f(x)ex 1 f(x)ex 1 当 时， ， ，得 ．故选D． 【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数 ， 满足 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 由 ，可得 ，构造函数 ，由函数 的奇偶性单调性，计算即可得出结果. 【详解】 因为 ， 所以 ， 令 ，则 在 上为单调递增的奇函数， 又 ，所以 ，所以 . 故答案为：4 【总结提升】 函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代 入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝ f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数 的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 考点03：函数周期性及其应用【典例6】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在 上的函数 的图象连续不断， 有下列四个命题： 甲： 是奇函数； 乙： 的图象关于直线 对称； 丙： 在区间 上单调递减； 丁：函数 的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】 由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错 误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果. 【详解】 由连续函数 的特征知：由于区间 的宽度为2， 所以 在区间 上单调递减与函数 的周期为2相互矛盾， 即丙、丁中有一个为假命题； 若甲、乙成立，即 ， ， 则 ， 所以 ，即函数 的周期为4， 即丁为假命题. 由于只有一个假命题，则可得该命题是丁， 故选：D. 【典例7】（2021·广德市实验中学高三月考（文））已知对 ，，当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据已知条件先分析出 为周期函数并求解出周期，然后根据周期性将 转化为 进行计算即可. 【详解】 ∵ ， ∴ ， ∴ 为周期函数且一个周期为 ．∴ ． 故选：B. 结论点睛：结论点睛：周期性常用的几个结论如下： （1） 对 时，若 或 （ ）恒 成立，则 是 的一个周期； （2） 对 时，若 或 或 （ ）恒成立，则 是 的一个周期；（3）若 为偶函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期 的周期函数； （4）若 为奇函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期 的周期函数. f(x) (,) 【典例8】（2022·四川省石室中学高三一模（文））已知 是定义域为 的奇 f(1 x)  f(1 x) f(1)2 函数，满足 ,若 ，则 f 1 f 2 f 3  f 2020  ( ) 2020 2 0 2020 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 f x (,) f xf x f 00 由函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，且 ， f(x2) f(x)f x f(1 x)  f(1 x) 又由 ，即 ， f(x) f(4x) f x 进而可得 ，所以函数 是以4为周期的周期函数， f(1)2 f 3 f(1)f(1)2 f 2 f(0)0, f 4 f 00 又由 ，可得 ， ， f 1 f 2 f 3 f 40 则 ， f 1 f 2 f 3  f 2020505[f 1 f 2 f 3 f 4]0  所以 ． 故选C． 【规律方法】 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式 2  T＝ 计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周 期T＝2a． 2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函 数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时， 要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 考点04：函数性质的综合应用 f x 【典例9】（2022·山西省高三其他（文））已知函数 是定义在R上的偶函数，且在   f log a f log a2f 1 区间0,单调递增，若实数a满足 2 1 ，则a的取值范围   2 是（ ） 1  1  ,1 ,2 A．  2   B．1,2 C．  2   D． 0,2 【答案】C 【解析】 f(log a) f(log a) f(log a) 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以 1 2 2 ， 2   f  log a   f log a2f 1 则 2 1 为 ，   f(log a) f(1) 2 2 1 0, log a 1  a  2 因为函数 f(x)在区间 上单调递增，所以 2 ，解得2 ， 1  ,2   则a的取值范围是2 ， 故选：C. 【典例10】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，数列 是首项为 ､公差为 的等差数列，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用函数的对称性首先求出函数 是以2为周期的函数，且 ，而数列的 通项公式为 ，则可将所求转化为 ，再根据函数的 奇偶性可得 ，从而有 ，即可求得结果. 【详解】 ∵ ，∴ ， 即 是以2为周期的函数， 而 ，∴ ， 又∵数列 是首项为 ､公差为 的等差数列，∴ ， ∴ ， 又∵ 是定义在 上的奇函数，∴ ， 而 ，∴ ，∴ ， ∴ . 故选：B. f(x) 【典例11】【多选题】（2022·山东省高三其他）已知偶函数 满足f(x) f(2x)0 ，则下列说法正确的是（ ）． f(x) f(x) A．函数 是以2为周期的周期函数 B．函数 是以4为周期的周期函数 f(x1) f(x3) C．函数 为奇函数 D．函数 为偶函数 【答案】BC 【解析】 A,B f(x) f(x) f(x) 对于选项 ,∵函数 为偶函数，∴ ． f(x) f(2x)0 ∵ ， f(x) f(2x)0 ∴ ， f(x) f(2x)0 f(2x)f(x) 则 ，即 ， f(4x)f(2x) f(x) ∴ ， f(x) 故函数 是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确； C F(x) f(x1) F(x) f(x1) f(x1) 对于选项 ,令 ，则 ． f(x) f(2x)0 x x1 f(x1) f(1 x)0 在 中，将 换为 ，得 ， f(x1)f(x1) F(x)f(x1)F(x) ∴ ，∴ ， F(x) f(x1) 则函数 为奇函数，所以选项C正确．  f(x)cos x 对于选项D,由题意不妨取满足条件的函数 2 ，   3  f(x3)cos (x3)cos x sin x   则 2  2 2  2 为奇函数， 所以选项D错误． 故选：BC.【典例12】（2021·湖南高三三模）函数 的定义域为D，对D内的任意 ，当 时，恒有 ，则称 为非减函数．已知 是定义域为 的 非减函数，且满足：①对任意 ， ．②对任意 ．则 的值为________． 【答案】2 【解析】 分析所给条件，得到 的函数图像在 关于 对称，再由任意 得出 且 ，又 为非减函数即可求得 时，必有 ，据此即可得解. 【详解】 根据题意，由对任意 ， ， 则 的函数图像在 关于 对称， 令 可得 ， 又因为对任意 ，所以 ，又因为 且 是定义域为 的非减函数， 所以当 时，必有 ， 又由于 的函数图像关于 对称， 所以 时，也有 ， ， 故答案为：2. f x 【典例13】（2022·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数 满足： 3  3   3 f x  f x x 0,  4    4  ，且当   4  时， f xlog 2 (x1)m，若 f 100log 3 2 ，则实数m的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【解析】 3   3 f x f x 由 f x 为奇函数知  4     4  ，  3  3  3 f  x  f  x  f  x  f x ∴  4  4 ，即  2 ，  3 f x3f x  f x ∴   2   ，∴ f x 是周期为3的周期函数，1 3 3 f 100 f 1 f   log m log mlog 3 故 2 2 2 ，即 2 2 2 ，∴m1. 故选：B. 【规律方法】 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的 对称性． (2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 间，然后利用奇偶性和单调性求解． （4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称． 【考点易错】 易错01 ：函数奇偶性的判断 1.（2022·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ） 1 y  x A． x B．y  1x2 y 2x 2x y  xex C． D． 【答案】D 【解析】 1 y  x 易知 x 和y 2x 2x 为奇函数，y  1x2 为偶函数. f xex xxR f 1e11, f 1e11 f 1 f 1 令 ，则 ，即 且 f 1f 1 . y  xex 所以 为非奇非偶函数.故选D. 2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增， f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（ ） A．(-1，1) B．(0，2) C．(-2，0) D．(2，4) 【答案】CD 【解析】 由偶函数的性质以及f(-2)=f（2）=0画出函数f(x)的草图，由xf(x)<0 或 ⇒ ，结合图象得出解集. 【详解】 根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递 减，且f(-2)=f（2）=0，函数f(x)的草图如图 又由xf(x)<0 或 ⇒ 由图可得-22 即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 故选：CD 易错02：函数奇偶性的应用 3.（2022·广东高考模拟（文））已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足 f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=（ ） A．0 B．−a C．a D．3a 【答案】B【解析】 因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)， 所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(−1) 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0， 又由f(1+x)=f(1−x)可得f(x+1)=f(1−x)=−f(x−1)， 所以f(x+2)=−f(x)，故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)， 因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(4)=f(0)，又f(1)=a 因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(−1)+f(0)=−f(1)=−a. 故选B R f(x) f(x2)f(x) 4.（2022·山东高考模拟（文））已知定义在 上的奇函数 满足 0 x1 f(x) x2 f(1) f(2) f(3)L  f(2019) ，当 时， ，则 （ ） A．2022 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解析】 f x4f x2 f x f x 由 得： 的周期为4 f x 又 为奇函数 f 11 f 2f 00 f 3 f 1f 11 f 4 f 00 ， ， ， f 1 f 2 f 3 f 40 即：  f 1 f 2 f 3f 2019505f 1 f 2 f 3 f 4 f 40   本题正确选项：B 易错03：函数周期性及其应用 x2 4x, x0 gx 5.（2022·山西省高三其他（文））已知函数 4xx2, x0 ， f x xgx， f 2a f 2a a 若 ，则实数 的取值范围是（ ） 2  2  2 2   1,   2,   ,   ,  A． 3 B．  3 C． 3 D．3  【答案】B 【解析】  x2 4xx22 4 gx x0  4xx2 x22 4 x0 ， gx gx , f x xgx 由 的解析式可知， 在 上是奇函数且单调递增， 为偶函 数， gx g0 x0 当 时，有 ， x  x 0 gx  gx 0 x gx  x gx 0 任取 1 2 ，则 1 2 ，由不等式的性质可得 1 1 2 2 ， f x  f x 0 f x 0, 即 1 2 ，所以，函数 在 上递增 f 2a f 2a f  2a   f  2 a  2a 2 a 再由 ，得， 得 2 2a 即3a2 4a40，解得 3． 故选：B． f x 6.（2022·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设 是定义域为R的偶函数，且 0, 在 单调递减，则（ ）  1   3    2  A． f   log 3 4    f   2 2    f   2 3    1   2    3  B． f   log 3 4    f   2 3    f   2 2     3    2   1 C． f   2 2    f   2 3    f   log 3 4    2    3   1 D． f   2 3    f   2 2    f   log 3 4   【答案】C 【解析】  1  f log  f log 4  f x 是R的偶函数，   3 4   3 ． 2 3 2 3     log 4log 31,120 2 3 2 2,log 42 3 2 2，  3 3 3 f x 又 在(0，+∞)单调递减，  2   3 f log 4 f 2  3  f 2  2 ∴ 3 ，       3    2   1  f   2 2    f   2 3    f   log 3 4   ，故选C． 易错04：函数性质的综合应用 7.（2022·江西省高三其他（理））已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为____． 【答案】 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数， 可转化为 ， 又 在 上单调递增， ，两边平方解得： ， 故 的解集为 ．【巩固提升】 1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为 的函数 的图象沿x轴左右平移 后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于 轴对称的图象，则关于函数 的性质叙述一定正确的是（ ） A． B． C． 是周期函数 D． 存在单调递增区间 【答案】C 【解析】 通过举例说明选项ABD错误；对于选项C可以证明判断得解. 【详解】 定义域为R的函数 的图象沿 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可 以得到关于 轴对称的图象， ∴ 的图象既有对称中心又有对称轴，但 不一定具有奇偶性，例如 ， 由 ，则 为奇函数，故选项A错误； 由 ，可得函数 图象关于 对称，故选项B错误； 由 时， 不存在单调递增区间，故选项D错误； 由已知设 图象的一条对称抽为直线 ，一个对称中心为 ，且 ， ∴ ， ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的一个周期 ，故选项C正确. 故选：C 2．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数 ，则“ ” 是“函数 为奇函数”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 条件 【答案】C 【解析】 化简“ ”和“函数 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】 ，所以 ， 函数 为奇函数， 所以 ，所以 . 所以“ ”是“函数 为奇函数”的充分必要条件. 故选：C 3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且 ，当 时， ，则f(101)+f(105)的值为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】 根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由 求得函数f(x)是周期为4 的周期函数，由此可计算得选项． 【详解】 解：根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0， 又由x∈[0，1]时， ，则有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，则有 ， 又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的 周期函数， 则 ， 故有f(101)+f(105)=3， 故选：A． 4．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断. 【详解】 A.函数 的定义域是 ，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B. 在 上单调递减，故错误； C.因为 ，所以函数是奇函数，且在 上单调 递增，正确； D.因为 ，所以函数是偶函数，故错误； 故选： C． 5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 是偶函数， 是奇函数， 并且当 ， ，则下列选项正确的是（ ） A． 在 上为减函数 B． 在 上 C． 在 上为增函数 D． 在 上 【答案】CD 【解析】 根据题意，分析可得 ，结合函数的解析式可得当 时函数的解 析式，据此分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，函数 为奇函数，则有 ，即 ， 又由 为偶函数，则 ，则有 ， 即有 ， 当 ， 时， ， 若 ，则 ，则 ， 则当 时，有 ，则 为增函数且 ； 故 在 上为增函数，且 ； 故选： ． 6．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数 ，下 列说法正确的是（ ） A．若 是奇函数，则 的图像关于点 对称 B．若对 ，有 ，则 的图像关于直线 对称 C．若函数 的图像关于直线 对称，则 为偶函数 D．若 ，则 的图像关于点 对称 【答案】ACD 【解析】 四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合 函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案. 【详解】 对A， 是奇函数，故图象关于原点对称， 将 的图象向右平移1个单位得 的图象， 故 的图象关于点（1，0）对称，正确； 对B，若对 ，有 ， 得 ，所以 是一个周期为2的周期函数， 不能说明其图象关于直线 对称，错误.；对C，若函数 的图象关于直线 对称， 则 的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确； 对D，由 得 ， ， 的图象关于（1，1）对称，正确. 故选：ACD. 7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 有2个零点 B．当 时， C．不等式 的解集是 D． ，都有 【答案】BCD 【解析】 根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】 对A，当 时，由 得 ，又因为 是定义在 上的 奇函数，所以 ，故函数 有3个零点，则A错； 对B，设 ，则 ，则 ，则B 对； 对C，当 时，由 ，得 ；当 时，由，得 无解；则C对； 对D， ，都有 ，则D对． 故选：BCD． 8．【多选题】（2021·广东高三二模）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A． 是周期为 的周期函数 B． 是周期为 的周期函数 C． 为奇函数 D． 为奇函数 【答案】BD 【解析】 AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合 ， 为奇 函数判断. 【详解】 因为函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 ，即 ，故B正确A错误； 因为 ，且 为奇函数，所以 为奇函 数，故D正确； 因为 与 相差1，不是最小周期的整数倍，且 为奇函数，所以不为奇函数，故C错误. 故选：BD. 9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数 满足以下条件：① 的定义域是 ， 且其图象是一条连续不断的曲线；② 是偶函数；③ 在 上不是单调函数； ④ 恰有2个零点.则函数 的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】 利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解. 【详解】 解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但 的定义域为 ， 所以选项B错误； 函数 的定义域是 ，在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，但 有3个零点，选项A错误； 函数 的定义域是 ，当 时， 的图象对 称轴为 ，其图象是开口向下的抛物线，故 在 ， 单调递增，在 ， 单调递减，由图得 恰有2个零点，选项C正确；函数 的定义域是 ，在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，且 有2个零点，选项D正确. 故选：CD. 10.设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】D 【解析】 由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确. 故选：D. 11.（2018年理全国卷II）已知f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3) +⋯+f(50)=( ) A. −50 B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】 因为f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，所以 f(1+x)=−f(x−1)∴f(3+x)=−f(x+1)=f(x−1)∴T=4,因此 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，因为 f(3)=−f(1)，f(4)=−f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， ∵f(2)=f(−2)=−f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2， 选C. f x 0, 12.（2022·全国高考真题（文））设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递 减，则（ ）  1   3    2  A． f   log 3 4    f   2 2    f   2 3    1   2    3  B． f   log 3 4    f   2 3    f   2 2     3    2   1 C． f   2 2    f   2 3    f   log 3 4     2    3   1 D． f   2 3    f   2 2    f   log 3 4   【答案】C 【解析】  1  f log  f log 4  f x 是R的偶函数，   3 4   3 ．2 3 2 3     log 4log 31,120 2 3 2 2,log 42 3 2 2，  3 3 3 f x 又 在(0，+∞)单调递减，  2   3  f log 4 f 2  3  f 2  2  ∴ 3 ，       3    2   1  f   2 2    f   2 3    f   log 3 4   ，故选C． 13．（2021·全国高三二模（理））已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对称，若 ，则 __________． 【答案】1 【解析】 根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而 . 【详解】 函数关于点 对称，则 ， 又 为 上的奇函数，则 ， 因此函数的周期为4， 因此 . 故答案为：1. f(x) x0 f(x)eax f(ln2)8 a 14.已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________. 【答案】-3 【解析】 f(x) x0 x0 f(x)f(x)eax 因为 是奇函数，且当 时 ， ． ln2(0,1) f(ln2)8 又因为 ， ，ealn2 8 e aln23ln2 a3 a 3 所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ． 15．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 的图象与 的图象 的交点个数为___________. 【答案】7 【解析】 由题设可知 的周期为2，结合已知区间的解析式及 ，可得两函数图象，即 知图象交点个数. 【详解】 由题意知： 的周期为2，当 时， ， ∴ 、 的图象如下： 即 与 共有7个交点， 故答案为：7. 【点睛】 结论点睛： 有 的周期为 .