文档内容
专题 02 一元二次方程的应用的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
类型二、利用一元二次方程解决传播问题
类型三、利用一元二次方程解决营销问题
类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
压轴专练
类型一、利用一元二次方程解决增长率问题
一、增长率问题的基本公式
增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中：
a 表示初始量（基期量）；
x 表示平均增长率（通常设为未知数）；
n 表示增长次数（如年数、周期数）；
N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。
若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。
二、一元二次方程的建立与求解
当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。
步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或
因式分解法求解。
注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。
三、实际问题中的关键分析
明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。
区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长
量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。
单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。
例1．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3
月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月
增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 ；(2)
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方
程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解： （个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是 个．
【变式1-1】在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到
2025这两年A型汽车年销售总量增加了 ，年销售单价下降了 ．
(1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年
年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元
份
202
①______
3
202
②______
5
(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【答案】(1)
(2)该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为
【知识点】列代数式、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）设该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为 ，根据题意，得 ，解方程即
可．【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售 型汽车总额为 亿元，
2025年销售 型汽车总额为 亿元，
故答案为： ；
（2）解：设该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
答：该汽车企业 型汽车这两年销售总额的年增长率为 ．
【变式1-2】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本
的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程
和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，
2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m
的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得， ，
解得 或 （舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为 ；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品 件，
由题意得， ，
∴ ，解得 ，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【变式1-3】为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投
入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率；
(2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个
社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微
型图书阅览室？
【答案】(1)
(2)
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，故 ，再解出 的值，
即可作答．
（2）先理解题意，得 ，且结合 为正整数，即可作答．
【详解】（1）解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为 ，
依题意，得 ，
解得 （舍去），
∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为 ；
（2）解：设该市在2025年可以给 个社区建设微型图书阅览室，
依题意，得 ，
解得 ，
∵ 为正整数，
∴该市在2025年最多可以给 个社区建设微型图书阅览室．类型二、利用一元二次方程解决传播问题
一、传播问题的基本模型与公式
传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中：
a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）；
k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）；
n 为传播的轮数；
N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程
a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。
二、一元二次方程的构建与求解要点
在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。
三、实际应用中的关键分析
区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源
数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。
挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感
染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。
注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过
以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。
例2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的
总数是73，每个支干长出多少小分支？
【答案】每个支干长出8个小分支
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出 个分支,则共有
个分支,即可列方程求得x的值．
【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得： ，
解得： 或 （不合题意，应舍去），
∴
答：每支支干长出8个小分支．
【变式2-1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感．
(1)问每轮传染中平均 个人传染了几个人？
(2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均 个人传染了 个人
(2)第三轮传染后共有 人患流感
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是解题的
关键．
（1）设每轮传染中平均每人传染了 人，一轮后就有 人传染，第二轮就应该传染 人，将两轮的
总人数加起来建立方程求解即可．
（2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮时，共
患流感人．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了 人，
根据题意可得： ，
解得： 或 （舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了 个人．
（2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为： （人），
当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为： （人），
答：第三轮传染后共有 人患流感．
【变式2-2】据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型
流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小
组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传
染中平均一个人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x
个人，由题意易得方程 ，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得：
，
解得： ， （不符题意，舍去）；
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
【变式2-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；
若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段 上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？
请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
【答案】(1)3；10；
(2)8人
(3)
(4)10
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、列代数式、传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，
列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将
线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可．
（1）由握手总数=参加聚会的人数 参加聚会的人数 ，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为
正整数），可知每人需跟 人握手，即可求出握手总数；
（2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论．
（4）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解： ， ．
解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟 人握手，
∴共握手 次．
故答案为：3；10；（2）解：依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： （不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（3）解：∵线段 上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有 个人握手，
∴线段总数为 ．
（4）解：根据题意得， ，
解得 ．即边数n的值为10．
类型三、利用一元二次方程解决营销问题
一、利润问题的基本数量关系
营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过
“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关
系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利
润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。
二、一元二次方程的建立与求解
根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为
固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合
理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。
三、实际问题中的变量分析
要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或
减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次
函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。
例3．在2024年 大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以
40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六
月份的销售量为300件．
(1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率．
(2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1
元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)不能，理由见解析
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，根据销售量列出方程，求解即可；
（2）设降y元，建立一元二次方程，判断方程是否有解，从而确定利润是否能达到目标值．
【详解】（1）解：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，
则 ，
， （舍），
答：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率为 ；
（2）解：设降y元，
则 ，
，
，
方程无实数解，
答：所以七月份的利润不能达到8000元．
【变式3-1】公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔1
月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售 个，3月份销售 个，且从1月份到3月份销售量的月
增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔每个进价为 元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为 元时，月销售量为 个，在
此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少 个，在尽量让利消费者的情况下，经销商想获利 元，
则每个头盔的售价应定为多少元？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)每个头盔的售价应定为 元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔1月份及3月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个头盔的售价为x元，则月销售量为 个，根据月销售利润 每个头盔的销售利
润 月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，
由题意可得 ，
解得 （舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
（2）设每个头盔的售价定为 元，则销售量为 个，
由题意可得 ，
整理得
解得 ．
要尽量让利消费者，
．
答：每个头盔的售价应定为60元．
【变式3-2】某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改
进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件．
(1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．
为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每
天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
【答案】(1)平均下降率为
(2)单价应降低27元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键．
（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为 元，每天可售出 件，然后根据题意可列方程 ，求解即可．
【详解】（1）设平均下降率为x，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：平均下降率为 ；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为 元，每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
∵要减少库存，
∴ ．
答：单价应降低27元．
【变式3-3】近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体
验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边
群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的
1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增
收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成
熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出 ．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销
售量就减少 ．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多
少元？
【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为10%
(2)每千克甜瓜应涨价5元【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再
求解即可；
（2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出 千克，根据总利润 每千克的利润 销售数量，
即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，
，
解之得 (不合题意，舍去)，
答∶集体经济收入的年平均增长率为 ；
（2）解：设每千克甜瓜应涨价y元，
，
解之得 ，
∵要使顾客得到实惠，
∴ ，
答∶每千克甜瓜应涨价5元．
类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题
一、图形面积的基本公式与变形
解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积 S = 长×宽，正方形面积S = 边长×
1
边长，三角形面积S= ×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。
2
例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依
据。
二、一元二次方程的构建与求解
根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公
式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，
再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。
三、图形问题中的几何关系分析
解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操
作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。
例4．如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上
草坪．要使草坪的面积为 ，求道路的宽．
【答案】道路的宽为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设道路的宽为 ，根据题意列方程求
解即可．
【详解】解：设道路的宽为 ，
根据题意列方程得： ，
解得： 或 （舍去），
答：道路的宽为 ．
【变式4-1】如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地 ．设矩形与墙
垂直的一边 为xm，矩形的面积为 ．
(1)若面积 ，求 的长；
(2)能围成面积为 的矩形吗？说明理由．
【答案】(1) 的长为 或 ．
(2)不能．理由见解析．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——几何面积问题，根的判别式等知识点，解决此题的关键
是要熟练运用根的判别式．
（1）根据题意得到方程式解题的关键；得到方程后根据解一元二次方程的步骤求解即可；（2）由第（1）的思路得到方程，要会根据根的判别式判断方程无解：
【详解】（1）解：设与墙垂直的边 为 ，则其对边也为 ，余下的一条边长为 ，矩形
面积 ．
∴当 S = 48 时，
即
解得 或 ，
∴ 的长为 或 ．
（2）解：不能，理由如下：
由（1）可知
当 时，
可得方程
化简得：
∴
无实数解，故无法围成面积为 58 的矩形．
【变式4-2】如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 米），围成中间隔有一道篱
笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边 长为 米，请用含 的代数式表示另一边 的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为 平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为 平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)宽为5米，长为 米
(3)不能，理由见解析
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为 平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边 长为 米，则 ，根据花圃的面积为 平方米，列出
一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽 长为 米，
∴另一边 的长为 米，
故答案为： ；
（2）解：∵花圃的面积刚好为 平方米，
∴ ，
化简得： ，
解得： ， ，
∵墙的最大可用长度为 米，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为 米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为 平方米，理由如下：
设花圃的一边 长为 米，
则 ，
根据题意可得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为 平方米．
【变式4-3】如图，小明打算用总长度为 的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙
长 ，设 的长为 ．(1) 的长为多少米？（用含 的代数式表示）
(2)若矩形花园 的面积为 ，求 的长．
(3)矩形花园 的面积是否有可能达到 ？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)不可能，理由见解析．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、列代数式
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式.解题的关键在于根据题意列一元二次
方程并正确求解．
（1）由题意，知 ，把 的长为 ，代入即可；
（2）由题意知， ，即 ，求出 的取值范围，列出方程求解即可；
（3）矩形花园 的面积是不可能达到 ；列出方程 ，整理后，该方程没有实数根，
故不能．
【详解】（1）解：由题意，知 ，
长为 ，
的长为 ；
（2）解：由题意知， ，即 ，
解得 ，
又 ，即 ，
，
由题意，知 ，即 ，整理，得 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
的长为 ；
（3）解：不可能，
理由：由题意，得 ，
整理，得 ，
，
该方程没有实数根，
矩形花园 的面积不可能达到 ．
类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题
一、动态几何中的变量关系与公式
动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度 v运动，运动时
间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边
长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量
的等式。
二、一元二次方程的建立与求解策略
根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，
代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 =
c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。
三、动态过程中的几何性质应用
要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运
动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重
叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。
例5．如图，在矩形 中， ，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以
的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以 的速度向点D移动．
(1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是 ？(2)P，Q两点运动多长时间，四边形 的面积为 ？
【答案】(1)P，Q两点运动 或 时，点P和点Q的距离是
(2)P，Q两点运动 时，四边形 的面积为
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、几何
问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．
（1）过点Q作 于点E．设P，Q两点运动到 ，根据点P和点Q的距离是 列出一元二次方
程，解方程即可；
（2）设P，Q两点运动 时，四边形 的面积为 ．根据面积为 列出一元一次方程，解方
程即可得到答案．
【详解】（1）解：过点Q作 于点E．
设P，Q两点运动到 时，
点P和点Q的距离是 ，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，
答：P，Q两点运动 或 时，点P和点Q的距离是 ；（2）设P，Q两点运动 时，四边形 的面积为 ．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：P，Q两点运动 时，四边形 的面积为 ．
【变式5-1】如图所示， 中， ， ， ．点P从点A开始沿 边向B以
的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求
经过几秒，
(1)点P，Q之间的距离为 ？
(2) 的面积等于 ？
【答案】(1) 秒或2秒
(2)2秒或4秒
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，三角形的面积公式．
（1）设经过 秒钟， 、 之间距离等于 ，根据点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移
动，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，表示出 和 的长可列方程求解；
（2）由于 的面积等于 ，利用三角形面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：设经过 秒 、 之间距离等于 ，由题意可得 ， ，，
可得： ，
整理得 ，
解得： ， ，
经检验， ， 均符合题意，
故经过 秒或2秒 、 之间距离等于 ；
（2）解：设经过 秒 的面积等于 ，
由题意可得 ， ，
，
解得： ， ，
经检验， ， 均符合题意，
故经过2秒或4秒， 的面积等于 ．
【变式5-2】在 中， ， ， ．
(1)如图1，点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度
移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点 ， 同时出发，经过 秒后， 的长为______
．
(2)在（1）的条件下，经过几秒 的面积等于 ？(3)如图2，点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度
移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点 ， 同时出发，经过几秒 的面积等于
？
【答案】(1)
(2) 秒或 秒
(3) 秒
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；
（1）根据含 度角的直角三角形的性质得出 ，根据勾股定理求得 的长，进而根据路程等于速
度乘以时间，再列代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案；
（3）画出图形，根据 ，求出 边上的高，根据面积列方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）设经过t秒， 的面积等于 ．
由题意，得 ，
化简，得 ，
解得 ， ．
答：经过 秒或 秒， 的面积等于 ．（3）如图，连接 ，过点Q作 于点H．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴当 的面积等于 时， ，
即 ，
整理，得 ，
解得 ．
答：经过 秒， 的面积等于 ．
【变式5-3】如图，在矩形 中， ， ．点P从点D出发向点A运动，运动到A即
停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是 ．连接 、
、 ．设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当 ______时，四边形 是矩形；
(2)当 ______时，四边形 是菱形；(3)是否存在某一时刻t使得 ，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着 把 翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点 恰好落在 边上．
【答案】(1)当 时，四边形 为矩形；
(2)当 时，四边形 为菱形；
(3)不存在某一时刻 使得 ，理由见解析
(4)当 等于 或 时，翻折后点 的对应点 恰好落在 边上．
【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、证明四边形是菱形、矩形与折叠
问题
【分析】（1）当四边形 是矩形时， ，据此求得 的值；
（2）当四边形 是菱形时， ，列方程求得运动的时间 ；
（3）过 作 ，交 于 ， ，得出四边形 是矩形，列方程得
，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出 ，进而在 中，
， ，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由已知可得， ， ，
在矩形 中， ， ， ，
当 时，四边形 为矩形，
∴ ，
解得： ，
故当 时，四边形 为矩形；
（2）解： ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为菱形，
根据勾股定理得： ， ，
∴此时 ，
解得 ，
故当 时，四边形 为菱形；
（3）解：不存在；理由如下：
过 作 ，交 于 ，如图所示：
则 ，
∵ ，
四边形 是矩形，
， ，
，
矩形 中 ，
∴ 为直角三角形，
，
，
，
即：
，
，此方程无实数根，
不存在某一时刻 使得 ；
（4）解：如图所示，
根据折叠可知：
， ，
在矩形 中 ，
，
，
，
，
∵ ，
∴在 中，根据勾股定理得：
，
，
即： ，
解得： ，
答：当 等于 或 时，翻折后点 的对应点 恰好落在 边上．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性
质，解决此题注意结合方程的思想解题．一、单选题
1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设
九（1）班共有 名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他 名同学一张祝福卡，
因此总赠送祝福卡数是 张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．
【详解】解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得： ，
故选：B．
2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子
产品每年降价的百分率均为 ，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续降价问题．
设两年前的价格为 ，每年降价率为 ，根据今年价格是两年前的一半，列出方程 ，即可解
答．
【详解】解：设两年前的价格为 ( )，每年降价的百分率为 ．依题意，得即 ．
故选C．
3．期图1，有一张长 、宽 的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部
分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是 ，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸
盒的高为 时，纸盒的底面积是 ，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是 ，即可得
出关于 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为 时，纸盒的底面积是 ，
依题意，得： ，
化简，得： ，
解得： ， ．
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是 时，纸盒的高为 ．
故选：B．
4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80
个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达
4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价 灵石，则列出方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价 灵石，则每个迷你风火轮的利润为
元，销售量为 个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可．
【详解】解：由题意得， ，
故选：B．
5．如图，在 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿着 方向以 的
速度运动，另一动点 从点 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两点同时出发，运动时间为
．当 时， （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得， ，则
，由勾股定理得到 ，则 ，则由勾股定理可得
，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，∴ ，
在 中， ， ， ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 ，
故选：C．
二、填空题
6．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降
低成本的百分率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
设平均每次降低成本的百分率为 ，则由题意得， ，计算满足要求的 的值即可．
【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为 ，
则由题意得， ，
解得 ，或 （不合题意，舍去），
∵ ，
∴平均每次降低成本的百分率为 ，
故答案为： ．
7．一花店用500元购进了一批产品，按 的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结
果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打
了 折，根据题意列出方程，解出 的值即可解答．【详解】解：设每次打了 折，
由题意得， ，
解得： ， （舍去），
每次打了9折．
故答案为：9．
8．如图，要利用一面墙（墙长为 ）建猪圈，用 的围栏围成总面积为 的三个大小相同的矩
形猪圈，则猪圈的边长 为 m．
【答案】20
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设 的长度为 ，则 的长度为 ．然后根据矩
形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设 的长度为 ，则 的长度为 ．
根据题意，得 ，
解得 ，
则 或 ．
，
舍去，
．
所以，猪圈的边长 为是 ．
故答案为：20．
9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课
手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人
恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了��名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于
��的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得 ，
解得 （不合题意，舍去），
∴1人每次能手把手教会6名同学．
故答案为：6．
10．如图，在平行四边形 中， ， 分别从 同时出发，向 运动，
当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点 的速度为 ，在运动的过程中，若存在使四边
形 是邻边之比为 的平行四边形时刻，则点 的速度为 ．
【答案】0.5或5
【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，
以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为 ，分两种情况，当 时，
， ， ，利用 求出t，求出 的长，利用 求解即可．
【详解】解：平行四边形的长宽之比为 ，
当 时， ，
，
∴点 的速度为 ，
∵ 秒，
∴设Q的速度为 ，
，解得 ，
∴
当 ，
，
∴ 秒，
∴，
∴
，
∴Q点运动的速度 或5cm/秒．
∴
三、解答题
11．据统计，某企业 年利润为 万元， 年利润为 万元，该企业 年到 年利润的年
平均增长率都相同．
(1)求该企业利润的年平均增长率；
(2)若 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 年的利润能否超过 万元？
【答案】(1)
(2)不能
【分析】（ ）该企业利润的年平均增长率为 ，根据题意列出方程解答即可；
（ ）根据题意列出算式计算即可判断求解；
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：该企业利润的年平均增长率为 ，
由题意得， ，
解得 ， （不合，舍去），
答：该企业利润的年平均增长率为 ；
（2）解：∵ ，
∴该企业 年的利润不能超过 万元．
12．新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在病毒传播中，若1个人患病，若不加隔离防控每轮传染中平均
一个人传染 个人，经过两轮传染就共有625人患病．
(1)求出 的值；
(2)若在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，按照这样的传染速度，两轮传染后，一共有多少人患病？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）首先求出经过第一轮传染后，共有 人感染，然后根据题意列式求解即可．【详解】（1）根据题意可得，
解得 或 （舍去）；
（2）∵1个人患病，每轮传染中平均一个人传染24个人，
∴经过第一轮传染后，共有 人感染，
∵在第二轮传染前，有10个患者及时隔离，
∴ ．
∴两轮传染后，一共有385人患病．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的
形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要
取得多少场胜利？
【答案】(1)10个班
(2)5场
【分析】（1）该校八年级共有 个班，利用比赛的总场数 该校八年级的班数 （该校八年级的班数
，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了 场，则负了 场，利用积分 胜的场数 负的场数，结合
积分不低于14分，可列出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：该校八年级共有 个班，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该校八年级共有10个班；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了 场，则负了 场，
根据题意得： ，
解得： ，
的最小值为5．答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
14．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基
地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩．
(1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率．
(2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售
出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核
桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
【答案】(1)该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为
(2)销售单价应降低3元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底核桃的种植面积 该基
地2020年年底核桃的种植面积 该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率 ，可列出关于x的一元
二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为 元，每天能售出 斤，利用总利
润 每斤的销售利润 日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库
存，即可确定结论．
【详解】（1）解：设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为 ；
（2）销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为 元，
根据题意得： ，
解得： ， ．又∵要尽快减少库存，
∴ ．
答：销售单价应降低3元．
15．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长
方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边 长为x米，请你用含x的代数式表示另一边 的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为 平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)花圃的长与宽边分别为9米和5米
(3)建成花圃的面积不可能为60平方米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；
（1）设花圃的宽 长为x米，则 米；
（2）由矩形面积 ，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积 ，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽 长为x米，
∴另一边 的长为 米，
故答案为： ；
（2）解：∵花圃的面积刚好为 平方米，
∴ ，
化简得： ，
解得： ， ，
∵墙的最大可用长度为14米，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下：
∵花圃的面积刚好为 平方米，
∴ ，
化简得： ，
∴ ，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为60平方米．
16．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比
每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原
料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是 元，每桶乙化工原料的进价是 元，甲、乙售价不变．为了扩
大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少
，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求 的值．
【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元
(2)a的值为6
【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分
式方程和一元二次方程是解题的关键．
（1）设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为 元，根据花费800元采购甲化工
原料的桶数是花费240元采购乙化工原料桶数的2倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案；
（2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368元，列出一元二次方程，解
方程选取符合实际的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为 元，
根据题意：解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
则 （元），
答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元；
（2）解：第一次购买甲化工原料 （桶），第一次购买乙化工原料 （桶），
由题意得， ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去，不符合题意），
答：a的值为 ．
17． 中， ， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，
与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果点 、 分别从点 、 同时出发，
当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
(1)填空： __________， __________（用含 的代数式表示）；
(2)是否存在 的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求比此时 的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在 的值，使得 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或2
【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角
形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程 速度 时间就可以表示出 ， ．再用 就可以求出 的值．
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出 的值．（3）在 中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】（1）由题意，得
， ．
故答案为： ， ．
（2）由题意，得 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
当 时， 的面积等于 ．
（3）在 中，由勾股定理，得
，
解得： ， ．
或2时， ．
18．综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用 、 两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克/袋） 2 1
成本（元/袋） 10 5
售价（元/袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升 包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．
一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调
了 包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：设 包装洗衣粉每袋售价提高 元 ．
(1)问该厂家每日销售 包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出 包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
(2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设 包装洗衣粉每袋售价降低 元 ．
①求 关于 的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】(1)能，A包装洗衣粉的售价为30或35元
(2)① ；②见解析，达不到1450元
【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用．
（1）由题意设 包装洗衣粉每袋售价提高 元（ ），则每袋的利润为 （元），日
销售量为 袋，由此列方程求解即可；
（2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉， 包装洗衣粉提价 元后的日销售量为 袋，每袋量2
千克， 包装洗衣粉日销量为 袋，降低 元后的销量为 ，每袋含量为1千克，由此列式求解即
可；
② 包装洗衣粉提价后的利润为 （元）， 包装洗衣粉降低 元后的利润为
（元），由此列式求解即可．
【详解】（1）解：能，理由如下，
由题意设 包装洗衣粉每袋售价提高 元（ ），则每袋的利润为 （元），日销售
量为 袋，
∴ ，
解，得 ，
∴ （元）或 （元），
包装洗衣粉的售价为30或35元；
（2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉， 包装洗衣粉提价 元后的日销售量为 袋，每袋量2千克， 包装洗衣粉日销量为 袋，降低 元后的销量为 ，每袋含量为1千克，
∴ ，
化简，得 ；
② 包装洗衣粉提价后的利润为 （元）， 包装洗衣粉降低 元后的利润为
（元），
∴日总利润为
，
∴ ，
此时 ，
∴达不到1450元．
