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明德中学 2025 年下学期 10 月阶段考试
高一年级数学试题
2025年10月
时量：120分钟 总分：150分 命题：罗希 审题：周威
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合
B. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
C. 由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3
D. 数1，0，5， ， ， ， 组成的集合中有6个元素
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合中元素的特性判断.
【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A
正确；
对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误；
对于C：不大于3的自然数包括 ,C错误；
对于D： ，不同的数有 共5个，D错误；
故选：A.
2. 若 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断D，取特殊值可判断A，B，C.【详解】A选项，当 时， ，A错误；
B选项，当 时， ，B错误；
C选项，当 时， ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，D正确；
故选：D.
3. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值分类讨论列式结合一元二次不等式计算求解即可.
【详解】 等价于 或 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
故选：A．
4. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 为集合 中的元素，先求 ，再根据 ，进行验证，即可求解.
【详解】当 ，得 ， ，满足条件，
，得 ， ，不满足条件，，得 ， ，满足条件，
，得 ， ，不满足条件，
所以 .
故选：C
5. 若命题 是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，分离参数后求 的最小值即可得解.
【详解】若命题 是假命题，则 是真命题，
此时 在 时恒成立，
，
，
故选：C
6. 如果 ， 是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件．
【详解】当 时，满足 ，而 ，则充分性不成立；当 时，若 ，则 ，
所以 ，而 ，则 ；
若 ，则 ，
所以 ，而 ，则 ，则必要性成立．
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】将函数配凑整理为 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】 ，
， ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为5.
故选：B.
8. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由已知求出 中 的取值范围，它即为 中 的范围，再结合分母不等于
0，二次根式中被开方数非负得出结论．
【详解】 中， ，则 ，
所以函数 中 ，解得 ，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素 ，分析 与集合 、 、 的关系，利用集合的运算关系，逐
个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，所以阴影部分所表示的集
合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 ，
所以选项AD正确，选项BC不正确.
故选：AD.
10. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值为2
C. 的最大值为 D.【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质、基本不等式一一判定选项即可.
【详解】对于A，由 可得 ，故A正确；
对于B，由题意知 ，
当且仅当 时取得最大值，与条件矛盾，故B错误；
对于C，由基本不等式得 ，即 ，
当且仅当 时取得等号，故C正确；
对于D，由 恒成立可知： ，
.
所以 ，故D正确
故选：ACD
11. 已知集合 ， ，记非空集合S中元
素的个数为 ，已知 ，记实数a的所有可能取值构成集合T，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. T中元素之和为0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题目条件求出 ，进一步可得 或 ，再结合集合B所给方程，对这两种情
况进行分类讨论，求出a的五种可能取值，再逐项分析即可．
【详解】方程 的判别式 ，故 ，
由 ，得 或 ，由 ，可得 或，
当 时，两个一元二次方程 的根都相同，由 可知，此时必有两重根，所以 ，所以
无实根，满足 ；
当 时，由前述 分析可知，此时 ，也即 必有两个不同的解 、 ，
所以 有1个根或2个根但其中一个根为 （ 不可能为方程 的
根），
若 有1个根，则 ，解得 ，
当 时， 的根为 ，与 、 不重复，共3根，
当 时， 的根为 ，与 、 不重复，共3根，
若 有2个根，但其中一个根为 时，将 代入 ，解得
，此时 ， ， 满足题意．
综上， ，
对于AB，{−1,0,1}⊆ ，故A错误，B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，T中元素之和为 ，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将 用 表示,
再化简所求的不等式并求解.
【详解】已知不等式 的解集为 ,所以 ，且方程 的两根
为 ，
根据韦达定理 ， ，所以 ， .
不等式 可化为 ，两边同时除以 ，
得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
13. 设实数a，b满足：集合 与 的交集为 ，则 的值
为____________.
【答案】
【解析】
【分析】设 两根为 ，且 ，先根据 得出 ，
得 出 ， 再 分 和
两种情况讨论即可.【详解】由题意可知， 有两个不等实根，设其两根为 ，且 ，
则 ， ，
因 ，则 ，
因 ， ，则 ，
若 ，则 ，此时 ，即 ，
此时 ， ，
符合题意；
若 ，则 ，此时 ，则 ，
此时 ， ，
不符合题意；
综上可知， .
故答案为：
14. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数 称为“高斯
函数”，它的函数值表示不超过 的最大整数，例如， ， .若
，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解.
【详解】由 ，得 ，又 ，
则 ， ，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）解不等式 ．
【答案】（1）1 （2） 或2
（3）
【解析】
【分析】（1）由分段函数解析式先求 ，再求 ，
（2）分 ， 两种情况，由 结合分段函数解析式列方程求 即可，
（3）分 ， 两种情况，由 结合分段函数解析式列不等式求其解集.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
【小问2详解】当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，故 ，
的
综上， 值为 或2
【小问3详解】
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
综上，原不等式的解集为 .
16. 已知集合 ， ．
（1）若 ，求实数a，b满足的条件；
（2）若 ，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ， ;（2） .
【解析】
【分析】（1）直接利用并集结果可得 ， ;
（2）根据 可得 ，再对集合 的解集情况进行分类讨论，即可得答案；
【详解】解：（1） ； ，
∴ ， ;
（2） ,∴分情况讨论① ，即 时 得 ；
②若 ，即 ， 中只有一个元素1符合题意；
③若 ，即 时 得 ，∴
∴综上 ．
【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况.
17. 随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，
经调研，每件衣服的售价 (单位：元)与销量 (单位：万件)之间满足关系式 已知
公司每年固定成本为 万元，每生产 万件衣服需要再投入 万元 设该公司一年内生产的衣服全部销售
完.当公司销售 万件衣服时，年利润为 万元；当公司销售 万件衣服时，年利润为 万元．
（1）写出年利润 (万元)关于年销量 万件 的函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，公司利润最大 并求出最大利润．
【答案】（1）
（2） 时， 取得最大值为1150万元.
【解析】
【分析】（1）依题意可求得参数 的值，再根据利润与年销量间的关系即可求得解析式；
（2）根据相应解析式利用基本不等式计算可得结果.
【小问1详解】
因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元，所以 ，解得 .
当销售20万件衣服时，年利润为1145万元，
所以 ，解得 .
当 时， ；
当 时，
所以
【小问2详解】
当 时， ，所以 ；
当 时， ，
由于 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 的最大值为1150，
综上可知，当 时， 取得最大值为1150万元.
18. 已知函数 .
（1） 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求不等式 的解集；
（3）若存在 使关于 的方程 有四个不同的实根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可.
（2）先将式子进行化简，分 三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可.
（3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
由题有 恒成立，即 恒成立，
当 时， 恒成立，符合题意；
当 时，则 ，得 ，
得 ，综上可得， 的取值范围是 .
【小问2详解】
由题 ，即 ，
当 ， ，所以不等式的解集为
当 ， ， 或
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时，不等式的解集为 ，
③当 时， ，不等式的解集为 ；当 ，则 ，不等式的解集为
综上可得：当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【小问3详解】
当 时，令 ，
当且仅当 时取等号，
关于 的方程 有四个不等实根，
令 ，则转化为存在 使得关于 的方程，
即 有两个不同正根，
则 ，得 ，
由 知，存在 使不等式 成立，
把 看成主元代入 ，故 ，即 ，
解得 或 ，综合可得 .故实数 的取值范围是 .
19. 给定正整数 ，设集合 ，对 ， ， ，
两数中至少有一个数属于 ，则称集合 具有性质 .
（1）设集合 ， ，请直接写出 ， 是否具有性质 ；
（2）若集合 具有性质 ，求 的值；
的
（3）若具有性质 集合 恰有6个元素，且 ，求集合 ．
【答案】（1）集合 具有性质 ，集合 不具有性质
（2）
（ 3 ） ， ， ， ，
【解析】
【分析】（1）根据性质 的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质 的定义，首先确定 ，再讨论 是否属于集合 ，即可确定 的取值，
即可求解；
（3）首先确定集合 中有0，并且有正数和负数，然后根据性质 讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
因为集合 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，
两数中至少有一个属于集合 ，所以集合 具有性质 ，
集合 中的 ， ，
所以集合 不具有性质 ，
所以集合 具有性质 ，集合 不具有性质 ；
【小问2详解】记 ，易知 ，
令 ，
所以 ，
由集合 具有性质 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ， 且 ，
令 ， ，
则 ，且 ， 且 ，
①当 时，显然 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
此时 ，具有性质 ；
②当 时，则 ，
因为 且 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
此时 ，与题意不符（舍），
综上， ，
故 ；
【小问3详解】
记 ，易知 ，令 ，
所以 ，
由集合 具有性质 ，
所以 ，
不妨设 ， ，
此时 ，
若 ，显然 ，
所以 ，
由集合 具有性质 ，
所以 ， ，
因为 且 与 互为相反数，
所以 ， 两个数中必然一正一负，
所以 中有0，有正数也有负数，
下面对 中元素的正负个数进行讨论：
（1）当 中有1个负数，4个正数时，
不妨设 ， ，
因为 均大于 ，
所以 均不属于 ，
由集合 具有性质 ，
所以 ，
因为 ，所以 不可能同时等于 ，
所以此时集合 不具有性质 ，舍去；
（2）当 中有4个负数，1个正数时，
不妨设 时， ，
因为 均小于 ，
所以 均不属于 ，
由集合 具有性质 ，
所以 ，
为
因 ，
所以 不可能同时等于 ，
所以此时集合 不具有性质 ，舍去；
（3）当 中有2个负数，3个正数时，
不妨设 时， ， ，
因为 ，
所以 ，
由集合 具有性质 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，①
因为 均大于 ，
所以 均不属于 ，由集合 具有性质 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
故 ， ， ， ，
所以 ， ， ，②
由①②，得 ，
于是： .
（4）当 中有3个负数，2个正数时，
由（3），同理可得 ，
由此，当 恰有6个元素，且 时，可得符合条件的集合 有5个，
分别是 ， ， ，
， .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质 的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
