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专题24.25 切线的性质与判定（直通中考）
【要点回顾】
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径
的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的
半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
一、单选题
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点C， 交
于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点C，连接 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，
OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°
4．（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形 为直角三角形， ，BC为
切线， 为切点， 为 直径， 则 和 面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图， 是 的直径，点P在 的延长线上，
与 相切于点A，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，PA，PB是 的切线，A、B为切点，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．7．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计
了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图
（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示
意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若
CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交
AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
9．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分
别相切于点 ， ，不倒翁的鼻尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川自贡·统考中考真题） 为⊙ 外一点， 与⊙ 相切于点 ， ，，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图， 是 的直径， 切 于点A， 交 于点 ，
连接 ，若 ，则 ．
12．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图， 分别与 相切于 两点，且 ．若
点 是 上异于点 的一点，则 的大小为 ．
13．（2023·湖南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 相切于点 ，
连接 ，若 ，则 的大小为 ．
14．（2023·北京·统考中考真题）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D， 是
的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为 ．15．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中，直径 与弦 交于点 ．连接
，过点 的切线与 的延长线交于点 ．若 ，则 °．
16．（2023·四川·统考中考真题）如图， ，半径为2的 与角的两边相切，点P是⊙O
上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 ，则t的取值范围是 ．
17．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点 是 外一点， ， 分别与 相切于点 ， ，
点 在 上，已知 ，则 的度数是 ．
18．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点
（不含端点），将 沿直线 对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则的面积为 ； 的最大值为 ．
三、解答题
19．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 交边
于点 ，连接 ，过点 作 ．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 作 的切线，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕
迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证： ．
20．（2023·福建·统考中考真题）如图，已知 内接于 的延长线交 于点 ，交 于
点 ，交 的切线 于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 平分 ．21．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
于点 ， 交 于点 ，交 于点 ， ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）当 时，求 的长．
22．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点，
为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点 ．（1）求 的度数；
（2）如图2，过点 作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．若
，求 的长．
23．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图1，点 为等边 的重心，点 为 边的中点，连接
并延长至点 ，使得 ，连接 ， ， ，
（1）求证：四边形 为菱形．
（2）如图2，以 点为圆心， 为半径作
①判断直线 与 的位置关系，并予以证明．
②点 为劣弧 上一动点（与点 、点 不重合），连接 并延长交 于点 ，连接 并延
长交 于点 ，求证： 为定值．24．（2023·广东广州·统考中考真题）综合探究
如图1，在矩形 中 ，对角线 相交于点 ，点 关于 的对称点为 ，连接
交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）以点 为圆心， 为半径作圆．
①如图2， 与 相切，求证： ；
②如图3， 与 相切， ，求 的面积．参考答案
1．C
【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，从而可得
．
解：如图，连接 ，
∵ 切 于点B，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C【点拨】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形
的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角
形的性质即可得．
解：如图，连接 ，
直线 与 相切，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
3．C
【分析】根据圆周角定理可得 ，根据切线的性质可得 ，根据直角三角形两个
锐角互余即可求解．
解： ，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行
计算即可．
解：如图取 中点O，连接 ．
∵ 是圆O的直径．
∴ ．
∵ 与圆O相切．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∵ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
∵点O是 的中点．
∴ ．
∴ ．
∴
故答案是：1∶2．故选：B．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，
圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
5．A
【分析】由切线性质得出 ，根据三角形的内角和是 、对顶角相等求出
，即可得出答案；
解： PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三
角形的内角和是 ，解题关键根据切线性质推出 ．
6．B
【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．
解：∵PA，PB是 的切线，
∴ ，
，
，
则 ，
故选B．
【点拨】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．
7．C
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据 ， ， 得四边形ABDC
是矩形，根据CD与 切于点E，OE为 的半径得 ， ，即 ， ，根据边之间的关系得 ， ，在 ，由勾股定理得， ，进行
计算可得 ，即可得这种铁球的直径．
解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵ ， ， ，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与 切于点E，OE为 的半径，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵AB=CD=16cm，
∴ ，
∵ ，
在 ，由勾股定理得，
解得， ，
则这种铁球的直径＝ ，
故选C．
【点拨】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
8．C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质
以及角平分线的性质逐一判断即可．
解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF
