文档内容
第 7 讲 函数的单调性与最值
知识点目录
【知识点1】函数奇偶性的判断....................................................2
【知识点2】利用奇偶性求值(解析式)..............................................5
【知识点3】利用奇偶性解不等式..................................................9
【知识点4】函数的周期性.......................................................13
基础知识
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
偶函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝ f ( x )， 关于 y 轴 对称
那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ 关于原点对称
f ( x )，那么函数f(x)就叫做奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做
这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相
第1页 共20页反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
知识点1
知识点
【知识点1】函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性
的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
典型例题
例1：
【例1】（2025•普陀区三模）下列函数中是奇函数的为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解： ， 为非奇非偶函数， 错误；
为偶函数， 错误；
， ，
则 ，即 为奇函数， 正确．
第2页 共20页故选： ．
【例2】（2025春•长宁区期中）下列函数中是奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出各个函数的定义域，再根据 与 的关系即可做出判断．
【解答】解：对于 ，函数 的定义域为 ，
且 ， 是偶函数，故 错误；
对于 ，函数 的定义域为 ， ，
且 ，所以 是偶函数，故 错误；
对于 ，函数 的定义域为 ，
且 ，所以 是奇函数，故 正确；
对于 ，函数 的定义域为 ，
且 ，
， ，所以 是非奇非偶函数，故 错误．
故选： ．
【例3】（2025•济宁模拟）已知函数 ，则下列是奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
第3页 共20页【解答】解：因为 ，
所以 不是奇函数；
令 ，
则 ，
即 为奇函数；
不是奇函数；
不为奇函数．
故选： ．
【例4】（2025春•苏州月考）下列函数是偶函数的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可．
【解答】解：对 ，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则
（1）， 不是奇函数，故 错误；
对 ，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故 正确；
第4页 共20页对 ，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称，则 为非奇非偶函数，
故 错误；
对 ，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 （1） ，则 不是偶函数，故 错误．
故选： ．
【例5】（2025•虹口区二模）下列函数中为奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别判断选项中的函数是否为定义域上的奇函数即可．
【解答】解：对于 ， 的定义域为 ， ，是非奇非偶函数，不满足题意；
对于 ， 是定义域为 ， ， 上的偶函数，不满足题意；
对于 ， ，是定义域 上的偶函数，不满足题意；
对于 ， ，是定义域 ， ， 上的奇函数．
故选： ．
知识点2
知识点
【知识点2】利用奇偶性求值(解析式)
一、利用奇偶性求值
1. 直接运用定义
第5页 共20页奇函数性质：若函数 为奇函数，则 ，且 （若 在 处有定
义）．当已知 的值时，可根据此性质求出 的值，即 ．
偶函数性质：若函数 为偶函数，则 ，所以 ，利用这一性质，
已知 可直接得出 的值．
2. 构造奇偶函数
当所给函数不直接具备奇偶性时，可通过对函数进行变形，构造出具有奇偶性的新函数．例
如，对于函数 ，无论 原本的性质如何， 一定是偶函数；而函数
则为奇函数．
利用构造出的奇偶函数的性质，结合已知条件建立方程，进而求解目标值．比如，已知
在某点的值，根据偶函数的性质可得到其在对称点的值，从而辅助求解．
3. 利用奇偶性与其他性质结合
函数的奇偶性常与周期性、对称性等性质综合考查．若函数 是周期为 的奇函数，那么
且 ，通过这两个性质的结合，可将不在已知范围内的自变量转
化到已知范围内进行求值 ．
例如，已知 在[0, 1]上的函数值，且 是周期为 的奇函数，要求 的值，可利
用周期性和奇偶性将 转化为 ，再根据奇函数性质求解．
二、利用奇偶性求解析式
1. 已知对称区间一端的解析式
若已知函数 在区间[a, b]（ ）上的解析式，要求其在对称区间 上的解析式，
第6页 共20页可先设 ，则 ．
因为 在已知解析式的区间内，可先求出 的表达式，再根据函数的奇偶性进行转化．
若 是奇函数，则 ；若 是偶函数，则 ，从而得到
时 的解析式．
2. 利用奇偶性的变形与恒等关系
对于一些复杂的函数，可能需要对奇偶性的定义式进行变形．例如，对于奇函数 ，
；对于偶函数 ， ．
可根据已知条件，结合这些恒等关系建立关于 的方程，通过解方程求出 的解析式．
有时还需引入辅助函数，利用其奇偶性简化计算过程．
3. 分段函数的奇偶性应用
对于分段函数，判断奇偶性时需要分别对每一段进行分析．若分段函数 是奇函数或偶函
数，那么在每一段上都要满足相应的奇偶性条件．
已知分段函数在某几段上的解析式，求其他段的解析式时，同样利用奇偶性，通过在已知段
和未知段之间建立自变量的对称关系，进行解析式的推导．同时要注意函数在定义域边界处
的取值情况，确保解析式的完整性和准确性．
典型例题
例1：
【例 6】（2024 秋•福贡县期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，则当 时， 的解析式为
A． B． C． D．
【答案】
第7页 共20页【分析】根据题意，当 时， ，可得 的表达式，由函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当 时， ， ，
又由函数 为偶函数，
则 ；
故当 时， ．
故选： ．
【例 7】（2024 秋•重庆期中）已知 为 上的奇函数，当 时， ，则
时， 的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据题意，令 ，则 ，求出 的表达式，结合奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令 ，则 ，
则 ，
又由 为 上的奇函数，
则 ．
故选： ．
【例8】（2024秋•桃城区期中）已知函数 为 上的奇函数，当 时， ，
第8页 共20页则当 时， 的解析式为
A． B． C． D．以上都不对
【答案】
【分析】根据题意，当 时， ，求出 的表达式，利用奇函数的性质分析可得答
案．
【解答】解：根据题意，当 时， ，
则 ，
又由 为奇函数，则 ．
故选： ．
【例9】（2024秋•锡山区期中）函数 为奇函数，且当 时， ，则
当 时， 解析式是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式即可．
【解答】解： 当 时， ，
又函数 为奇函数，
当 时， ， ．
故选： ．
第9页 共20页【例10】（2024秋•北碚区期中）函数 是 上的奇函数，且当 时，函数的解析式为
，则
A． B．1 C． D．3
【答案】
【分析】由奇函数的性质直接求出结果即可．
【解答】解：根据题意，因为 是 上的奇函数，
且当 时，函数的解析式为 ，
所以 ．
故选： ．
知识点3
知识点
【知识点3】利用奇偶性解不等式
步骤1：判断奇偶性并分析单调性
奇偶性验证：
确认定义域关于原点对称（必要条件），再验证 是否成立．
单调性分析：
奇函数：只需分析 或 一侧的单调性，另一侧单调性与已知侧相同．
偶函数：重点分析 时的单调性， 时单调性与 相反．
步骤2：利用奇偶性化简不等式
奇函数：
若不等式含 ，用 转化为仅含 的形式（如 ）．
第10页 共20页偶函数：
利用 ，将不等式统一为 的形式（如 ）．
步骤3：结合单调性脱去 f
奇函数：
若已知 在某区间递增/递减，直接根据单调性比较自变量大小（注意 x 的符号）．
偶函数：
若 在 上递增，则 ；
若递减，则 ．
步骤4：解代数不等式并验定义域
脱去 f 后，解绝对值、分式等代数不等式．
结合函数定义域，排除不满足条件的解．
典型例题
例1：
【例 11】（2024 秋•吐鲁番市期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】由不等式 等价于 或 求解．
【解答】解：函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
所以 时， ， 时， ，
第11页 共20页所以 时， ， 时， ，
又不等式 ，等价于 或 ，
所以 或 ，解得 或 ．
故选： ．
【例 12】（2023 秋•永城市期末）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】首先判断 时函数的单调性，并根据零点，求 的解集，然后根据奇函数
的性质，求函数在 时， 的解集，即可求解．
【解答】解：当 时， 是增函数，且 （1） ，
所以当 时， ， 时， ，
根据奇函数的性质可知， ， ， ， ，
所以不等式 的解集是 ， ， ．
故选： ．
【例13】（2023秋•锡山区期末）已知函数 为 上的奇函数，当 时， ，
第12页 共20页则 的解集为
A． ， ， B．
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】先由奇偶性求解 ，再由指数函数单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数 为 上的奇函数，当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
则 可转化 或 ，
解得， 或 ．
故选： ．
【例14】（2024秋•姑苏区期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】由已知结合奇函数定义及性质先求出 的解析式，即可求解不等式．
第13页 共20页【解答】解：因为 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
故 ，
当 时，不等式 ，解得 ，
当 时，不等式 不成立，
当 时，不等式 ，解得 ，
故 或 ．
故选： ．
【例15】（2023秋•东城区期中）已知 是定义在 上的偶函数，且在 ， 上为增函数，
，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用函数性质，数形结合即可解不等式．
【解答】解： 是定义在 上的偶函数，且在 ， 上为增函数， ，
由此画出 的大致图象，如下：
第14页 共20页将 的图象向右平移1个单位，得到 的图象，
则不等式 ，化为 或 ，
结合图象，可得解集为： ， ．
故选： ．
知识点4
知识点
【知识点4】函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知
区间上，进而解决问题．
典型例题
第15页 共20页例1：
【例16】（2025•江西模拟）已知函数 满足 若 （1） ，
则
A．1 B．4 C．5 D．2024
【答案】
【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案．
【解答】解：根据题意，函数 满足 ，
则 （1） ，则 （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） ，
（7） ， （8） ， （9） ，
， ， ，
， ，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，
则 （8） ．
故选： ．
【例 17】（2025•聊城模拟）已知 是定义域为 的可导函数，设其导函数为 ．若
为偶函数，且 ，则
A．60 B．40 C．20 D．8
【答案】
【分析】根据题意，分析 的对称性和周期性，可得 且 ，由此
第16页 共20页分析可得答案．
【解答】解：根据题意， 为偶函数，则 ，
两边同时求导可得： ，
变形可得： ，则有 ，
又由 ，即 ，
则有 ①，
变形可得： ②，
①②联立可得： ，
由于 ，即 （1） （3） ， （2） （4） ，
则有 （1） （2） （3） （4） ，
（1） （2） （3） （4） （1） （2） （3） （4）
．
故选： ．
【例18】（2025•吉林四模）已知定义域为 的奇函数 满足 ，则
A． （2）
B．
C． 的最小正周期为2
D． 是曲线 的一条对称轴
第17页 共20页【答案】
【分析】根据 是定义域为 的奇函数，得到 ，再利用奇函数的性质，得到
，最后利用赋值法，对各选项逐一进行分析判断即可．
【解答】解： 选项，已知 是定义域为 的奇函数，则 ．
令 ，代入 ，可得 （2） ，因为 ，可得 （2） ，
即 （2） ，所以 选项错误．
选项，因为 是定义域为 的奇函数，则 ．由 可得
．
用 代 替 可 得 ， 又 因 为 ， 所 以 ， 即
①．
用 代替 代入①可得 ．
同理可知： ，
．
令 ，则 ，所以 选项正确．
对于 选项，（方法一）由 可知 ，所以 的最小正周期不是
2， 选项错误．
（方法二）根据周期函数的定义，若 有周期 ，则 ，但递推关系①表明
第18页 共20页，矛盾， 选项错误．
对于 选项，由 （2），得 不是曲线 的对称轴， 选项错误．
故选： ．
【例 19】（2025•新余模拟）已知函数 的定义域为 ，且 （3） ， ，
，则
A．5 B． C．2 D．
【答案】
【分析】利用赋值法，整理已知等式，可得函数周期性，利用周期性，可得答案．
【解答】解：由题意得 ①，
用 代替 ，得 ，
即 ②．
将①代入②，得 ，即 ③，
用 代替 ，代入③得 ，即 ，所以函数
是以6为周期的函数．
因为 ，所以 （5），所以 （5） ，
因为 ，
令 ，得 （4） （3） （5），
因为 （3） ， （5） ，所以 （4） ，
所以 （4） ．
第19页 共20页故选： ．
【例 20】（2025•黄冈二模）已知函数 满足对 ， ， 且
（1） ，则 的值为
A．1012 B．1012.5 C．1013 D．1013.5
【答案】
【分析】令 ，得 ，令 ， ，得 ，令 ，得 ，
从而得到等差数列，然后可解．
【解答】解：因为函数 满足对 ， ， 且 （1） ，
所以令 ，得 ，
再令 ， ，得 ，
再令 ，得 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列．
所以 ．
故选： ．
第20页 共20页
