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专题 2.5 函数的奇偶性-重难点题型精讲
1．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；
反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形；反
之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间
上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.【题型1 函数奇偶性的判断】
判断函数奇偶性的方法：
(1)代数判断法 ：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇
函数 f(-x)=f(x)的是偶函数；
(2)几何判断法： 关于原点对称的函数是奇函数，关于y轴对称的函数是偶函数；
(3)运算法则 ：①两个偶函数相加所得的和为偶函数；②两个奇函数相加所得的和为奇函数；③一个偶函
数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数；④ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数；⑤两个奇
函数相乘所得的积为偶函数；⑥ 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
【例1】（2022•仁寿县校级模拟）下列函数为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝xe﹣x B．
f(x)=√x3
C．f（x）＝x2sinx D．f（x）＝ln|x|
1
【变式1-1】（2022春•毕节市期末）设函数f(x)= ，则下列函数中为偶函数的是（ ）
x2−2x+3
A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1
【变式1-2】（2022春•镇海区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（ ）
1
A．y＝x2 B．y＝|x|+ C．y＝tan|x| D．y＝|sinx|
|x|
1
【变式1-3】（2022春•兴庆区校级期末）已知函数f(x)=2x−( ) x，则f（x）（ ）
2
A．是偶函数，且在R是单调递增
B．是奇函数，且在R是单调递增
C．是偶函数，且在R是单调递减
D．是奇函数，且在R是单调递减
【题型2 利用函数奇偶性求解析式】
求解析式的方法：
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出 f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关
于x的方程，从而得到f(x)的解析式.
【例2】（2022春•安康期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x+2，则当x＜0
时，f（x）＝（ ）
A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+2【变式2-1】（2021秋•新化县期末）若函数 f（x）是定义域为R的奇函数，且当 x≥0时，f（x）＝x
（1+x），则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．﹣x（1+x） B．﹣x（1﹣x） C．x（1+x） D．x（1﹣x）
【变式2-2】（2021秋•沙坪坝区校级期末）已知函数 y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，
，则当x＜0时，f（x）的表达式是（ ）
f(x)=x2 (1−√3 x)
A． B． C． D．
x2 (1−√3 x) −x2 (1−√3 x) x2 (1+√3 x) −x2 (1+√3 x)
【变式2-3】（2022•大通县二模）若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）是偶函数，当0＜x≤1时，
f（x）＝ex﹣1，则当2＜x≤3时，f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝﹣e1﹣x B．f（x）＝﹣ex+1 C．f（x）＝﹣ex﹣3 D．f（x）＝﹣e3﹣x
【题型3 利用函数奇偶性求函数值】
利用函数的奇偶性将待求区间上的自变量转化到已知区间上，结合已知区间上的函数解析式求函数值即可.
【例 3】（2022•雅安模拟）已知函数 f（x）是奇函数，当 x≥0 时，f（x）＝2x﹣1，则 f（﹣2）＝
（ ）
3
A．1 B．− C．3 D．﹣3
4
c
【变式3-1】（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝ax3+bsinx+ −2022（a，b，c为实数），且f
x
（2022）＝1，则f（﹣2022）＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4045 D．4045
【变式3-2】（2022春•斗门区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+7）＝f（x），当x
（0，1]时，f（x）＝2x+lnx，则f（2022）＝（ ） ∈
1 1
A．﹣2 B．2 C．− D．
2 2
a
【变式3-3】（2022•马鞍山模拟）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2022x− ，若f
x
（1）+2022f（0）＝2024，则f（﹣2）＝（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．4045 D．﹣4045
【题型4 利用函数奇偶性求参数】
利用奇偶性求参数的2种类型：
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解．
【例4】（2022•洛阳模拟）若函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【变式4-1】（2022•如皋市模拟）若函数 2x+a为奇函数，则实数a的值为（ ）
f(x)=
2x−a
A．1 B．2 C．﹣1 D．±1
【变式4-2】（2022•运城二模）已知函数 { x2+2x，x≤0 为奇函数，则b＝（ ）
f(x)=
−x2+bx，x＞0
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【变式4-3】（2022春•辽宁月考）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax，若f（ln2）＝8，
则实数a的值是（ ）
1 1
A．− B． C．﹣3 D．3
3 3
【题型5 利用函数奇偶性识别函数图象】
对于所给函数解析式，判断函数的奇偶性，结合特殊值法、函数单调性等，利用排除法进行判断，即可得
出正确的函数图象.
log |x|
【例5】（2022•浉河区校级模拟）函数y= 2 的大致图象是（ ）
x
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2021秋•荔湾区校级月考）下列图形是函数y＝x|x|的图象的是（ ）
A． B．C． D．
【变式5-2】（2021秋•邢台期末）已知函数 f（x）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式可能为
（ ）
A．f（x）＝x2cosx B．f（x）＝x+x3
C．f（x）＝|x|sinx D．f（x）＝x2+cosx
【变式5-3】（2021秋•开州区校级月考）函数f（x） { exlnx， x＞0，在[﹣2，0）∪（0，2]上
=
e−xln(−x)， x＜0
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 函数奇偶性与单调性的综合应用】
【方法点拨】
函数奇偶性与单调性的综合应用主要有两种：
(1)比较大小：对于自变量不在同一单调区间上的比较大小问题，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用函数单调性比较大小．
(2)解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x)f(x)的形式；
1 2 1 2
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为
简
单不等式求解．
【例6】（2022•衡阳三模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，且当x [0，1]时，f（x）
＝4x﹣cosx，则下列结论正确的是（ ） ∈
4043 4039
A．f（ ）＞f（2022）＞f（ ）
2 2
4039 4043
B．f（2022）＞f（ ）＞f（ ）
2 2
4043 4039
C．f（ ）＞f（ ）＞f（2022）
2 2
4039 4043
D．f（ ）＞f（2022）＞f（ ）
2 2
【变式6-1】（2022•山东模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣8，则f（x﹣
2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣4，0）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（2，4） D．（﹣4，4）
【变式 6-2】（2022•河南模拟）已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f（x）＝4x﹣
3×2x+2a．则关于x的不等式f（x）≤﹣6的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣2，0）∪（0，2） D．[﹣2，0）∪（2，+∞）
【变式6-3】（2022•道里区校级模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）+f（x﹣2）＝0，当﹣
1≤x≤0时，f（x）＝（1+x）ex，则（ ）
31π 1
A．f(tan )＜f(2022)＜f(ln )
24 2
31π 1
B．f(2022)＜f(tan )＜f(ln )
24 2
1 31π
C．f(ln )＜f(2022)＜f(tan )
2 24
1 31π
D．f(2022)＜f(ln )＜f(tan )
2 24
