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8.5 奇偶性（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 奇偶性的判断
【例1】（2022·广东）判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数【解析】（1）由 ，得 ，且 ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称，
所以 .
又 ，所以 是奇函数.
（2）因为 的定义域为 ，不关于原点对称，所以 既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数 ， ，其定义域为 ，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个 ，都有 ，所以 ， ，
所以 既是奇函数又是偶函数.
（4）函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称.
①当 时， ，
所以 ， ，所以 ；
②当 时， ，所以 ；
③当 时， ，所以 .
综上，可知函数 为奇函数.
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江）下列函数中，既是偶函数又在 上不单调的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】对于A， 定义域 ，但 ，为奇函数，且 在 上单调递减，
故A错误；
对于C， 为偶函数，且在 上既有增区间，也有减区间，所以 在 上不单调，
故B正确；
对于C， 在 单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D， 在 单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
2．（2022·湖南衡阳·高二期末）设函数 ，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 ，因为 是偶函数，故 为偶函
数.
故选：A
3．（2022南京）判断下列函数的奇偶性．
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数【解析】(1)函数f(x)的定义域为 ，不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为 ，关于原点对称． ，所以 为奇函数．
(3) 的定义域为 ，且关于原点对称，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，故 是偶函数．
考点二 利用奇偶性求解析式
【例2-1】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知 是 上的偶函数，当 时，
，则 时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 是 上的偶函数，当 时， ，则 .
故选：C.
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是奇函数，且当 时， ，那么当
时， 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，则 ，所以 ，又因为函数 是奇函数，所以 ，
所以当 时 ．故选：B
【一隅三反】
1．（2022·湖南）若函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，由奇函数的定义可得 .
故选：D.
2．（2022·河南安阳）已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则当 时，
______．
【答案】
【解析】 时， ， 是奇函数，
此时
故答案为：
考点三 已知奇偶性求参数
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数 为奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由函数 为奇函数，可得 ，所以 ，
所以 ，化简得 恒成立，
所以 ，即 ,
经验证 ，定义域关于原点对称，且满足 ，故 ；
故选:A．
【例3-2】．（2022·全国·长垣市 ）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
，又 ，
.
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·湖北·高三开学考试）若函数 是偶函数，则 ________.
【答案】
【解析】由题意知： ，同乘以 得
，故 ，故答案为：
2．（2022福建）若函数 的图象关于 轴对称，则常数 _______.
【答案】
【解析】可知函数 为偶函数，定义域为R，则 ，即 ，解得 ，
则 ，显然满足题意，则 ．
故答案为： .
3．（2022·重庆巴蜀中学 ）若函数 为定义域上的奇函数，则实数 的值为______．
【答案】4
【解析】因为 为定义域上的奇函数，
，
所以 恒成立解得 .
故答案为：4.
4．（2022·云南）已知函数 是偶函数，则常数 的值为__．
【答案】
【解析】易知函数定义域为
函数 是偶函数 对定义域内每一个 都成立
， ，
对定义域内每一个 都成立 ，即 .
考点四 利用奇偶性单调性解不等式
【例4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数 的定义域为 ，当 时， ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， 在 上单调递减，又 为偶函数，
， ， ，解得： 或 ，
的解集为 .
故选：D.
【例4-2】．（2022·全国·课时练习）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递减，若
，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是偶函数，
，
故 可变形为 ，
∵ 在区间 上单调递减，故 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，则使得 成立的 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 的定义域为R，
又 ，
所以函数 是偶函数，
又函数 在 是增函数，
所以函数 在 是增函数，
由 ，可得 ．
所以 .
故选：A．
2．（2022·辽宁抚顺）定义在 上的奇函数 在 上单调递增，则不等式 的解
集为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为奇函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：C.
3．（2022·云南 ）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，则 在 上单调递增，
又函数 是 上的偶函数，且 ，
所以，不等式 ，
解得 或
所以不等式 的解集为 ，
故选：D
4．（2022·河南商丘·高二期末（文））已知偶函数 的定义域为 ，且当 时， ，则使
不等式 成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，所以 在 上单调递增，且 ，不等式 即为 .
又因为 是偶函数，所以不等式 等价于 ，
则 ，所以， ，解得 .
综上可知，实数 的取值范围为 ，
故选：A.
5．（2022·全国· 课时练习）定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 为奇函数，
所以 ，又 ， ，
所以不等式 ，可化为 ，
即 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 在R上单调递增，
所以 ，
解得 .
故选：D.
6．（2022·山西运城 ）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，
，则函数 为偶函数，且该函数在 上为减函数，
由 可得 ，即 ，
所以， ，可得 ，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故选：D.
考点五 利用奇偶性单调性比较大小
【例5】（2022·北京亦庄实验中学）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意 为偶函数，则 ，
又由函数 在区间 上单调递增，且 ,
所以 ，
所以 ，
故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·福建省福州第二中学 ）设 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减，则（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，注意到
，由 ，故 ，即
，又根据指数函数性质， 是 上的减函数，故 ，即 ，
于是 ，又 是 上递减的偶函数，则
.
故选：B
2．（2022·陕西）已知偶函数 在 上单调递减，若 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，而偶函数 在 上单调递减，
则 ，而 ，即 ，
所以 .
故选：C
3．（2022·陕西 ）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，对任意的不相等实数 总有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为当 时，对任意的不相等实数 总有 成立，故当 时
为减函数，又偶函数 ，且 ， ，故
，故
故选：D
4．（2022·内蒙古 ）函数 是定义在R上的偶函数，且在 单调递增，若 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数知 ，又 ， ，
，
显然 ，又在 单调递增，则 .
故选：C.
