文档内容
专题 01 函数的性质（奇偶性、对称性、周期性）
难点突破
知识讲解
一、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数
f (x)
的定义域内任意一个x,都有 f ( -
偶函数 关于y轴对称
f (x)
x ) =f ( x ) ,那么函数 就叫作偶函数
f (x)
如果对于函数 的定义域内任意一个x,都有 f ( -
奇函数 关于原点对称
f (x)
x ) =-f ( x ) ,那么函数 就叫作奇函数
函数奇偶性的几个重要结论
f (x) f (x) f (x) f (x) y
(1) 为奇函数⇔ 的图象关于原点对称; 为偶函数⇔ 的图象关于 轴对称.
f (x) f (x)=f (/x/)
(2)如果函数 是偶函数,那么 .
f(x)=0，x∈D D
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即 ,其中定义域 是关于原点对称的
非空数集.
(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调
性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原
点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
f(x),g(x) D ,D
(6)设 的定义域分别是 1 2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= 奇 ,奇×奇= 偶 ,偶
+偶= 偶 ,偶×偶= 偶 ,奇×偶= 奇 .
(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.
提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明
f(−x)
与
f (x)
的关系,只有当各段上的x都满足相同
关系时,才能判断其奇偶性.
二、周期性
1.周期函数:对于函数 y=f (x) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x取定义域内的任何值时,都有
f ( x+T ) =f ( x ) ,那么就称函数 y=f (x) 为周期函数,称T 为这个函数的周期.
f (x) f (x)
2.最小正周期:如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作 的
最小正周期 .
三、对称性
a+b
y=f (x) f (a+x)=f (b−x) y=f (x)
1.若函数 满足 ,则函数 的图象关于 直线 x= 对称.特别地,当
2
a=b=0
时,
f(x)=f(−x)
,则函数
y=f (x)
的图象关于y轴对称,此时函数
y=f (x)
是偶函数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】y=f (x) y=f (x) (a,b) a=0,b=0
2.若函数 满足 f ( x ) = 2 b- f ( 2 a- x ) ,则函数 的图象关于点 对称.特别地,当
f(x)=−f(−x) y=f (x) f (x)
时, ,则函数 的图象关于原点对称,此时函数 是奇函数.
函数图象的对称性
y=f (x+a) y=f (x)
(1)若函数 是偶函数,即 f ( a- x ) = f ( a+ x ) ,则函数 的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于 R 上的任意x都有 f ( 2 a- x ) = f ( x ) 或 f ( - x ) = f ( 2 a+ x ) ,则函数 y=f (x) 的图象关于直线x=a对称.
y=f (x+b) y=f (x) （b,0）
(3)若函数 是奇函数,即 f ( -x+ b ) + f ( x+ b ) = 0 ,则函数 的图象关于点 中心对称.
题型一、函数奇偶性的判断
1.判断下列函数的奇偶性.
√4−x2
f(x)=
|x+3|−3
(1) ;
{x2 +x,x>0,
f(x)=
x2 −x,x<0.
(2)
{ 4−x2 ≥0,
【详解】(1)由 得 且 ,
|x+3|−3≠0,
−2≤x≤2 x≠0
所以f (x)的定义域为[−2,0)∪(0,2],定义域关于原点对称,
√4−x2 √4−x2
所以f(x)= = ,
(x+3)−3 x
所以f(x)=−f(−x),故f (x)是奇函数.
(2)易知函数f (x)的定义域为（−∞，0）∪（0，+∞）,定义域关于原点对称,又当x>0时,f (x)=x2 +x,则当
x<0时,−x>0,故f(−x)=x2 −x=f(x);
当x<0时,f (x)=x2 −x,则当x>0时,−x<0,故f（−x）=x2 +x=f(x).故原函数是偶函数.
1−x
f(x)=
2.（2021年全国乙卷数学试题）设函数
1+x
,则下列函数中为奇函数的是( ).
f(x−1)−1 f(x−1)+1 f(x+1)−1 f (x+1)+1
A. B. C. D.
【答案】B
1−x 2
【详解】由题意可得
f(x)= =−1+
.
1+x 1+x
2
对于A,
f(x−1)−1= −2
不是奇函数;
x
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2
对于B,
f(x−1)+1=
是奇函数;
x
2
对于C,
f(x+1)−1= −2
,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
x+2
2
对于D,
f (x+1)+1=
,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
x+2
3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且 且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得 ，
由 得， ， ，
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】内满足 ，符合题意．
判断函数奇偶性的方法:(1)根据定义判断,首先看函数的定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对
f(−x) f (x)
称的条件下,再化简解析式,根据 与 的关系作出判断.(2)利用函数图象特征判断.(3)分段函数奇偶
x>0 x<0 f(−x)=f(x) f(−x)=−f(x)
性的判断,要分别从 或 来判断等式 或 是否成立,只有当对称的两
个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.
题型二、根据奇偶性求值
2x −1
f (x)=3+x+√1−x2 ⋅
1.（2023 年贵阳模拟数学试题）设函数 2x +1 的最大值为M ,最小值为 N ,则
M+N
的值是（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】D
2x −1
【详解】令g(x)=x+√1−x2
⋅ ,
2x +1
由1−x2 ≥0,得−1≤x≤1.
2−x −1 1−2x 2x −1
g(−x)=−x+√1−(−x) 2 ⋅ =−x+√1−x2 ⋅ =−x−√1−x2 ⋅ =−g(x),
2−x +1 1+2x 1+2x
则函数g(x)是定义域为[−1,1]的奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=0,
所以M+N=g(x)max+3+g(x)min+3=6.
2.（2023年哈尔滨模拟数学试题）函数f(x)=x(ex+e-x)+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为
M，N
,则
M+N
的值为（ ）.
A.-2 B.0 C.2 D.4
【答案】C
【详解】依题意,令g(x)=x(ex +e−x),显然函数g(x)的定义域为R,又g(−x)=−x(e−x+ex )=−g(x),
即函数g(x)是奇函数,
因此,函数g(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值的和为0,而f(x)=g(x)+1,
则有M=g(x)max+1,N=g(x)min+1,
于是得M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2,所以M+N
的值为2.
3.（2021年新高考全国Ⅱ卷数学试题）设函数f (x)的定义域为R,且f (x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数,则（ ）.
( 1)
f − =0
2 f(−1)=0 f (2)=0 f (4)=0
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为f (x+2)为偶函数,所以f (−x+2)=f (x+2).又因为f(2x+1)为奇函数,所以
f(−2x+1)=−f(2x+1),所以f(1)=−f(1),可得f(1)=0,所以f(−1)=−f(3)=−f(1)=0,故B正确.
4．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数 ， ，则 ．
【答案】
【分析】发现 ，计算可得结果.
【详解】因为 ，
，且 ，则 .
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现 是关键，属于中档题.
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，故 ，其它三个选项未知.
6．（2023年湖南省联考数学试题）已知函数 在 上的最大值与
最小值分别为 和 ，则函数 的图象的对称中心是 .
【答案】 /
【分析】先考虑函数 的奇偶性，然后构造 ，由 为奇函数求出最大值与最小值的和，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求出 的值，即可得到 ，所以化简 ，即可得到答案
【详解】已知 ，
，
则 ，故函数 在定义域内为非奇非偶函数，
令 ，
则 ，
则 在定义域内为奇函数，
设 的最大值为 ，则最小值为 ，则 的最大值为 ，最小值为 ，
则 ，∴ ，
所以
，
∴当 时， ，
∴ 关于 中心对称，
【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若 ，则函数 关于 对称；
若 ，则函数 关于 中心对称；
若 ，则 是 的一个周期
利用函数的奇偶性求函数值,有时需根据函数所给表达式抽离出部分具有奇偶性的解析式来求解,若所
给的函数有位置偏移,则可利用奇偶函数的对称性结合图象来求解函数值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型三、根据奇偶性求参数
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若函数 为偶
函数，则 ．
【答案】1
【详解】试题分析：由函数 为偶函数 函数 为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思
想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为偶函数转化为 函数 为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，
取 ．
k−2x
f (x)=
4．（2023年北京模拟数学试题） 若函数
1+k⋅2x
在定义域上为奇函数,则实数k= .
【答案】±1
k−2x
【详解】因为函数f (x)= 在定义域上为奇函数,
1+k⋅2x
k−2−x k−2x
所以 ,即 =− ,
f(−x)=−f(x) 1+k⋅2−x 1+k⋅2x
化简得(k2 −1)(2⋅2x +1)=0,即k2 −1=0,解得k=±1,经检验,当k=±1时,函数f (x)为奇函数.
f(−x)=−f(x) f(−x)=f(x)
已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个:一是利用 (奇函数)或 (偶函
f (0)=0
数)在定义域内恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函数一般利用 求解,偶函数一般利用
f(−1)=f(1)
求解.用两种方法求得参数后,一定要注意验证.
题型四、根据奇偶性求解析式
1．已知函数
f (x)
是定义在R上的奇函数,当
x≥0
时,
f(x)=2x −2x−1
,则当
x<0
时,
f(x)=
.
【答案】−2−x−2x+1
【详解】当x≥0时,f(x)=2x −2x−1,
设x<0,则−x>0,∴f(−x)=2−x−2(−x)−1=2−x+2x−1.
又f (x)为奇函数,∴f(−x)=−f(x),
∴−f(x)=2−x+2x−1,∴f(x)=−2−x+2x+1.
2．（2019年全国Ⅱ卷数学试题）设
f (x)
为奇函数,且当
x≥0
时,
f(x)=ex −1
,则当
x<0
时,
f(x)=
(
).
A．
e−x −1
B．
e−x +1 C．−e−x −1 D．−e−x +1
【答案】D
【详解】∵当x≥0时,f(x)=ex −1,∴当x<0时,−x>0,f(−x)=e−x −1.
又∵f (x)为奇函数,∴当x<0时,f(x)=−f(−x)=−e−x +1.
3．已知函数 的定义域为R， 为偶函数， 为奇函数，且当 时， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 ．
【答案】0
【分析】根据题意可得 关于 对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出 的值，最
后可求出 的值.
【详解】解：因为 为偶函数，
所以 ＝ ，即 ＝ ，
所以函数 关于 对称，所以 ＝ ，
又因为 为奇函数，
所以 ＝－ ，
所以函数 关于(1,0)对称， ＝－ ＝－ ，
即 ＝－ ，
所以 ＝－ ， ＝－ ＝ ，
即 ＝ ，
所以 的周期为4，
在 ＝－ 中令 ，得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以 ，
所以 ，
，
，
，所以则 0.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】已知函数的奇偶性求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出解析式,或充
分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.
题型五、根据奇偶性判断图象特征
1．下列四个选项中的函数,其图象可能是右图的是（ ）.
x2 x2 x x
y= y= y= y=
A．
ex +e−x
B．
ex −e−x
C．
ex +e−x
D．
ex −e−x
【答案】C
【详解】选项A,D为偶函数,故排除;又选项B的曲线不过原点,故排除.故选C.
f(x)=ex +e−x,g(x)=ex −e−x h(x) h(x)
2．已知函数 ,若 的图象如图所示,则 的解析式可能是（ ）.
1 1 g(x) f(x)
h(x)= h(x)= h(x)= h(x)=
f(x) g(x) f(x) g(x)
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵f (x)=ex +e−x ,x∈R,f(−x)=e−x +ex =f(x),∴f (x)是偶函数且f (0)=2.∵
g(x)=ex −e−x ,x∈R,g(−x)=e−x −ex =−g(x),∴g(x)是奇函数且g(0)=0.由图象知,函数h(x)是奇
1 1 1
函数且 .对于A, h(x)= , , h(−x)= = =h(x),函数不是奇函数,故A错误;对
h(0)=0 f(x) x∈R f(−x) f(x)
1 g(x)
于B,
h(x)=
, 无意义,图象不过原点,故B错误;对于C,
h(x)=
, ,
g(x) h(0) f(x) x∈R
g(−x) g(x) f(x)
h(−x)= =− =−h(x),函数是奇函数,故C正确;对于D, h(x)= , 无意义,图象不过原
f(−x) f(x) g(x) h(0)
点,故D错误.故选C.
3．（2022年高考最后一卷（押题卷一）数学试题）已知定义在R上的函数 满足 ，
且 是奇函数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】由周期函数的概念易知函数 的周期为2，根据图象平移可得 的图象关于点 对称，
进而可得奇偶性.
【详解】由 可得2是函数 的周期，
因为 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，所以 是奇函数，
4．已知函数 ，其中 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C．曲线 是轴对称图形 D．曲线 是中心对称图形
【答案】C
【分析】由解析式易得 且定义域为 且 即可判断C；对 求导，并讨论 、
研究 在 上的符号判断A、B；根据 是否为定值判断D.
【详解】由题设， ，定义域为 且 ，
所以 关于 对称，C正确；
又 ，
当 时，不妨假设 ，则 ，显然 ，此时
在 上有递减区间，A错误；
当 时，在 上 ，即 在 上递增，B错误；
由 ，不可能为
定值，故D错误.
【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据 、
是否成立判断对称性( 为常数).
利用函数的奇偶性与其图象的对称性,结合图象直观求解相关问题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型六、函数的周期性及应用
1．（2023 年山东一模数学试题）已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数,对任意的实数 x,
13
( )
f =
f (x−2)=f (x+2) f (x)=x2 2
,当x∈(0,2)时, ,则 （ ）.
9 1 1 9
− −
4 4 4 4
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由f (x−2)=f (x+2),知y=f (x)的周期T=4,又f (x)是定义在R上的奇函数,
( 13 ) ( 3) ( 3) (3) 9
∴ f =f 8− =f − =−f =− .
2 2 2 2 4
2．（2023 年黑龙江二模数学试题）设 f (x) 是定义在R上的周期为 2 的函数,当 x∈[−1,1) 时,
f(x)=
{−4x2 +2,−1≤x<0,
f
(3)
=
x,0≤x<1, 2
则 .
【答案】1
3 1 1 2
( ) ( ) ( )
【解析】由题意得, f =f − =−4× − +2=1 .
2 2 2
3．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））已知 在R上是奇函数，且
，当 时， ，则 （ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
【答案】A
【分析】根据题意可知函数 的周期为 ，即可利用周期性和奇偶性将 转化为 ，即可求出．
【详解】∵ ，∴ 是以4为周期的周期函数，由于 为奇函数，
∴ ，而 ，即 .
【点睛】本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题．
4．（2023年山东模拟数学试题）已知定义在R上的奇函数 f (x) 满足 f (2+x)=f (−x) ,若 f(−1)=2 ,则
f(2021)=
（ ）.
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】B
【详解】因为定义在R上的奇函数f (x)满足f (2+x)=f (−x),所以f(2+x)=f(−x)=−f(x),
所以f (4+x)=−f (2+x)=f (x),所以f (x)是周期函数,周期为4,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以f(2021)=f(1)=−f(−1)=−2.
(1)函数周期性常用的结论
f (x)
对函数 的定义域内任一自变量x,
f (x+a)=−f (x) T=2a(a>0)
①若 ,则 ;
1
f (x+a)=
f (x) T=2a(a>0)
②若 ,则 ;
1
f (x+a)=−
f (x) T=2a(a>0)
③若 ,则 ;
f (x+a)+f (x)=c T=2a(a>0，c为常数)
④若 ,则 .
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数
值).
T
kT(k∈Z且k≠0)
(3)在解决具体问题时,要注意结论“若 是函数的周期,则 也是函数的周期”的应用.
题型六、函数的对称性
1．已知 f (x) 的定义域为R ,其函数图象关于直线 x=−3 对称,且 f (x+3)=f (x−3) ,若当 x∈[0,3] 时,
f(x)=4x +2x−11
,则下列结论错误的是（ ）.
f (x) f (x) [−6，−3]
A． 为偶函数 B． 在 上单调递减
C．
f (x)
的图象关于直线
x=3
对称 D．
f (100)=9
【答案】B
【解析】f (x)的图象关于直线x=−3对称,
则f(−x)=f(x−6).又f (x+3)=f (x−3),则f (x)的周期T=6,
∴f(−x)=f(x−6)=f(x),∴f (x)为偶函数,故A正确.
当x∈[0,3]时,f(x)=4x +2x−11
单调递增,
∵T=6,∴f (x)在[−6，−3]上也单调递增,故B不正确.
∵f (x)的图象关于直线x=−3对称且T=6,∴f (x)的图象关于直线x=3对称,故C正确.
f(100)=f(16×6+4)=f(4)=f(−2)=f(2)=9,故D正确.
2．已知函数 f (x) 的定义域为R ,对任意x都有 f (2+x)=f (2−x) ,且 f(−x)=f(x) ,则下列结论正确的
是
（ ）.
A．
f (x)
的图象关于直线
x=1
对称 B．
f (x)
的图象关于点
（2,0）
对称
C． f (x) 的最小正周期为4 D． y=f (x+4) 为偶函数
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】∵f (2+x)=f (2−x),∴f (x)的图象关于直线x=2对称,故A、B错误;
∵函数f (x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(−x)=f(x+4),又f(−x)=f(x),
∴f (x+4)=f (x),
又f (x)为偶函数,∴y=f (x+4)为偶函数,故D正确;
π
取
f(x)=|sin x|时,
满足题意,但是 的周期为2,故C错误.
2 f (x) f (x)
3．已知函数 f (x) 的定义域为R ,且 f (x) 为奇函数,其图象关于直线x=2对称.当x∈[0,4]时,f(x)=x2-4x,则
f(2022)= .
【答案】4
【解析】∵f (x)的图象关于直线x=2对称,∴f(−x)=f(x+4).
又f (x)为奇函数,∴f(−x)=−f(x),
故f(x+4)=−f(x),∴T=8.
又2022=252×8+6,∴f(2022)=f(6)=f(−2)=−f(2)=−(4−8)=4.
4．（2023届湖南省一模数学试题）已知函数 的定义域为 ，若函数 为奇函数，且
， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质得到 ，由条件 结合函数的对称性和周期
性的定义得到函数 的周期为 ，且 ， ，即可求解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且函数 为奇函数，
则 ，即函数 关于点 对称，
所以有 ①，
又 ②，所以函数 关于直线 对称，
则由②得： ， ，
所以 ，则
又由①和②得： ，得 ，
所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以函数 的周期为 ，
则 ，
所以 ，
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为 ，对 ，
（1）存在常数 ， 使得 ，则函数 图象关于点
对称.
（2）存在常数 使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
5．（2023届联考全国卷文科数学试题）已知 是定义在R上的函数，且满足 为偶函数，
为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）．
A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的周期为2
C．函数 关于点 中心对称 D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
所以 ， ，
所以函数 关于直线 对称，不能确定 是否关于直线 对称，A错误；
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 关于点 中心对称，故C错误，
由 与 得 ，即 ，
故 ，所以函数 的周期为4，故B错误；
，故D正确．
轴对称的常用结论
a+b
x=
f (a+x)=f (b−x)⇒ y=f (x) 2
(1) 函数 的图象关于直线 对称.
f (x+a) y=f (x)
(2)函数 为偶函数 ⇒ 函数 的图象关于直线x=a对称.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】命题角度2 函数的点对称
x+1
y=
f(x)（x∈R） f(−x)=2−f(x) x y=f (x)
6 ． 已 知 函 数 满 足 , 若 函 数 与 图 象 的 交 点 为
m
∑(x +y )=
(x ,y ),(x ,y ),…,(x ,y ) i i
1 1 2 2 m m ,则i=1 （ ）.
A． 0 B．m C． 2m D． 4m
【答案】B
【解析】由f(−x)=2−f(x),得f (−x)+f (x)=2,所以函数f (x)的图象关于点（0,1）对称,
x+1 1
又函数
y=
x
=1+
x 的图象也关于点 （0,1） 对称,所以每组对称点 （x ,y）,(x',y' ) 满足
i i i i
m
m
,所以∑(x +y )= ×2=m.
x +x' =0, y +y' =2 i i 2
i i i i i=1
2x+1
g(x)=
y=f (x)−2 x f (x) g(x)
7．（2023年湖州模拟数学试题）已知函数 为奇函数, ,且 与 图象的
(x ,y ),(x ,y ),…,(x ,y ) y +y +…+y =
交点分别为 1 1 2 2 6 6 ,则 1 2 6 .
【答案】12
【解析】∵函数y=f (x)−2为奇函数,
2x+1 1
∴函数 的图象关于点 对称,又 g(x)= = +2 ,其图象也关于点 对称,
y=f (x) （0,2） x x （0,2）
∴两函数图象的交点关于点（0,2）对称,则 y +y +…+y =3×4=12 .
1 2 6
点对称的常用结论
(a+b c)
,
f (a+x)+f (b−x)=c⇒ y=f (x) 2 2
(1) 函数 的图象关于点 对称.
f (x+a) y=f (x) （a,0）
(2)函数 为奇函数 ⇒ 函数 的图象关于点 对称.
题型七、具体函数的性质综合应用
1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
y=f (x) y=f (x)
2．函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现
y=f (x) P(a,b) y=f (x+a)−b
可以将其推广为函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为
f (x)=x3 +3x2
奇函数,则函数 图象的对称中心的坐标为（ ）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．(-1,2) B．(-1,-2) C．(1,2) D．(1,-2)
【答案】A
【解析】设点(a,b)为f (x)=x3 +3x2 图象的对称中心,则有y=f (x+a)−b=(x+a) 3 +3(x+a) 2 −b为
奇函数.
设g(x)=(x+a) 3 +3(x+a) 2 −b,
所以g(x)=x3 +3(a+1)x2 +3(a2 +2a)x+a3 +3a2 −b,又g(−x)+g(x)=0,可得
3(a+1)x2 +a3 +3a2 −b=0,
{ a+1=0, {a=−1,
所以 解得
a3 +3a2 −b=0, b=2,
所以函数f (x)=x3 +3x2 图象的对称中心的坐标为（−1,2）.
3．（2023 年河南模拟数学试题） 已知定义域为 R的函数 f (x) 的图象关于原点对称 ,且
{(3) x
−1,0≤x<2,
2
f(x)=
5 5
− x+ ,2≤x≤4,
f (2−x)+f (x+6)=0 x∈[0,4] 8 2 f(f(2020))+f(2021)=
,当 时, 则 （ ）.
5 3 5 13
−
8 8 8 8
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意,定义域为R的函数y=f (x)的图象关于原点对称,即函数y=f (x)为奇函数,又
f (2−x)+f (x+6)=0,所以y=f (x)的图象关于点(4,0)对称,所以 f(x+8）=f(x),即函数y=f (x)是
周期为8的周期函数,
则f(2020)=f(4+8×252)=f(4),f(2021)=f(−3+253×8)=f(−3)=−f(3).
{(3) x
−1,0≤x<2,
2
因为当 时,f(x)=
5 5
− x+ ,2≤x≤4,
x∈[0,4] 8 2
5
所以
f(4)=0,f(3)=
,则 ,则有 .
8 f (2020)=f (4)=0 f (f (2020))=f (0)=0
5 5
故 f(f(2020))+f(2021)=0− =− .
8 8
4．关于函数 有下述四个结论：
① 的图象关于直线 对称 ② 在区间 单调递减
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③ 的极大值为0 ④ 有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据给定函数，计算 判断①；探讨 在 上单调性判断②；探讨 在 和
上单调性判断③；求出 的零点判断④作答.
【详解】函数 的定义域为 ，
对于①， ，则 ，
， 的图象关于直线 对称，①正确；
对于②，当 时， ， 在 单调递增，②不正确；
对于③，当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 单调递增，因此 在 处取极大值 ，③正确；
对于④，由 得： ，即 或 ，解得 或 ，
于是得 有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a使得
，则函数 图象关于直线 对称.
5．（2023届重庆市质量检测数学试题）已知函数 ，正实数a,b满足
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出 之间的关系可求.
【详解】 ，
故函数 关于 对称，又 在 上严格递减；
即
当且仅当 时取得.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法
(1)函数的奇偶性、周期性、对称性,一般是知二得一,特别是已知奇偶性和对称性,一般要先确定周期性.
x=0 f (0)=0 f (/x/)=f (x)
(2)若奇函数在 处有意义,则一定有 ,偶函数一定有 ,要注意这两个结论在解
题中的应用.
f (x) (a,0) x=b f (x) T=4/a−b/¿¿
(3)如果 的图象关于点 对称,且关于直线 对称,那么函数 的周期 .(类比
y=sinx
的图象)
f (x) (a,0) (b,0) f (x) T=2/a−b/¿¿
(4)如果 的图象关于点 对称,且关于点 对称,那么函数 的周期 .(类比
y=sinx
的图象)
(5)若函数 f (x) 关于直线x=a与直线 x=b 对称,则函数的周期是 2/a−b/¿¿ .(类比 y=sinx 的图象)
题型八、抽象函数的性质综合应用
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））奇函数 的定义域为 ，若
为偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】试题分析： 是偶函数，则 的图象关于直线 对称，又 是奇函数，则 ，
且 是周期函数，且周期为8，所以 ．故选D．
考点：函数的奇偶性，周期性．
【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时
函数一般也是周期函数．当函数 是奇函数，又有对称轴 时，则函数一定是周期函数，且周期为
；若 有两条对称轴 和 ，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；同样若
有两个对称中心 和 ，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；
2．已知函数 的定义域为 .当 时， ；当 时， ；当 时，
.则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
1 1
【详解】试题分析：当
x>
时, ,所以当
x>
时,函数 是周期为 的周期函数,所以
2 2 f (x) 1
f(6)=f(1),又函数f (x)是奇函数,所以f(1)=−f(−1)=−[(−1) 3 −1]=2,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
3．已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有 ，当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，对 变形可得 ，则函数 是周期为 的周期函数，
据此可得 ， ，结合函数的解析式以及奇偶性求出 与 的值，相加
即可得答案．
【详解】根据题意，函数 满足任意的 都有 ，则 ，
则函数 是周期为 的周期函数，
，
又由函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
时， ，则 ，
则 ；故 ；
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．
4．已知函数 f (x) 在R上有意义,记 f' (x)为函数 f (x) 的导函数,又 f(2x−1) 是奇函数,则下列判断错误的
有（ ）.
f(4x−2) f(x−1)+f(3x−1)
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C．
f(4x2 −2)
是偶函数 D．
f' (−5x−1)是偶函数
【答案】A
【解析】若f (x)=x+1,则f(2x−1)=2x为奇函数,而f(4x−2)=4x−1为非奇非偶函数,所以A错误;因
为f(2x−1)是奇函数,所以f(−2x−1)=−f(2x−1),对于函数f(x−1)+f(3x−1),有
f(−x−1)+f(−3x−1)=−f(x−1)−f(3x−1)=−[f(x−1)+f(3x−1)],所以f(x−1)+f(3x−1)是奇函
数,所以B正确;对于函数f(4x2 −2),有f(4（−x） 2 −2)=f(4x2 −2),所以函数f(4x2 −2)是偶函数,所以
C正确;对于D,奇函数的导数是偶函数,因为f(5x−1)=−f(−5x−1),所以f(−5x−1)为奇函数,所以
f' (−5x−1)是偶函数,所以D正确.
5．已知 f (x) 是定义在R上的函数,且满足 f(3x−2) 为偶函数, f(2x−1) 为奇函数,则下列说法错误的是（
）.
f (x)
A．函数 的周期为2
f (x)
B．函数 的周期为4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f (x) （−1,0）
C．函数 的图象关于点 中心对称
f (2023)=0
D．
【答案】A
f(3x−2) f(3x−2)=f(−3x−2) f(x−2)=f(−x−2)
【 解 析 】 因 为 为 偶 函 数 , 所 以 , 所 以 , 则
f(x)=f(−x−4)
,所以函数
f (x)
的图象关于直线
x=−2
对称,因为
f(2x−1)
为奇函数,所以
f(2x−1)=−f(−2x−1) f(x−1)=−f(−x−1) f(x)=−f(−x−2) f (x)
,所以 ,所以 ,所以函数 的图象关于
（−1,0） f(x)=f(−x−4) f(x)=−f(−x−2) f(−x−4)=−f(−x−2)
点 中心对称,故 C 正确;由 与 得 ,即
f(x−4)=−f(x−2) f(x−4)=f(x) f (x)
, 故 , 所 以 函 数 的 周 期 为 4, 故 A 不 正 确 ,B 正 确 ;
f(2023)=f(506×4−1)=f(−1)=0
,故D正确..
6．已知
是定义域为R的偶函数，f(5.5)=2,g(x)=(x−1)f(x)若g(x+1)是偶函数，则
＝
（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据g(x+1)得到g(x)关于x=1对称，得到 ，结合g(x)=(x−1) 和f (x)
为偶函数即可得f (x)周期为4，故可求出f(2.5)=2，则 即可求值﹒
【详解】 为偶函数，则 关于 对称，即 ，
即 ，即 ，
关于 对称，又f (x)是定义域为R的偶函数，
∴ ，
∴f(x−4)=f [(x−2)−2]=−f(x−2)=−[−f(x)]=f(x)，即f(x−4)=f(x)，
周期为 ，
∴ ，
.
由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论
f (x) g(x)=f (x)+c g(−x)+g(x)=2c g(x) （0,c）
(1)若函数 是奇函数,且 ,则必有 , 的图象关于点 对称.
f (x) g(x)=f (x−a)+h (a,h)
(2)若函数 是奇函数,则函数 的图象关于点 对称.
(3)若函数
f (x)
是偶函数,且
g(x)=f(x−a)
,则必有
g(a−x)=g(a+x)
,
g(x)
的图象关于直线x=a对
称.
(4)若函数
y=f (x+a)
为奇函数(或偶函数),则函数
y=f (x)
的图象关于点
（a,0）
对称(或关于直线x=a
对称).
(5)若函数
f (x)
满足
f(x+t)=f(t−x)(或f(x)=f(2t−x)
,则函数
f (x)
的图象关于直线x=t对称;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f (x) f (x+2t)=f (x) f (x) 2t(t≠0)
(6)若函数 满足 ,则函数 以 为周期.
题型九、利用函数的性质解抽象不等式
1．函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数， ，即
则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为 ，从而求得正解.
2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且
f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））设 分别是定义在 上的奇函
数和偶函数，当 时， ．且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】令 ，则 ，因此函数 在 上是奇函数．
① 当 时， ， 在 时单调递增，
故函数 在 上单调递增．
，
，
．
②当 时，函数 在 上是奇函数，可知： 在 上单调递增，且 （3） ，
，的解集为 ．
③当 时， ，不符合要求
不等式 的解集是 ， ， ．
4．（2023届湖北省联合调研测试数学试题）已知函数 ，若 成
立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在
单调递增，进而 关于直线 对称，且在 单调递增，结合条件可得
，解不等式即得.
【详解】因为 的定义域为R，又 ，故函
数 为偶函数，
又 时， ， 单调递增，故由复合函数单调性可得函数 在 单调递增，
函数 在定义域上单调递增，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 关于直线 对称，且在 单调递增．
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两边平方，化简得 ，解得 ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，然后根据函数的单调性及对称性化
简不等式进而即得.
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设函数 ,则使
成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析： ，定义域为 ，∵ ，∴函数 为偶函数，
R f(−x)=f(x) f (x)
1
当 时，
f(x)=ln(1+x)−
函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 成立，∴
x>0 1+x2
|x|>|2x−1|，∴ x2 >(2x−1) 2，∴ 的范围为 故答案为A.
x
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．
根据函数的表达式可知函数f (x)为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在x大于零的单调性为递增，
根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把 可转化为
|x|>|2x−1|，解绝对值不等式即可．
6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知函数 是定义在R上的偶函数,
且在区间 单调递增. 若实数a满足 , 则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
1
【详解】试题分析：函数 是定义在 上的偶函数，∴f(log a)+f(log )≤2f(1)，等价为
f (x) R 2 2a
f(log a)+f(−log a)=2f(log a)≤2f(1)，即f(log a)≤f(1)．∵函数f (x)是定义在R上的偶函
2 2 2 2
数，且在区间[0，+∞)单调递增，∴f(log a)≤f(1)）等价为 f(|log a|)≤f(1)．即 |log a|≤1 ，∴
2 2 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1
−1≤log a≤1 ，解得 2
≤a≤2
,故选项为C．
2
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：
f(log a)≤f(1)，即 f(|log a|)≤f(1)，结合单调性得： |log a|≤1 将不等式进行等价转化
2 2 2
−1≤log a≤1
即可得到结论.
2
7．已知定义域为R的函数， 是奇函数.
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）根据 ，可得 ，再由 即可求解.
（2）判断 在R上为减函数，结合函数为奇函数可得 ，从而可得对一切 有
，由 即可求解.
【详解】（1）因为 是R上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 .
从而有 .
又由 ，知 ，解得 .
经检验，当 时， ，满足题意.
（2）由（1）知 ，
由上式易知 在R上为减函数，
又因为 是奇函数，从而不等式
等价于 .
因为 是R上的减函数，由上式推得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即对一切 有 ，
从而 ，解得 .
8．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
∀
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数 为奇函数，证明见解析；
(2)函数 为R上的减函数，证明见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明；
（3）先利用赋值法可求出 ，从而原不等式可化为 ，再根据函数的单调性
可得 ，然后通过分离参数求最值即可解出．
（1）
因为函数 的定义域为R，
令 ，所以 ，即 ，
令 ，所以 ，即 ，所以函数 为奇函数．
（2）
不妨设 ，所以 ，而 ，所以 ，
，即 ，故函数 为R上的减函数．
（3）
由（1）可知，函数 为奇函数，而 ，所以 ，故原不等式可等价于
，而函数 为R上的减函数，所以 ，又 ，所以
，而 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即实数m的取值范围
为 ．
题型十、利用函数的性质解比较大小
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知奇函数 ，且 在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上是增函数.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是奇函数，从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，
，
，又 ，则 ，所以即 ，
，所以 ．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数
函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结
合不仅能比较大小，还可以解不等式.
2．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断
大小.
【详解】因为 满足 ，所以 ，
所以函数 是以8为周期的周期函数，
则 .
由 是定义在 上的奇函数，
且满足 ，得 .
因为 在区间 上是增函数， 是定义在 上的奇函数，
所以 在区间 上是增函数，所以 ，即 .
【点睛】在比较 ， ， ， 的大小时，首先应该根据函数 的奇偶性与周期性将
， ，L， 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
3．已知定义在R上的函数 为偶函数,记 ,则
,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【详解】由 为偶函数得 ,所以 ,
,所以 ,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
4．定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由对任意 ，有 ，得 在 上单独递减，所以
x
1
,x
2
∈[0,+∞)(x
1
≠x
2
) ¿0 f (x) [0，+∞)
.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据
函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
5．已知定义在 R上的函数 f (x) 满足:① f (x+2)=f (x) ;② f (x−2) 为奇函数;③当 x∈[0,1) 时,
f(x )−f(x ) 15 11
1 2 >0(x ≠x ) f ( − ) ，f (4),f ( )
x −x 1 2 2 2
1 2 恒成立,则 的大小关系是( ).
11 15 11 15
( ) ( ) ( ) ( )
f >f (4)>f − f (4)>f >f −
2 2 2 2
A． B．
15 11 15 11
( ) ( ) ( ) ( )
f − >f (4)>f f − >f >f (4)
2 2 2 2
C． D．
【答案】C
【解析】由f (x+2)=f (x)可知函数f (x)的周期为2,所以f (x)=f (x−2),又f (x−2)为奇函数,所以
f (x)为奇函数,
( 15 ) ( 15 ) (1) ( 11 ) ( 11 ) ( 1)
所以 f − =f − +2×4 =f , , f =f −2×3 =f − .
2 2 2 f(4)=f(4−2×2)=f(0) 2 2 2
因为当 x∈[0,1)时,f (x)单调递增,所以奇函数f (x)在(-1,1)上单调递增.
(1) ( 1) ( 15 ) ( 11 )
所以 f >f (0)>f − ,即 f − >f (4)>f .
2 2 2 2
6．若定义在R上的奇函数 f (x) 满足 f(x+2)=−f(x) ,且在[0,1]上是减函数,则有( ).
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f b>c,c
