第36讲平面向量的数量积及运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第36讲 平面向量的数量积及运算 知识梳理 知识点一．平面向量的数量积a (1)平面向量数量积的定义        已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a⋅      b，即a⋅b=|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． (2)平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当 θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0． ②a⋅b的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积．        ③设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD     =b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ,B ，得到AB ， 1 1 1 1      我们称上述变换为向量a向向量b投影，AB 叫做向量a在向量b上的投影向量．记为 1 1   |a|cosθe． 知识点二．数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： ①a⋅b=b⋅a； ②(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)； ③(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c． 知识点三．数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ①e⋅a=a⋅e=|a|cosθ．②a⊥b⇔a⋅b=0． ③当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|． 特别地，a⋅a=|a|2或|a|= a⋅a． a⋅b ④cosθ= (|a||b|≠0)．⑤|a⋅b|≤|a||b|． |a||b| 知识点四．数量积的坐标运算 已知非零向量a=(x ，y)，b=(x ，y )，θ为向量a、b的夹角． 1 1 2 2 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|= a⋅a |a|= x2+y2 数量积 a⋅b=|a||b|cosθ a⋅b=xx +yy 1 2 1 2 a⋅b 夹角 cosθ= |a||b| 第 页 共 页 969 3427xx +yy cosθ= 1 2 1 2 x2+y2⋅ x2+y2 1 1 2 2 a⊥b的充要 a⋅b=0 xx +yy =0 1 2 1 2 条件 a∥b的充要 a=λb(b≠0) xy -x y =0 1 2 2 1 条件 |a⋅b|与|a||b| |a⋅b|≤|a||b|(当且仅当 |xx +yy |≤ x2+y2⋅ x2+y2 1 2 1 2 1 1 2 2 的关系 a∥b时等号成立) 知识点五、向量中的易错点     (1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|a⋅b|≤|a||b|．       (2)当a≠0时，由a⋅b=0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向    量b都有a⋅b=0．            当a≠0时，且a⋅b=a⋅c时，也不能推出一定有b=c，当b是与a垂直的非零向量，c是        另一与a垂直的非零向量时，有a⋅b=a⋅c=0，但b≠c．           (3)数量积不满足结合律，即(a⋅b)c≠(b⋅c)a，这是因为(a⋅b)c是一个与c共线的向量，             而(b⋅c)a是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a⋅b)c不一定等于(b⋅c)a，即 凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．        (4)非零向量夹角为锐角(或钝角)．当且仅当a⋅b>0且a≠λb(λ>0)(或a⋅b<0，且a  ≠λb(λ<0)) 【解题方法总结】   (1)b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．            (2)数量积的运算要注意a=0时，a⋅b=0，但a⋅b=0时不能得到a=0或b=0，因为a    ⊥b时，也有a⋅b=0．      a⋅b     (3)根据平面向量数量积的性质：|a|= a⋅a，cosθ=   ，a⊥b⇔a⋅b=0等，所以 |a||b| 平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． (4)若a、b、c是实数，则ab=ac⇒b=c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向           量a、b、c满足a⋅b=a⋅c(a≠0)，则不一定有b=c，即等式两边不能同时约去一个向量，但 可以同时乘以一个向量．           (5)数量积运算不适合结合律，即(a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)，这是由于(a⋅b)⋅c表示一个与c            共线的向量，a⋅(b⋅c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a⋅b)⋅c与a⋅(b  ⋅c)不一定相等． 必考题型全归纳 1 题型一：平面向量的数量积运算    1624 (2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末)已知向量a，b满足 a=2，    b= 第 页 共 页 970 3427  π   3，且a与b的夹角为 ，则a+b 6    ⋅2a-b  = ( ) A.6 B.8 C.10 D.14 【答案】B 【解析】`  由 a=2，     π  b= 3，且a与b的夹角为 ， 6   所以a+b    ⋅2a-b      =2a2+a⋅b-b2  =2a  2  +a   ⋅b  π  cos -b 6  2 3 =2×22+2× 3× - 3 2  2=8. 故选：B.  1625 (2024·全国·高三专题练习)已知a   =6，b      =3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a⋅  b为 ( ) A.12 B.8 C.-8 D.2 【答案】A    【解析】a在b方向上投影向量为a    cosθ⋅e=4e，  ∴a     cosθ=4，∴a⋅b=a   b  cosθ=4×3=12. 故选：A   1 1626 (2024·湖南长沙·周南中学校考二模)已知菱形ABCD的边长为1，AB⋅AD=- ，G 2       是菱形ABCD内一点，若GA+GB+GC=0，则AG⋅AB= ( ) 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 【答案】A   1 【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，AB⋅AD=- ， 2    所以AB⋅AD=AB   ⋅AD  1 cos∠BAD=cos∠BAD=- ， 2     所以∠BAD=120°，则△ABC为等边三角形，因为GA+GB+GC=0，    所以GA=-GB+GC      ，设点M为BC的中点，则GA=-2GD，所以GA∥GD， 所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线， 所以AM  1 = 1- 2  2 3 = ， 2 同理可得点AB，AC的中线过点G， 所以点G为△ABC的重心，故AG  2 = AM 3  3 = ， 3 在等边△ABC中，M为BC的中点，则∠BAM=30°，    所以AG⋅AB=AG   ⋅AB  3 3 1 cos∠BAM= ×1× = . 3 2 2 故选：A 第 页 共 页 971 3427    π  1627 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知单位向量a,b，且‹a,b›= ，若(a+ 3      b)⊥c，|c|=2，则a⋅c= ( ) A.1 B.12 C.-2或2 D.-1或1 【答案】D     π    π 【解析】由题意单位向量a,b，且‹a,b›= ，可知a+b与a的夹角为 ， 3 6   因为a+b     ⊥c，所以a,c  π 2π = 或 ， 3 3   故当a,c  π    = 时，a⋅c=a 3   ⋅c    cosa⋅c  1 =1×2× =1； 2   当a,c  2π    = 时，a⋅c=a 3   ⋅c    cosa⋅c  1 =1×2×- 2  =-1， 故选：D.  1628 (2024·广东·校联考模拟预测)将向量OP= 2, 2  绕坐标原点O顺时针旋转75°得    到OP ，则OP⋅OP = ( ) 1 1 6- 2 6+ 2 A. B. 6- 2 C. 6+ 2 D. 2 2 【答案】B  【解析】因为OP= 2, 2   ，所以OP  =  2  2+ 2  2=2，   因为向量OP绕坐标原点O顺时针旋转75°得到OP ， 1    所以向量OP与向量OP 的夹角为75°，且OP 1 1  =2，    所以OP⋅OP =OP 1   ⋅OP 1  ⋅cos75°=2×2×cos(30°+45°) 3 2 1 2 =4 × - × 2 2 2 2  = 6- 2. 故选：B   1629 (2024·全国·高三专题练习)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED= ( ) A. 5 B.3 C.2 5 D.5 【答案】B   【解析】方法一：以AB,AD    为基底向量，可知AB   =AD    =2,AB⋅AD=0， 第 页 共 页 972 3427          1 1 则EC=EB+BC= AB+AD,ED=EA+AD=- AB+AD， 2 2     1 所以EC⋅ED= AB+AD 2    1 ⋅- AB+AD 2    1 =- AB2+AD2=-1+4=3； 4 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E1,0  ,C2,2  ,D0,2   ，可得EC=1,2   ,ED=-1,2  ，   所以EC⋅ED=-1+4=3； 方法三：由题意可得：ED=EC= 5,CD=2， DE2+CE2-DC2 5+5-4 3 在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC= = = ， 2DE⋅CE 2× 5× 5 5    所以EC⋅ED=EC   ED  3 cos∠DEC= 5× 5× =3. 5 故选：B.  π 1630 (2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠BAC= ，AD= 3     1 2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+ ABm∈R 2   ，若AC=3，AB=4，则AP⋅  CD的值为( ). 13 13 1 A.-3 B.- C. D.- 12 12 12 【答案】C    1 【解析】∵AP=mAC+ ABm∈R 2    ，AD=2DB，      2 2 1 即AD= AB且CD= CB+ CA， 3 3 3    3 ∴AP=mAC+ ADm∈R 4  ， 3 1 又C、P、D共线，有m+ =1，即m= ， 4 4       1 1 即AP= AC+ AB，而CB=CA+AB， 4 2         2 1 2 2 ∴CD= (CA+AB)+ CA=CA+ AB= AB-AC 3 3 3 3 第 页 共 页 973 3427    1 1 ∴AP⋅CD= AC+ AB 4 2    2  AB-AC 3      1 1 1 16 = AB2- AB⋅AC- AC2= -2- 3 3 4 3 9 13 = . 4 12 故选：C   1631 (2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)已知向量a，b满足同向共线，且  b    =2，a-b    =1，则a+b   ⋅a= ( ) A.3 B.15 C.-3或15 D.3或15 【答案】D     【解析】因为向量a，b满足同向共线，所以设a=λb(λ>0)，   又因为a-b   =1，b    =2，所以λb-b   2 =(λ-1)b   2 =(λ-1)2b  2 =4(λ-1)2=1， 1 3  1   3  所以λ= 或λ= ，即a= b或a= b. 2 2 2 2  1    ①当a= b时，a+b 2   3  ⋅a= b 2  1  ∙ b 2  3  = b2=3； 4  3    ②当a= b时，a+b 2   5  ⋅a= b 2  3  ∙ b 2  15  = b2=15； 4   所以a+b   ⋅a的值为3或15. 故选：D. 1632 (2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC   与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，则AE⋅AO= ( ) 12 24 12 4 A. B. C. D. 25 25 5 5 【答案】D 【解析】建立如图所示直角坐标系： 则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1)，    设E(x,y)，则AE=(x,y-1),BE=(x,y),BD=2,1      ∵AE⊥BD∴AE⊥BD且BE⎳BD， 2 x= ∴   2 x x - + 2 y y - = 1 0 =0 ，解得   1 5 ， y= 5 2 1 ∴E , 5 5   2 4 ,AE= ,- 5 5   8 1 ,EC= ,- 5 5  ， 在矩形ABCD中，O为BD的中点， 1 所以O1, 2  ，由A(0,1)，  1 所以AO=1.- 2  ， 第 页 共 页 974 3427  2 4 AE⋅AO= ×1+- 5 5  1 ×- 2  4 = ， 5 故选：D. 【解题方法总结】(1)求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量 积的定义找到解题思路． (2)平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而 平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．   (3)平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在向量b   a⋅b 方向上的投影为 ．  |b| (4)向量运算与整式运算的同与异(无坐标的向量运算) 同：(a±b)2=a2±2ab+b2；a±b  = a2±2ab+b2；a(b+c)=ab+ac公式都可通用 异：整式：a⋅b=±a  b  ，a     仅仅表示数；向量：a⋅b=±a   b  cosθ(θ为a与b的夹角)   ma±nb   = m2a  2  ±2mna  b    cosθ+n2b  2，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．  ma   -nb    ≤ma±nb   ≤ma   +nb    ，通常是求ma±nb  最值的时候用． 2 题型二：平面向量的夹角     1633 (2024·河南驻马店·统考二模)若单位向量a，b满足2a-b    = 6，则向量a，b夹角的余 弦值为 ． 1 【答案】- /-0.25 4     【解析】设向量a，b的夹角为θ，因为2a-b      = 6，所以4a2-4a⋅b+b2=6．  又a   =b  1 =1，所以4-4cosθ+1=6，所以cosθ=- ． 4 1 故答案为：- 4       1634 (2024·四川·校联考模拟预测)若e,e 是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e +e 与b 1 2 1 2   =-3e +2e 的夹角大小为 . 1 2 2 【答案】120°/ π 3      【解析】∵e 1 ,e 2 是夹角为60°的两个单位向量，则e 1 ⋅e 2 =e 1   ⋅e 2  1 cos60°= ， 2     ∴a⋅b=2e 1 +e 2    ⋅-3e 1 +2e 2      1 7 =-6e2+e ⋅e +2e 2=-6+ +2=- ， 1 1 2 2 2 2    |a|= 2e 1 +e 2      1 2= 4e2+4e ⋅e +e 2= 4+4× +1= 7， 1 1 2 2 2    |b|= -3e 1 +2e 2      1   2= 9e2-12e ⋅e +4e 2= 9-12× +4= 7，∴cos‹a,b›= 1 1 2 2 2   a⋅b 1   =- 2 ， |a|⋅|b|     ∵0°≤‹a,b›≤180°，∴‹a,b›=120°. 故答案为：120°    1635 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)已知向量a和b满足：a   =1，b    =2，2a-b  第 页 共 页 975 3427    -2a⋅b=0，则a与b的夹角为 ． π 【答案】 /60° 3     【解析】记向量a和b的夹角为θ，将2a-b    =2a· b平方得到：       1 4|a|2+|b|2-4|a||b|cosθ=4|a|2|b|2cos2θ⇒2cos2θ+cosθ-1=0⇒cosθ= 或-1， 2   又因为2a-b    1 π =2a· b≥0⇒cosθ≠-1，即cosθ= ⇒θ= ． 2 3 π 故答案为： . 3     1636 (2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若向量a与b不共线也不垂直，且c=a-   a⋅a    a⋅b     b，则向量夹角‹a,c›= . π 【答案】 2       a⋅a 【解析】由题意可得：a⋅c=a⋅ a-   a⋅b     b      a⋅a   =a2-   ×a⋅b a⋅b    =a2-a2=0 ，     π 故：a⊥c ，即向量a 与c的夹角为 . 2 π 故答案为： 2     1637 (2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模)已知a、b、c是同一个平面上的向量，若a   =c   =b          ，且a⋅b=0,c⋅a=2,c⋅b=1，则c,a  = . 5 【答案】arcsin 5  【解析】设a   =c   =b      =m，则c⋅a=m2cosc,a      =2，c⋅b=m2cosc,b  =1，   故cosc,a    =2cosc,b  ，     ∵a⋅b=0,a,b  ∈0,π  ，   则a,b  π       = ，c⋅a=2>0，c⋅b=1>0，故c,a 2    +c,b  π = ， 2   设c,a  π =θ，θ∈0, 2  π ，则cosθ=2cos -θ 2  =2sinθ， 5   又sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ= ，故c,a 5  5 =arcsin . 5 5 故答案为：arcsin . 5    1638 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知向量a，b满足a=1,-1   ，b      =1，a⋅b=1，则向量a与b的夹角大小为 . π 【答案】 4  【解析】由于a=1,-1   ，所以a  = 2，   所以cosa,b    a⋅b =  a   ⋅b  1 2 = = >0， 2 2   所以a,b    为锐角，所以a,b  π = . 4 第 页 共 页 976 3427π 故答案为： 4  1639 (2024·四川·校联考模拟预测)已知向量a=x+1, 3   ，b=1,0     ，a⋅b=-2，则向量a   +b与b的夹角为 ． 2π 【答案】 3     【解析】a⋅b=-2⇒x+1=-2⇒x=-3，则a+b=-1, 3     ，则cosa+b,b  =   a+b   ⋅b   a+b   b  1    =- ，又a+b,b 2  ∈0,π     ，则a+b,b  2π = 3 2π 故答案为： . 3  1640 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测)已知向量a=1,2   ，b=4,2   ，若非零向量c    与a，b的夹角均相等，则c的坐标为 (写出一个符合要求的答案即可) 【答案】(1，1)，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.  【解析】设c=x,y   ，因为a=1,2   ，b=4,2  ，   所以cosa,c    a⋅c =  a   c  x+2y = ， 5× x2+y2   cosb,c    b⋅c =  b   c  4x+2y = ， 2 5× x2+y2      因为c与a，b的夹角均相等，所以cosa,c    =cosb,c  ， x+2y 4x+2y 所以 = ， 5× x2+y2 2 5× x2+y2  化简得x=y，所以c=(x,x)，   因为c为非零向量，可取x=1，此时c=(1,1). 故答案为：(1，1)，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可. 【解题方法总结】       a⋅b xx +yy 求夹角，用数量积，由a⋅b=|a|⋅|b|cosθ得cosθ=   = 1 2 1 2 ，进而求得 |a|⋅|b| x2+y2 x2+y2 1 1 2 2   向量a,b的夹角． 3 题型三：平面向量的模长      1641 (2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)已知平面向量a，b，c满足a=(2,1)，b=      (1,2)，且a⊥c.若b⋅c=3 2，则|c|= ( ) A. 10 B.2 5 C.5 2 D.3 5 【答案】A   【解析】令c  =(x,y)，则   a  ⋅c  =2x+y=0 ，可得  x=- 2 ， b⋅c=x+2y=3 2 y=2 2  所以|c|= 2+8= 10. 故选：A 第 页 共 页 977 3427   1642 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知a，b是非零向量，a  =1，   a+2b     2   ⊥a，向量a在向量b方向上的投影为- ，则a-b 4  = . 【答案】2   【解析】∵a+2b     ⊥a，∴a+2b    ⋅a=a  2 +2b  ⋅a  =0  ，∴b  ⋅a  =- 1 a  2  2 =- 1 ， 2     2 a⋅b ∵向量a在向量b方向上的投影为- ，∴  4 b  2 =- ， 4  ∴b  4   =- a⋅b= 2， 2   ∴a-b  2  =a  2    -2a⋅b+b  2 =12-2×- 1 2  +2=4，   ∴a-b  =2. 故答案为：2    1643 (2024·海南·高三校联考期末)已知向量a，b满足a=1,1   ，b     =4，a⋅a-b  =-2，则   3a-b  = ． 【答案】 10  【解析】因为a=1,1   ，b     =4，a⋅a-b   =-2，则a  = 2，    所以a⋅a-b        =a2-a⋅b=-2，所以a⋅a-b      =2-a⋅b=-2，解得：a⋅b=4，   3a-b    = 3a-b  2 = 9a  2+b  2-6a  ⋅b  = 9×2+16-24= 10. 故答案为： 10.     1644 (2024·四川南充·阆中中学校考二模)已知a,b为单位向量，且满足a- 5b  = 6，则   2a+b  = . 【答案】 5     【解析】a,b为单位向量，且满足a- 5b      = 6，所以a2-2 5a⋅b+5b2=6，     即1-2 5a⋅b+5=6，解得a⋅b=0，   所以2a+b      = 4a2+4a⋅b+b2= 5. 故答案为： 5.    1645 (2024·河南驻马店·统考三模)已知平面向量a,b满足a   = 10,b    =2,且2a+b  ⋅   a-b    =14，则a+b  = ． 【答案】3 2   【解析】由2a+b    ⋅a-b          =2a2-a⋅b-b2=20-a⋅b-4=14,得a⋅b=2,   所以a+b    = a+b  2 = a  2+2a  ⋅b  +b  2= 10+4+4=3 2. 故答案为：3 2     1646 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a,b满足a-b    = 3，a+b    =2a-b   ，则b  = ． 【答案】 3 第 页 共 页 978 3427  【解析】由a-b          = 3，得a2-2a⋅b+b2=3，即2a⋅b=a2+b2-3 ①．   又由a+b    =2a-b          ，得a2+2a⋅b+b2=4a2-4a⋅b+b2，       即3a2-6a⋅b=0，代入①，得3a2-3a2+b2-3  =0，   整理，得b2=3，所以b  = 3． 故答案为： 3  1647 (2024·河南郑州·模拟预测)已知点O为坐标原点，OA=1,1   ，OB=-3,4  ，点P在线  段AB上，且AP  =1，则点P的坐标为 ． 1 8 【答案】 , 5 5  【解析】由题知，O0,0  ，设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，  ∵OA=1,1   ，OB=-3,4  ，∴x 1 -0,y 1 -0  =1,1  ，x 2 -0,y 2 -0  =-3,4  ， x =1 x =-3 ∴   1 ，  2 ， y =1 y =4 1 2 ∴A1,1  ,B-3,4  3 3 7 ，k =- ，则直线AB方程为y=- x+ ， AB 4 4 4 3 7 设P点坐标为x ,- x + 0 4 0 4  ，-3=  b  3×3+6×-4 =  -15 = =-3. 9+16 5 第 页 共 页 979 3427故答案为：-3.   1650 (2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模)已知a=(-2,-1),b=(-4,m),   若向量b在向量a方向上的数量投影为 5，则实数m= ． 【答案】3     a⋅b 【解析】由条件可知，向量b在向量a方向上的数量投影为  b  8-m = = 5， 5 解得：m=3. 故答案为：3  1651 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a     =6，e为单位向量，当向量a、e的夹角等于45°   时，则向量a在向量e上的投影向量是 ．  【答案】3 2e   【解析】因为向量a、e的夹角等于45°，    所以向量a在向量e上的投影向量是a    ⋅cos45°⋅e=3 2e，  故答案为：3 2e.   1652 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知向量a=(-1,2)，向量b=(1,1)，则向   量a在向量b方向上的投影为 . 2 【答案】 2  【解析】a    ⋅cosa,b    a⋅b =  b  1 2 = = . 2 2 2 故答案为： 2     1653 (2024·新疆喀什·统考模拟预测)已知向量a，b满足a+b   =3，a   =2，b=0,1  ，则向   量a在向量b方向上的投影为 . 【答案】2  【解析】因为b=0,1   ，所以b    =1，又a+b   =3，a  =2，   所以a+b  2 =a  2+2a  ⋅b  +b  2=a   2    +2a⋅b+b  2 =9，所以a  ⋅b  =2，     a⋅b 所以向量a在向量b方向上的投影为  b  =2. 故答案为：2        1654 (2024·全国·高三专题练习)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b)，且向量b在向量  1    a方向的投影向量是 a，则向量a与b的夹角是 . 4 π 【答案】 3          【解析】因为(a+2b)⊥(a-2b)，所以(a+2b)⋅(a-2b)=a   2 -4b  2 =0，即a    =2b  ①.   1  因为向量b在向量a方向的投影向量是 a， 4 第 页 共 页 980 3427 所以b    cosa,b   a ⋅  a   b 1  = a.所以 4   a    cosa,b  1 = ②， 4   将①代入②得，cosa,b  1   = ，又a,b 2  ∈0,π    ，所以a,b  π = . 3 π 故答案为： 3  1655 (2024·全国·模拟预测)已知向量a=1,0   ,b=0,1        ,a⋅c=b⋅c=1，则向量a在向量c 上的投影向量为 . 1 1 【答案】 , 2 2   【解析】设c=a,b   ，因为a=1,0   ,b=0,1      ,a⋅c=b⋅c=1 1×a+0×b=1 a=1 所以  ⇒   0×a+1×b=1 b=1  所以c=1,1      a⋅c 则向量a在向量c上的投影向量为：  c   c ⋅  c  1 1,1 = ⋅ 2  1 1 = , 2 2 2  . 1 1 故答案为： , 2 2  . 【解题方法总结】        设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD=     b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ,B ，得到AB ， 1 1 1 1      我们称上述变换为向量a向向量b投影，AB 叫做向量a在向量b上的投影向量．记为 1 1   |a|cosθe． 5 题型五：平面向量的垂直问题  1656 (2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测)已知向量a=1,2   ,b=-2,3    ，若ka+b  ⊥   a-b  ，则k= . 1 【答案】- /-0.25 4   【解析】由题意可得ka+b=k-2,2k+3    ,a-b=3,-1  ，   因为ka+b    ⊥a-b  ，   则ka+b    ⋅a-b  =3k-2  -2k+3  =0，解得k=9. 1 故答案为：- 4         1657 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a，b，c，其中a，b为单位向量，且a⊥b，若c  =   ，则a-c    ⊥b-2c  . 注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形. 【答案】1(答案不唯一)    【解析】因为a,b是相互垂直的单位向量，不妨设a=1,0   ,b=0,1   ,c=x,y    ∵a-c    ⊥b-2c    ,∴a-c    ∙b-2c         =0，即a∙b-2a∙c-b∙c+2c2=0 ， 第 页 共 页 981 34271 ∴2x2+2y2-2x-y=0 ，即x- 2  2 1 +y- 4  2 5  = ，即向量c的端点在圆心为 16 1 1  , 2 4  5 ，半径为 的圆周上， 4  故可以取c=1,0   ，即c  =1； 故答案为：1.    1658 (2024·江西宜春·高三校联考期末)设非零向量a，b的夹角为θ．若b   =2a  ，且   a+2b    ⊥3a-b  ，则θ= ． π 【答案】60°/ 3         【解析】由题设(a+2b)⋅(3a-b)=3a2+5a⋅b-2b2=0，    2|b|2-3|a|2 5|a|2 1 所以cosθ= 5|a  ||b  | = 10|a  |2 = 2 ，又0°≤θ≤180°， 所以θ=60°. 故答案为：60°   π    1659 (2024·江西南昌·高三统考开学考试)已知两单位向量e,e 的夹角为 ，若a=e +2e , 1 2 3 1 2      b=e +me ，且a⊥b，则实数m= ． 1 2 4 【答案】- /-0.8 5   π   π 1 【解析】因为单位向量e,e 的夹角为 ，所以e ⋅e =1×1×cos = ； 1 2 3 1 2 3 2       因为a⊥b，所以a⋅b=e 1 +2e 2    ⋅e 1 +me 2     =e 1 ⋅e 1 +2e 2   ⋅me 2    +(m+2)e 1 ⋅e 2  1 5 4 =1+2m+(m+2)× = m+2=0，所以m=- ． 2 2 5 4 故答案为：- . 5     1660 (2024·海南·校考模拟预测)已知a为单位向量，向量b在向量a上的投影向量是2a，且   3a+λb   ⊥a，则实数λ的值为 ． 3 【答案】- /-1.5 2      a⋅b 【解析】因为向量b在a上的投影向量为2a，所以  a  =2，     又a为单位向量，所以a⋅b=2a  =2，   因为3a+λb     ⊥a，所以3a+λb   ⋅a=0，    所以3a2+λa⋅b=0，所以3+2λ=0， 3 故λ=- ， 2 3 故答案为：- . 2  1661 (2024·全国·模拟预测)向量m=1,x   ,n=2,1     ，且n⊥m+n  ，则实数x= ． 【答案】-7  【解析】因为向量m=1,x   ,n=2,1    ，所以m+n=3,x+1  ， 第 页 共 页 982 3427   又n⊥m+n  ，    所以n⋅m+n  =0，得6+x+1=0， 解得x=-7． 故答案为：-7.     1662 (2024·全国·高三专题练习)非零向量a=(cos(α-β),sinβ)，b=(1,sinα)，若a⊥b，则 tanαtanβ= . 1 【答案】- /-0.5 2     【解析】因为a⊥b，所以a⋅b= cosα-β   ,sinβ  ⋅(1,sinα)=cos(α-β)+sinαsinβ= cosαcosβ+2sinαsinβ=0， π π 由题易知α≠ ，β≠ ， 2 2 sinαsinβ sinαsinβ 1 所以tanαtanβ= = =- . cosαcosβ -2sinαsinβ 2 1 故答案为：- 2  1663 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知向量a=-2,3   ,b=4,-5    ，若λa-b   ⊥b，则λ = ． 41 【答案】- 23  【解析】因为a=-2,3   ，b=4,-5    ，所以λa-b=λ-2,3  -4,-5  = -2λ-4,3λ+5  ，   又λa-b     ⊥b，所以λa-b   ⋅b=4-2λ-4  -53λ+5  41 =0，解得λ=- . 23 41 故答案为：- 23    1664 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知向量a，b不共线，a=2,1   ，a⊥   b-a   ，写出一个符合条件的向量b的坐标： . 【答案】1,3  (答案不唯一)  【解析】由题意得a        = 5，a⋅b-a2=0，则a⋅b=5，设b=x,y  ，  得2x+y=5，且x≠2y，满足条件的向量b的坐标可以为1,3  (答案不唯一或者 1  ,4 2  ). 故答案为：1,3  (答案不唯一)      1665 (2024·河南开封·统考三模)已知向量a=(m,-1)，b=(1,3)，若(a-b)⊥b，则m= . 【答案】13     【解析】∵a=(m,-1)，b=(1,3)，a-b=(m-1,-4)，    又∵(a-b)⊥b，    ∴(a-b)⋅b=m-1-12=0，解得m=13. 故答案为：13 【解题方法总结】 第 页 共 页 983 3427    a⊥b⇔a⋅b=0⇔xx +yy =0 1 2 1 2 6 题型六：建立坐标系解决向量问题      1    1666 (2024·全国·高三专题练习)已知|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=- ，c=xa+yb(x,y∈R)，则 2 x-y的最小值为 ( ) 2 3 A.-2 B.- C.- 3 D.-1 3 【答案】B    【解析】设a,b的夹角为θ，∵a   =b    1 =1，a⋅b=- ， 2 1 ∴cosθ=- ，∵θ∈0,π 2  2π  ，∴θ= ，又c 3  =1，   1 3 不妨设a=(1,0),b=- ， 2 2   ，c=(cosα,sinα),α∈0,2π  ，    y 3 ∵c=xa+yb=x- , y 2 2  y 3 cosα=x- 2 x=cosα+ 3 sinα ，所以 ，即 ， 3 2 3 sinα= y y= sinα 2 3 3 3 ∴x-y=cosα- sinα= 1+ 3 3  2 π cosα+ 6  2 3 π = cosα+ 3 6  ， 由α∈0,2π  π π 13π ∴α+ ∈  ， 6  6 6  ， π 3π 4π 2 3 ∴当α+ = 时，即α= 时，x-y有最小值- ． 6 2 3 3 故选：B 1667 (2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模)以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为 圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为   π 弧AC上的一点，且∠PBC= ，则BP⋅CP的值为 ( ) 6 A.4- 2 B.4+ 2 C.4-2 3 D.4+2 3 【答案】C 【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则B0,0  ，C2,0  ， π 由∠PBC= ，得P 3,1 6  ，  所以BP= 3,1   ，CP= 3-2,1  ，   所以BP⋅CP= 3 3-2  +1×1=4-2 3． 第 页 共 页 984 3427故选：C. 1668 (2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测)下图是北京2022年冬奥会会徽的图 案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排  圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为O 、O 、O 、O 、O ，则O O ⋅ 1 2 3 4 5 4 1   O O +O O 4 5 4 2  的值为 ( ) A.-507 B.-386 C.-338 D.-242 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做O 4 A⊥x轴于A点，所以O 4 A  =11， 由已知可得O 1-26,0  ，O 4-13,-11  ，O 513,-11  ，  所以O 4 O 1 =-13,11   ，O 4 O 5 =26,0   ，O 4 O 2 =13,11  ，    所以O O ⋅O O +O O 4 1 4 5 4 2  =-13,11  ⋅39,11  =-507+121=-386. 故选：B. 1669 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)如图，在圆内接四边形ABCD中，   ∠BAD=120°,AB=AD=1,AC=2.若E为CD的中点，则EA⋅EB的值为 ( ) 第 页 共 页 985 34271 3 A.-3 B.- C. D.3 3 2 【答案】C 1 【解析】连接BD，由余弦定理知BD2=12+12-2×1×1×- 2  =3，所以BD= 3. BD 由正弦定理得 =2=AC，所以AC为圆的直径， sin120° 所以CD⊥AD，所以CD= 3，从而CD=BD， 又∠BCD=180°-120°=60°，所以△BCD为等边三角形， 以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标 系. 则A1,0  3 ,E0, 2  3 3 ,B , 2 2   3 ，EA=1,- 2   3 ,EB= ,0 2    3 所以EA⋅EB=1,- 2  3 ⋅ ,0 2  3 = . 2 故选：C. 1670 (2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测)如图，已知△ABC是面积为3 3的等 边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边     上，且恰好可在△ABC内任意旋转，则当BQ⋅CP=0时，|BQ+CP|2= ( ) 第 页 共 页 986 3427A.2+4 3 B.4+2 3 C.3+2 6 D.2+3 6 【答案】A 1 3 【解析】因为△ABC是面积为3 3的等边三角形，记△ABC边长为a，所以 × × 2 2 1 a2=3 3，解得a=2 3，记△ABC内切圆的半径为r，根据S= Cr， 2 1 可得：3 3= ×2 3×3×r，解得r=1，因为正方形MNPQ的面积为2，所以正方形边 2 长为 2， 记正方形MNPQ外接圆半径为R，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即R=1， 根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切 圆， 因为正方形MNPQ可在△ABC内任意旋转， 可知正方形MNPQ各个顶点均在该△ABC的内切圆上， 以△ABC的底边BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系如图所 示： 故可知B- 3,0  ,C 3,0  ,A0,3  ， 圆的方程为x2+(y-1)2=1， 故设Pcosα,1+sinα  π ,Q cosα+ 2  π ,1+sinα+ 2    ,α∈0,2π  ， 即Pcosα,1+sinα  ,Q-sinα,1+cosα    ，BQ⋅CP= 3-sinα,1+cosα  ⋅ cosα- 3,1+sinα  =1+ 3  cosα+sinα  2 -2=0，∴cosα+sinα= = 3-1， 3+1   |BQ+CP|2=(cosα-sinα)2+(2+cosα+sinα)2=(cosα-sinα)2+( 3+1)2 =2-(cosα+sinα)2+( 3+1)2=2+4 3 故选:A. 1671 (2024·河南安阳·统考三模)已知正方形ABCD的边长为1,O为正方形的中心，E是AB   的中点，则DE⋅DO= ( ) 1 1 3 A.- B. C. D.1 4 2 4 第 页 共 页 987 3427【答案】C 【解析】如图，以A为坐标原点，AB,AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则 1 D(0,1)，E ,0 2  1 1 ，O , 2 2   1 ，所以DE= ,-1 2   1 1 ，DO= ,- 2 2    1 ，所以DE⋅DO= 4 1 3 + = 2 4 故选：C. 【解题方法总结】 边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆   建系必备(1)三角函数知识x=rcosθ,y=rsinθ；(2)向量三点共线知识OC=λOB+(1  -λ)OA．        设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD=     b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ,B ，得到AB ， 1 1 1 1 第 页 共 页 988 3427     我们称上述变换为向量a向向量b投影，AB 叫做向量a在向量b上的投影向量．记为 1 1   |a|cosθe． 7 题型七：平面向量的实际应用 1672 (2024·江西宜春·高三校考阶段练习)一质点受到同一平面上的三个力F，F，F(单位： 1 2 3 牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F，F 成120°角，且F，F 的大小都为6牛顿，则F 的 1 2 1 2 3 大小为 牛顿. 【答案】6    【解析】设三个力F，F，F 分别对于的向量为：a,b,c 1 2 3     则由题知a+b+c=0    所以c=-(a+b)  所以c    =-(a+b)      = a2+2a∙b+b2  又a   =6,b     =6,a∙b=a   b  1 cos120°=6×6×- 2  =-18  所以c  = 36+2×(-18)+36=6 所以F 的大小为：6 3 故答案为：6 1673 (2024·内蒙古赤峰·统考三模)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处   于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力F，沿着斜面向上的摩 1   擦力F.已知：F 2 1   =80 3N,G   =160N，则F 的大小为 . 2 【答案】80N   1 【解析】由题设，|F|=|G|cos60°=160× =80N， 2 2 故答案为：80N. 1674 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.      已知两条绳上的拉力分别是F，F，且F，F 与水平夹角均为45°，F 1 2 1 2 1   =F 2  =4 2N，则物 体的重力大小为 N. 【答案】8 第 页 共 页 989 3427      【解析】设F，F 的合力为F，则F=F +F， 1 2 1 2   ∵F，F 的夹角为90°， 1 2    ∴F2=F+F 1 2      2=F2+F2+2F ⋅F =32+32=64， 1 2 1 2  ∴F  =8，  ∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为|G|=8. 故答案为：8. 1675 (2024·全国·高三专题练习)两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F 与 1 F 大小之比为 ． 2 6 【答案】 2 【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0  所以F 1   cos45°=F 2   F 1 cos30°，所以   F 2  3 cos30° 2 6 = = = cos45° 2 2 2 6 故答案为： 2 1676 (2024·浙江·高三专题练习)一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方 向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km，则河水的流速是 km/h． 【答案】2 3   【解析】如图，用v 表示河水的流速，v 表示船的速度， t 2    则v=v +v 为船的实际航行速度． 1 2  由图知，OA   =4，OB  =8，则∠AOB=60°．  又v 2  =2，  所以v 1   =v 2  tan60°=2× 3=2 3． 第 页 共 页 990 3427即河水的流速是2 3km/h． 故答案为：2 3. 【解题方法总结】 用向量方法解决实际问题的步骤 第 页 共 页 991 3427