第36讲平面向量的数量积及运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第36讲 平面向量的数量积及运算 知识梳理 知识点一．平面向量的数量积a (1)平面向量数量积的定义        已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a⋅      b，即a⋅b=|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． (2)平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当 θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0． ②a⋅b的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积．        ③设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD     =b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ,B ，得到AB ， 1 1 1 1      我们称上述变换为向量a向向量b投影，AB 叫做向量a在向量b上的投影向量．记为 1 1   |a|cosθe． 知识点二．数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： ①a⋅b=b⋅a； ②(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)； ③(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c． 知识点三．数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ①e⋅a=a⋅e=|a|cosθ．②a⊥b⇔a⋅b=0． ③当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|． 特别地，a⋅a=|a|2或|a|= a⋅a． a⋅b ④cosθ= (|a||b|≠0)．⑤|a⋅b|≤|a||b|． |a||b| 知识点四．数量积的坐标运算 已知非零向量a=(x ，y)，b=(x ，y )，θ为向量a、b的夹角． 1 1 2 2 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|= a⋅a |a|= x2+y2 数量积 a⋅b=|a||b|cosθ a⋅b=xx +yy 1 2 1 2 a⋅b 夹角 cosθ= |a||b| 第 页 共 页 299 1043xx +yy cosθ= 1 2 1 2 x2+y2⋅ x2+y2 1 1 2 2 a⊥b的充要 a⋅b=0 xx +yy =0 1 2 1 2 条件 a∥b的充要 a=λb(b≠0) xy -x y =0 1 2 2 1 条件 |a⋅b|与|a||b| |a⋅b|≤|a||b|(当且仅当 |xx +yy |≤ x2+y2⋅ x2+y2 1 2 1 2 1 1 2 2 的关系 a∥b时等号成立) 知识点五、向量中的易错点     (1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|a⋅b|≤|a||b|．       (2)当a≠0时，由a⋅b=0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向    量b都有a⋅b=0．            当a≠0时，且a⋅b=a⋅c时，也不能推出一定有b=c，当b是与a垂直的非零向量，c是        另一与a垂直的非零向量时，有a⋅b=a⋅c=0，但b≠c．           (3)数量积不满足结合律，即(a⋅b)c≠(b⋅c)a，这是因为(a⋅b)c是一个与c共线的向量，             而(b⋅c)a是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a⋅b)c不一定等于(b⋅c)a，即 凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．        (4)非零向量夹角为锐角(或钝角)．当且仅当a⋅b>0且a≠λb(λ>0)(或a⋅b<0，且a  ≠λb(λ<0)) 【解题方法总结】   (1)b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．            (2)数量积的运算要注意a=0时，a⋅b=0，但a⋅b=0时不能得到a=0或b=0，因为a    ⊥b时，也有a⋅b=0．      a⋅b     (3)根据平面向量数量积的性质：|a|= a⋅a，cosθ=   ，a⊥b⇔a⋅b=0等，所以 |a||b| 平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． (4)若a、b、c是实数，则ab=ac⇒b=c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向           量a、b、c满足a⋅b=a⋅c(a≠0)，则不一定有b=c，即等式两边不能同时约去一个向量，但 可以同时乘以一个向量．           (5)数量积运算不适合结合律，即(a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)，这是由于(a⋅b)⋅c表示一个与c            共线的向量，a⋅(b⋅c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a⋅b)⋅c与a⋅(b  ⋅c)不一定相等． 必考题型全归纳 1 题型一：平面向量的数量积运算    1624 (2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末)已知向量a，b满足 a=2，    b= 第 页 共 页 300 1043  π   3，且a与b的夹角为 ，则a+b 6    ⋅2a-b  = ( ) A.6 B.8 C.10 D.14  1625 (2024·全国·高三专题练习)已知a   =6，b      =3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a⋅  b为 ( ) A.12 B.8 C.-8 D.2   1 1626 (2024·湖南长沙·周南中学校考二模)已知菱形ABCD的边长为1，AB⋅AD=- ，G 2       是菱形ABCD内一点，若GA+GB+GC=0，则AG⋅AB= ( ) 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2     π  1627 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知单位向量a,b，且‹a,b›= ，若(a+ 3      b)⊥c，|c|=2，则a⋅c= ( ) A.1 B.12 C.-2或2 D.-1或1  1628 (2024·广东·校联考模拟预测)将向量OP= 2, 2  绕坐标原点O顺时针旋转75°得    到OP ，则OP⋅OP = ( ) 1 1 6- 2 6+ 2 A. B. 6- 2 C. 6+ 2 D. 2 2   1629 (2024·全国·高三专题练习)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED= ( ) A. 5 B.3 C.2 5 D.5  π 1630 (2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠BAC= ，AD= 3     1 2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+ ABm∈R 2   ，若AC=3，AB=4，则AP⋅  CD的值为( ). 13 13 1 A.-3 B.- C. D.- 12 12 12   1631 (2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)已知向量a，b满足同向共线，且  b    =2，a-b    =1，则a+b   ⋅a= ( ) A.3 B.15 C.-3或15 D.3或15 1632 (2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC   与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，则AE⋅AO= ( ) 12 24 12 4 A. B. C. D. 25 25 5 5 第 页 共 页 301 10432 题型二：平面向量的夹角     1633 (2024·河南驻马店·统考二模)若单位向量a，b满足2a-b    = 6，则向量a，b夹角的余 弦值为 ．       1634 (2024·四川·校联考模拟预测)若e,e 是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e +e 与b 1 2 1 2   =-3e +2e 的夹角大小为 . 1 2    1635 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)已知向量a和b满足：a   =1，b    =2，2a-b      -2a⋅b=0，则a与b的夹角为 ．     1636 (2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若向量a与b不共线也不垂直，且c=a-   a⋅a    a⋅b     b，则向量夹角‹a,c›= .     1637 (2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模)已知a、b、c是同一个平面上的向量，若a   =c   =b          ，且a⋅b=0,c⋅a=2,c⋅b=1，则c,a  = .    1638 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知向量a，b满足a=1,-1   ，b      =1，a⋅b=1，则向量a与b的夹角大小为 .  1639 (2024·四川·校联考模拟预测)已知向量a=x+1, 3   ，b=1,0     ，a⋅b=-2，则向量a   +b与b的夹角为 ．  1640 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测)已知向量a=1,2   ，b=4,2   ，若非零向量c    与a，b的夹角均相等，则c的坐标为 (写出一个符合要求的答案即可) 3 题型三：平面向量的模长      1641 (2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)已知平面向量a，b，c满足a=(2,1)，b=      (1,2)，且a⊥c.若b⋅c=3 2，则|c|= ( ) A. 10 B.2 5 C.5 2 D.3 5    1642 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知a，b是非零向量，a  =1，   a+2b     2   ⊥a，向量a在向量b方向上的投影为- ，则a-b 4  = .    1643 (2024·海南·高三校联考期末)已知向量a，b满足a=1,1   ，b     =4，a⋅a-b  =-2，则   3a-b  = ．     1644 (2024·四川南充·阆中中学校考二模)已知a,b为单位向量，且满足a- 5b  = 6，则   2a+b  = .    1645 (2024·河南驻马店·统考三模)已知平面向量a,b满足a   = 10,b    =2,且2a+b  ⋅   a-b    =14，则a+b  = ． 第 页 共 页 302 1043    1646 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a,b满足a-b    = 3，a+b    =2a-b   ，则b  = ．  1647 (2024·河南郑州·模拟预测)已知点O为坐标原点，OA=1,1   ，OB=-3,4  ，点P在线  段AB上，且AP  =1，则点P的坐标为 ．  1648 (2024·广西·高三校联考阶段练习)已知a=-2,1   ，b=4,t      ，若a⋅b=2，则2a-b  = ． 4 题型四：平面向量的投影、投影向量  1649 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)已知向量a=3,6   ，b=3,-4   ，则a在  b方向上的数量投影为 .   1650 (2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模)已知a=(-2,-1),b=(-4,m),   若向量b在向量a方向上的数量投影为 5，则实数m= ．  1651 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a     =6，e为单位向量，当向量a、e的夹角等于45°   时，则向量a在向量e上的投影向量是 ．   1652 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知向量a=(-1,2)，向量b=(1,1)，则向   量a在向量b方向上的投影为 .     1653 (2024·新疆喀什·统考模拟预测)已知向量a，b满足a+b   =3，a   =2，b=0,1  ，则向   量a在向量b方向上的投影为 .        1654 (2024·全国·高三专题练习)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b)，且向量b在向量  1    a方向的投影向量是 a，则向量a与b的夹角是 . 4  1655 (2024·全国·模拟预测)已知向量a=1,0   ,b=0,1        ,a⋅c=b⋅c=1，则向量a在向量c 上的投影向量为 . 5 题型五：平面向量的垂直问题  1656 (2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测)已知向量a=1,2   ,b=-2,3    ，若ka+b  ⊥   a-b  ，则k= .         1657 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a，b，c，其中a，b为单位向量，且a⊥b，若c  =   ，则a-c    ⊥b-2c  . 注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.    1658 (2024·江西宜春·高三校联考期末)设非零向量a，b的夹角为θ．若b   =2a  ，且   a+2b    ⊥3a-b  ，则θ= ．   π    1659 (2024·江西南昌·高三统考开学考试)已知两单位向量e,e 的夹角为 ，若a=e +2e , 1 2 3 1 2 第 页 共 页 303 1043     b=e +me ，且a⊥b，则实数m= ． 1 2     1660 (2024·海南·校考模拟预测)已知a为单位向量，向量b在向量a上的投影向量是2a，且   3a+λb   ⊥a，则实数λ的值为 ．  1661 (2024·全国·模拟预测)向量m=1,x   ,n=2,1     ，且n⊥m+n  ，则实数x= ．     1662 (2024·全国·高三专题练习)非零向量a=(cos(α-β),sinβ)，b=(1,sinα)，若a⊥b，则 tanαtanβ= .  1663 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知向量a=-2,3   ,b=4,-5    ，若λa-b   ⊥b，则λ = ．    1664 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知向量a，b不共线，a=2,1   ，a⊥   b-a   ，写出一个符合条件的向量b的坐标： .      1665 (2024·河南开封·统考三模)已知向量a=(m,-1)，b=(1,3)，若(a-b)⊥b，则m= . 6 题型六：建立坐标系解决向量问题      1    1666 (2024·全国·高三专题练习)已知|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=- ，c=xa+yb(x,y∈R)，则 2 x-y的最小值为 ( ) 2 3 A.-2 B.- C.- 3 D.-1 3 1667 (2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模)以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为 圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为   π 弧AC上的一点，且∠PBC= ，则BP⋅CP的值为 ( ) 6 A.4- 2 B.4+ 2 C.4-2 3 D.4+2 3 1668 (2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测)下图是北京2022年冬奥会会徽的图 案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排  圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为O 、O 、O 、O 、O ，则O O ⋅ 1 2 3 4 5 4 1   O O +O O 4 5 4 2  的值为 ( ) 第 页 共 页 304 1043A.-507 B.-386 C.-338 D.-242 1669 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)如图，在圆内接四边形ABCD中，   ∠BAD=120°,AB=AD=1,AC=2.若E为CD的中点，则EA⋅EB的值为 ( ) 1 3 A.-3 B.- C. D.3 3 2 1670 (2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测)如图，已知△ABC是面积为3 3的等 边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边     上，且恰好可在△ABC内任意旋转，则当BQ⋅CP=0时，|BQ+CP|2= ( ) A.2+4 3 B.4+2 3 C.3+2 6 D.2+3 6 1671 (2024·河南安阳·统考三模)已知正方形ABCD的边长为1,O为正方形的中心，E是AB   的中点，则DE⋅DO= ( ) 1 1 3 A.- B. C. D.1 4 2 4 7 题型七：平面向量的实际应用 1672 (2024·江西宜春·高三校考阶段练习)一质点受到同一平面上的三个力F，F，F(单位： 1 2 3 牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F，F 成120°角，且F，F 的大小都为6牛顿，则F 的 1 2 1 2 3 大小为 牛顿. 1673 (2024·内蒙古赤峰·统考三模)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处   于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力F，沿着斜面向上的摩 1 第 页 共 页 305 1043  擦力F.已知：F 2 1   =80 3N,G   =160N，则F 的大小为 . 2 1674 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.      已知两条绳上的拉力分别是F，F，且F，F 与水平夹角均为45°，F 1 2 1 2 1   =F 2  =4 2N，则物 体的重力大小为 N. 1675 (2024·全国·高三专题练习)两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F 与 1 F 大小之比为 ． 2 1676 (2024·浙江·高三专题练习)一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方 向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km，则河水的流速是 km/h． 第 页 共 页 306 1043