第36讲平面向量的数量积及运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第36讲 平面向量的数量积及运算
知识梳理
知识点一．平面向量的数量积a
(1)平面向量数量积的定义
      
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a⋅
    
b，即a⋅b=|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
(2)平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当
θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．
②a⋅b的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积．
      
③设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,e与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD
   
=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ,B ，得到AB ，
1 1 1 1
    
我们称上述变换为向量a向向量b投影，AB 叫做向量a在向量b上的投影向量．记为
1 1
 
|a|cosθe．
知识点二．数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则：
①a⋅b=b⋅a；
②(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)；
③(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c．
知识点三．数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
①e⋅a=a⋅e=|a|cosθ．②a⊥b⇔a⋅b=0．
③当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|．
特别地，a⋅a=|a|2或|a|= a⋅a．
a⋅b
④cosθ= (|a||b|≠0)．⑤|a⋅b|≤|a||b|．
|a||b|
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量a=(x ，y)，b=(x ，y )，θ为向量a、b的夹角．
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|= a⋅a |a|= x2+y2
数量积 a⋅b=|a||b|cosθ a⋅b=xx +yy
1 2 1 2
a⋅b
夹角 cosθ=
|a||b|
第 页 共 页
299 1043xx +yy
cosθ= 1 2 1 2
x2+y2⋅ x2+y2
1 1 2 2
a⊥b的充要
a⋅b=0 xx +yy =0
1 2 1 2
条件
a∥b的充要
a=λb(b≠0) xy -x y =0
1 2 2 1
条件
|a⋅b|与|a||b| |a⋅b|≤|a||b|(当且仅当
|xx +yy |≤ x2+y2⋅ x2+y2
1 2 1 2 1 1 2 2
的关系 a∥b时等号成立)
知识点五、向量中的易错点
   
(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|a⋅b|≤|a||b|．
     
(2)当a≠0时，由a⋅b=0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向
  
量b都有a⋅b=0．
          
当a≠0时，且a⋅b=a⋅c时，也不能推出一定有b=c，当b是与a垂直的非零向量，c是
      
另一与a垂直的非零向量时，有a⋅b=a⋅c=0，但b≠c．
         
(3)数量积不满足结合律，即(a⋅b)c≠(b⋅c)a，这是因为(a⋅b)c是一个与c共线的向量，
           
而(b⋅c)a是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a⋅b)c不一定等于(b⋅c)a，即
凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
      
(4)非零向量夹角为锐角(或钝角)．当且仅当a⋅b>0且a≠λb(λ>0)(或a⋅b<0，且a

≠λb(λ<0))
【解题方法总结】
 
(1)b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
          
(2)数量积的运算要注意a=0时，a⋅b=0，但a⋅b=0时不能得到a=0或b=0，因为a
  
⊥b时，也有a⋅b=0．
 
   a⋅b    
(3)根据平面向量数量积的性质：|a|= a⋅a，cosθ=
 
，a⊥b⇔a⋅b=0等，所以
|a||b|
平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
(4)若a、b、c是实数，则ab=ac⇒b=c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向
         
量a、b、c满足a⋅b=a⋅c(a≠0)，则不一定有b=c，即等式两边不能同时约去一个向量，但
可以同时乘以一个向量．
         
(5)数量积运算不适合结合律，即(a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)，这是由于(a⋅b)⋅c表示一个与c
          
共线的向量，a⋅(b⋅c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a⋅b)⋅c与a⋅(b

⋅c)不一定相等．
必考题型全归纳
1 题型一：平面向量的数量积运算
  
1624 (2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末)已知向量a，b满足 a=2， 

 b=
第 页 共 页
300 1043  π  
3，且a与b的夹角为 ，则a+b
6

 
⋅2a-b  = ( )
A.6 B.8 C.10 D.14

1625 (2024·全国·高三专题练习)已知a 

=6，b 
   
=3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a⋅

b为 ( )
A.12 B.8 C.-8 D.2
 
1
1626 (2024·湖南长沙·周南中学校考二模)已知菱形ABCD的边长为1，AB⋅AD=- ，G
2
     
是菱形ABCD内一点，若GA+GB+GC=0，则AG⋅AB= ( )
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2
    π 
1627 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知单位向量a,b，且‹a,b›= ，若(a+
3
    
b)⊥c，|c|=2，则a⋅c= ( )
A.1 B.12 C.-2或2 D.-1或1

1628 (2024·广东·校联考模拟预测)将向量OP= 2, 2  绕坐标原点O顺时针旋转75°得
  
到OP ，则OP⋅OP = ( )
1 1
6- 2 6+ 2
A. B. 6- 2 C. 6+ 2 D.
2 2
 
1629 (2024·全国·高三专题练习)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=
( )
A. 5 B.3 C.2 5 D.5

π
1630 (2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠BAC= ，AD=
3
   
1
2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+ ABm∈R
2


，若AC=3，AB=4，则AP⋅

CD的值为( ).
13 13 1
A.-3 B.- C. D.-
12 12 12
 
1631 (2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)已知向量a，b满足同向共线，且

b 
 
=2，a-b 
 
=1，则a+b 

⋅a= ( )
A.3 B.15 C.-3或15 D.3或15
1632 (2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC
 
与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，则AE⋅AO= ( )
12 24 12 4
A. B. C. D.
25 25 5 5
第 页 共 页
301 10432 题型二：平面向量的夹角
   
1633 (2024·河南驻马店·统考二模)若单位向量a，b满足2a-b 
 
= 6，则向量a，b夹角的余
弦值为 ．
     
1634 (2024·四川·校联考模拟预测)若e,e 是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e +e 与b
1 2 1 2
 
=-3e +2e 的夹角大小为 .
1 2
  
1635 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)已知向量a和b满足：a 

=1，b 
 
=2，2a-b 
   
-2a⋅b=0，则a与b的夹角为 ．
   
1636 (2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若向量a与b不共线也不垂直，且c=a-
 
a⋅a
  
a⋅b
   
b，则向量夹角‹a,c›= .
   
1637 (2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模)已知a、b、c是同一个平面上的向量，若a 

=c 

=b 
       
，且a⋅b=0,c⋅a=2,c⋅b=1，则c,a  = .
  
1638 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知向量a，b满足a=1,-1 

，b 
   
=1，a⋅b=1，则向量a与b的夹角大小为 .

1639 (2024·四川·校联考模拟预测)已知向量a=x+1, 3 

，b=1,0 
  
，a⋅b=-2，则向量a
 
+b与b的夹角为 ．

1640 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测)已知向量a=1,2 

，b=4,2 

，若非零向量c
  
与a，b的夹角均相等，则c的坐标为 (写出一个符合要求的答案即可)
3 题型三：平面向量的模长
    
1641 (2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)已知平面向量a，b，c满足a=(2,1)，b=
    
(1,2)，且a⊥c.若b⋅c=3 2，则|c|= ( )
A. 10 B.2 5 C.5 2 D.3 5
  
1642 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知a，b是非零向量，a  =1，
 
a+2b 
   2  
⊥a，向量a在向量b方向上的投影为- ，则a-b
4
 = .
  
1643 (2024·海南·高三校联考期末)已知向量a，b满足a=1,1 

，b 
  
=4，a⋅a-b  =-2，则
 
3a-b  = ．
   
1644 (2024·四川南充·阆中中学校考二模)已知a,b为单位向量，且满足a- 5b  = 6，则
 
2a+b  = .
  
1645 (2024·河南驻马店·统考三模)已知平面向量a,b满足a 

= 10,b 
 
=2,且2a+b  ⋅
 
a-b 
 
=14，则a+b  = ．
第 页 共 页
302 1043   
1646 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a,b满足a-b 
 
= 3，a+b 
 
=2a-b 

，则b  =
．

1647 (2024·河南郑州·模拟预测)已知点O为坐标原点，OA=1,1 

，OB=-3,4  ，点P在线

段AB上，且AP  =1，则点P的坐标为 ．

1648 (2024·广西·高三校联考阶段练习)已知a=-2,1 

，b=4,t 
   
，若a⋅b=2，则2a-b  =
．
4 题型四：平面向量的投影、投影向量

1649 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)已知向量a=3,6 

，b=3,-4 

，则a在

b方向上的数量投影为 .
 
1650 (2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模)已知a=(-2,-1),b=(-4,m),
 
若向量b在向量a方向上的数量投影为 5，则实数m= ．

1651 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a 
  
=6，e为单位向量，当向量a、e的夹角等于45°
 
时，则向量a在向量e上的投影向量是 ．
 
1652 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知向量a=(-1,2)，向量b=(1,1)，则向
 
量a在向量b方向上的投影为 .
   
1653 (2024·新疆喀什·统考模拟预测)已知向量a，b满足a+b 

=3，a 

=2，b=0,1  ，则向
 
量a在向量b方向上的投影为 .
      
1654 (2024·全国·高三专题练习)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b)，且向量b在向量
 1   
a方向的投影向量是 a，则向量a与b的夹角是 .
4

1655 (2024·全国·模拟预测)已知向量a=1,0 

,b=0,1 
     
,a⋅c=b⋅c=1，则向量a在向量c
上的投影向量为 .
5 题型五：平面向量的垂直问题

1656 (2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测)已知向量a=1,2 

,b=-2,3 
 
，若ka+b  ⊥
 
a-b  ，则k= .
       
1657 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a，b，c，其中a，b为单位向量，且a⊥b，若c  =
 
，则a-c 
 
⊥b-2c  .
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
  
1658 (2024·江西宜春·高三校联考期末)设非零向量a，b的夹角为θ．若b 

=2a  ，且
 
a+2b 
 
⊥3a-b  ，则θ= ．
  π   
1659 (2024·江西南昌·高三统考开学考试)已知两单位向量e,e 的夹角为 ，若a=e +2e ,
1 2 3 1 2
第 页 共 页
303 1043    
b=e +me ，且a⊥b，则实数m= ．
1 2
   
1660 (2024·海南·校考模拟预测)已知a为单位向量，向量b在向量a上的投影向量是2a，且
 
3a+λb 

⊥a，则实数λ的值为 ．

1661 (2024·全国·模拟预测)向量m=1,x 

,n=2,1 
  
，且n⊥m+n  ，则实数x= ．
   
1662 (2024·全国·高三专题练习)非零向量a=(cos(α-β),sinβ)，b=(1,sinα)，若a⊥b，则
tanαtanβ= .

1663 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知向量a=-2,3 

,b=4,-5 
 
，若λa-b 

⊥b，则λ
= ．
  
1664 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知向量a，b不共线，a=2,1 

，a⊥
 
b-a 

，写出一个符合条件的向量b的坐标： .
    
1665 (2024·河南开封·统考三模)已知向量a=(m,-1)，b=(1,3)，若(a-b)⊥b，则m=
.
6 题型六：建立坐标系解决向量问题
     1   
1666 (2024·全国·高三专题练习)已知|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=- ，c=xa+yb(x,y∈R)，则
2
x-y的最小值为 ( )
2 3
A.-2 B.- C.- 3 D.-1
3
1667 (2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模)以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为
圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为
 
π
弧AC上的一点，且∠PBC= ，则BP⋅CP的值为 ( )
6
A.4- 2 B.4+ 2 C.4-2 3 D.4+2 3
1668 (2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测)下图是北京2022年冬奥会会徽的图
案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排

圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为O 、O 、O 、O 、O ，则O O ⋅
1 2 3 4 5 4 1
 
O O +O O
4 5 4 2
 的值为 ( )
第 页 共 页
304 1043A.-507 B.-386 C.-338 D.-242
1669 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)如图，在圆内接四边形ABCD中，
 
∠BAD=120°,AB=AD=1,AC=2.若E为CD的中点，则EA⋅EB的值为 ( )
1 3
A.-3 B.- C. D.3
3 2
1670 (2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测)如图，已知△ABC是面积为3 3的等
边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边
   
上，且恰好可在△ABC内任意旋转，则当BQ⋅CP=0时，|BQ+CP|2= ( )
A.2+4 3 B.4+2 3 C.3+2 6 D.2+3 6
1671 (2024·河南安阳·统考三模)已知正方形ABCD的边长为1,O为正方形的中心，E是AB
 
的中点，则DE⋅DO= ( )
1 1 3
A.- B. C. D.1
4 2 4
7 题型七：平面向量的实际应用
1672 (2024·江西宜春·高三校考阶段练习)一质点受到同一平面上的三个力F，F，F(单位：
1 2 3
牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F，F 成120°角，且F，F 的大小都为6牛顿，则F 的
1 2 1 2 3
大小为 牛顿.
1673 (2024·内蒙古赤峰·统考三模)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处
 
于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力F，沿着斜面向上的摩
1
第 页 共 页
305 1043 
擦力F.已知：F
2 1


=80 3N,G 

=160N，则F 的大小为 .
2
1674 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.
    
已知两条绳上的拉力分别是F，F，且F，F 与水平夹角均为45°，F
1 2 1 2 1


=F
2
 =4 2N，则物
体的重力大小为 N.
1675 (2024·全国·高三专题练习)两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F 与
1
F 大小之比为 ．
2
1676 (2024·浙江·高三专题练习)一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方
向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km，则河水的流速是 km/h．
第 页 共 页
306 1043