第05讲平面向量与复数（2022-2024高考真题）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_第05讲平面向量与复数（2022-2024高考真题）

第 05 讲 平面向量与复数（2022-2024 高考真题） （新高考专用） (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:26)(cid:21) 1(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36) (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:40)“ + · =0”(cid:37)“ = (cid:41) = ”(cid:42)(cid:28) (cid:34)(cid:27) A(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49) 𝑎 𝑏 B(cid:27)(cid:46)𝑎(cid:47)𝑏(cid:45)(cid:43)𝑎(cid:44)−𝑏(cid:48)(cid:49) 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 C(cid:27)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:49) D(cid:27)(cid:50)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:44)(cid:60)(cid:61)(cid:62) + =0(cid:63)(cid:64)(cid:65)| |=| |(cid:36)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:60)(cid:68)(cid:69). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) + = 2 𝑎2 = 𝑏 0(cid:36) ⋅ (cid:61) 𝑎− (cid:75) 𝑏 2= 2 (cid:36)(cid:76)| 𝑎 |=|𝑏|(cid:36) (cid:61)(cid:62) + 𝑎=0𝑏(cid:63)(cid:64)⋅ 𝑎(cid:65)−|𝑏|=|𝑎|−(cid:36)𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 (cid:77) =𝑎(cid:41)𝑏 =⋅ 𝑎−(cid:36)𝑏(cid:61)(cid:75)| |=| | 𝑎(cid:36)(cid:76)𝑏 + =0(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:46)(cid:47)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81) (cid:77)𝑎 +𝑏 𝑎 −𝑏 =0(cid:36)(cid:76)𝑎| |=𝑏 | |(cid:36)(cid:82)𝑎(cid:83)(cid:75)𝑏 (cid:84)⋅ 𝑎=−𝑏(cid:41) = (cid:36) (cid:85)(cid:86)𝑎 =𝑏(1⋅,0𝑎),−𝑏=(0,1)(cid:36)(cid:87)𝑎(cid:88)| |𝑏=| |(cid:36)(cid:89) 𝑎 (cid:90)𝑏 𝑎 (cid:36)−𝑏(cid:61)(cid:62)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:45)(cid:79)(cid:80)(cid:81) (cid:91)(cid:92)𝑎(cid:93)(cid:94)(cid:36)“ 𝑏+ =0𝑎”(cid:37)“𝑏 (cid:90)𝑎≠𝑏 𝑎”(cid:42)≠(cid:46)−𝑏(cid:47)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:48)(cid:49). (cid:95)(cid:20)(cid:10)B. 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑎−𝑏 𝑎≠𝑏 𝑎≠−𝑏 2(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:38)(cid:39) =( + ), =( )(cid:36)(cid:40)(cid:28) (cid:34) A(cid:27)“ = ”(cid:37)“ ”(cid:42)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)𝑎 𝑥 1,B𝑥(cid:27)𝑏“ =𝑥,2 ”(cid:37)“ // ”(cid:42)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49) C(cid:27)“𝑥=0−”3(cid:37)“ 𝑎⊥”𝑏(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:48)(cid:49) D(cid:27)“𝑥=−3+ 𝑎3”(cid:37)𝑏“ // ”(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:48)(cid:49) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)𝑥(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)𝑎(cid:38)⊥(cid:39)𝑏(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:76)(cid:61)𝑥(cid:75)(cid:107)−(cid:108)1(cid:72)(cid:36)(cid:53)(cid:84)(cid:76)𝑎(cid:61)𝑏. (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:109)A(cid:36)(cid:110) (cid:111)(cid:36)(cid:40) =0(cid:36) (cid:93)(cid:112) +1)+ =0𝑎(cid:36)⊥(cid:53)𝑏(cid:75) =0𝑎(cid:41)⋅𝑏 (cid:36)(cid:76)(cid:46)(cid:47)(cid:78)(cid:45)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:95)A(cid:113)(cid:114)(cid:81) (cid:109)C(cid:36)𝑥⋅(cid:110)(𝑥 =0(cid:111)(cid:36)2𝑥 =(1,0), =𝑥(0,2)(cid:36)−(cid:95)3 =0(cid:36) (cid:93)(cid:112) 𝑥(cid:36)(cid:76)(cid:43)(cid:44)𝑎(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:95)𝑏 C(cid:115)(cid:116)(cid:81) 𝑎⋅𝑏 (cid:109)B(cid:36)𝑎⊥(cid:110)𝑏// (cid:111)(cid:36)(cid:40) +1)= 2(cid:36)(cid:53)(cid:75) =1± 3(cid:36)(cid:76)(cid:46)(cid:47)(cid:78)(cid:45)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:95)B(cid:113)(cid:114)(cid:81) (cid:109)D(cid:36)(cid:110)𝑎=𝑏 + 32(cid:111)(𝑥(cid:36)(cid:45)(cid:87)(cid:88)𝑥 +1)𝑥= 2(cid:36)(cid:93)(cid:112) // (cid:45)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:45)(cid:80)(cid:36)(cid:95)D(cid:113)(cid:114). (cid:95)(cid:20)(cid:10)C.𝑥 −1 2(𝑥 𝑥 𝑎 𝑏 3(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) , (cid:87)(cid:88)| |=1,| +2 |=2(cid:36)(cid:90) (cid:36)(cid:40)| |=(cid:28) (cid:34) A(cid:27) 1 B(cid:27) 2 𝑎𝑏 𝑎 C(cid:27) 3 𝑎 𝑏 D 𝑏 (cid:27) − 1 2𝑎 ⊥𝑏 𝑏 2 2 2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:118) (cid:75) 2 =2 (cid:36)(cid:66)(cid:67)| |=1,| +2 |=2(cid:36)(cid:75)1+4 +4 2 =1+6 2 =4(cid:36)(cid:118)(cid:119) 𝑏−2𝑎 ⊥𝑏 𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑏 𝑏(cid:76)(cid:61)(cid:75)(cid:53). 2 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) (cid:36)(cid:93)(cid:112) =0(cid:36)(cid:76) =2 (cid:36) (cid:120)(cid:73)(cid:74)| |=1,| +2𝑏−|2=𝑎2(cid:36)⊥𝑏 𝑏−2𝑎 ⋅𝑏 𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑎 𝑎 2𝑏 2 (cid:93)(cid:112)1+4 +4 =1+6 =4(cid:36) 𝑎⋅𝑏 𝑏 𝑏 (cid:121)(cid:122)| |= 2. 2 (cid:95)(cid:20)(cid:10)𝑏B. 4(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) =(0,1), = (cid:36)(cid:77) ( )(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) A(cid:27) B(cid:27) 𝑎 C𝑏(cid:27)1(2,𝑥) 𝑏⊥ 𝑏−4D𝑎(cid:27)2 𝑥 【解题思−2路】根据向量垂直−的1坐标运算可求 的值. (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) (cid:36)(cid:93)(cid:112) 𝑥 =0(cid:36) 2 𝑏⊥ 𝑏−4𝑎 𝑏⋅ 𝑏−4𝑎 (cid:93)(cid:112) =0(cid:76)4+ 2 =0(cid:36)(cid:95) =2(cid:36) (cid:95)(cid:20)𝑏(cid:10)−D.4𝑎⋅𝑏 𝑥 −4𝑥 𝑥 5(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) ， (cid:87)(cid:88) + =(2,3), = (cid:36)(cid:40)| |2 |2=(cid:28) (cid:34) A(cid:27) B(cid:27) 𝑎 𝑏 C𝑎(cid:27)0𝑏 𝑎−𝑏 (−D2(cid:27),11) 𝑎 −|𝑏 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−2(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:101)(cid:125)(cid:38)(cid:39)−(cid:13)1(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:36)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:129)(cid:53)(cid:130)(cid:70). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:38)(cid:39) , (cid:87)(cid:88) + =(2,3), = (cid:36) (cid:93)(cid:112)| |2 |2=( 𝑎+𝑏 ) (𝑎 𝑏)=2× 𝑎−𝑏+3(−×21,1=) . (cid:95)(cid:20)(cid:10)𝑎B−. |𝑏 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑎−𝑏 (−2) −1 6(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62) = i(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) i 𝑧 −1− 𝑧 A(cid:27) i B(cid:27) +i C(cid:27) i D(cid:27)1+i (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−1(cid:55)−(cid:56)(cid:99)(cid:131)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)−(cid:133)1(cid:83)(cid:76)(cid:61)(cid:75)(cid:107)(cid:70)(cid:134). 1− (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:75) =i( i)= i. (cid:95)(cid:20)(cid:10)C. 𝑧 −1− 1− 7(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) = 2i(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) A(cid:27) B(cid:27) 2 𝑧 𝑧⋅𝑧C(cid:27) 2 D(cid:27)2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−2(cid:55)(cid:56)(cid:136)(cid:57)(cid:58)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:84) (cid:36)(cid:142)(cid:143)−(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:133)(cid:83)(cid:144)(cid:127). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:145)(cid:21)(cid:135)(cid:75)(cid:36) = 2i(cid:36)(cid:95) 𝑧= i2=2. 𝑧 − 𝑧𝑧 −2(cid:95)(cid:20)(cid:10)D. 8(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:77) =5+i(cid:36)(cid:40)i + =(cid:28) (cid:34) A(cid:27)10i B(cid:27)2i 𝑧 𝑧C(cid:27)𝑧10 D(cid:27)2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:66)(cid:67)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:146)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:147)(cid:148)(cid:126)(cid:127)(cid:99)(cid:131)(cid:129)(cid:53). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118) =5+i = i,z+ =10(cid:36)(cid:40)i + =10i. (cid:95)(cid:20)(cid:10)A. 𝑧 ⇒𝑧 5− 𝑧 𝑧 𝑧 9(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62) = i(cid:36)(cid:40)| |=(cid:28) (cid:34) A(cid:27)0 B(cid:27)1 𝑧 −1− C(cid:27)𝑧 2 D(cid:27)2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:118)(cid:132)(cid:13)(cid:149)(cid:42)(cid:144)(cid:127)(cid:7)(cid:150)(cid:99)(cid:131)(cid:144)(cid:127)(cid:76)(cid:61). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:77) = i(cid:36)(cid:40)| |= ( )2+( )2= 2. 𝑧 −1− 𝑧 −1 −1 (cid:95)(cid:20)(cid:10)C. 10(cid:27)(cid:28)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:77) =1+i(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) 1 𝑧 𝑧− 𝑧 A(cid:27) i B(cid:27) +i C(cid:27) i D(cid:27)1+i (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)1−(cid:56)(cid:118)(cid:132)(cid:13)(cid:151)(cid:40)(cid:126)−(cid:127)1(cid:83)(cid:40)(cid:99)(cid:131)(cid:126)(cid:127)(cid:76)(cid:61)(cid:129)1(cid:53)−. 1 1 1 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) = =1+ =1+i(cid:36)(cid:93)(cid:112) =1+ = i. i 𝑧 𝑧−1+ (cid:95)(cid:20)(cid:10)C. 𝑧−1 𝑧−1 𝑧−1 𝑧 1− 11(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:152)(cid:132)(cid:101)(cid:125)(cid:153)(cid:36)(cid:132)(cid:13) (cid:109)(cid:154)(cid:42)(cid:155)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:37) 3)(cid:36)(cid:40) (cid:42)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13) =(cid:28) (cid:34) A(cid:27)1+ 3i B(cid:27)𝑧 3i (−1, 𝑧 𝑧 C(cid:27) + 3i D(cid:27)1− 3i (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)1(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:156)(cid:157)(cid:135)(cid:140)(cid:136)(cid:129)(cid:84)(cid:132)(cid:13) (cid:36)(cid:142)−1(cid:143)−(cid:123)(cid:124)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:139)(cid:140)(cid:144)(cid:127). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) (cid:152)(cid:132)(cid:101)(cid:125)(cid:109)(cid:154)(cid:42)(cid:155)(cid:37) 3)(cid:36)𝑧(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:156)(cid:157)(cid:135)(cid:140)(cid:36) = + 3i(cid:36) (cid:118)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)𝑧(cid:139)(cid:140)(cid:61)(cid:62)(cid:36) = 3(−i.1, 𝑧 −1 (cid:95)(cid:20)(cid:10)D. 𝑧 −1− 12(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) =(3,1), =(2,2)(cid:36)(cid:40)cos + , =(cid:28) (cid:34) A(cid:27) 1 B(cid:27) 17 𝑎 C(cid:27) 𝑏 5 ⟨ 𝑎 D 𝑏 (cid:27) 𝑎2−𝑏5 ⟩ 17 17 5 5 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:101)(cid:125)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:146)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:44)(cid:158)(cid:129)(cid:75)| + |,| |, + (cid:36)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:101)(cid:125)(cid:38) (cid:39)(cid:159)(cid:160)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:7)(cid:150)(cid:76)(cid:61)(cid:75)(cid:53). 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑎−𝑏 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) =(3,1), =(2,2)(cid:36)(cid:93)(cid:112) + =(5,3), =( )(cid:36) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 1,−1(cid:40)| + |= 52+32= 34,| |= 1+1= 2(cid:36) + =5×1+3×( )=2(cid:36) (cid:93)(cid:112) 𝑎 cos 𝑏 + , = 𝑎−𝑏 = 2 = 17. 𝑎 𝑏 ⋅ 𝑎−𝑏 −1 | || | 34× 2 17 𝑎+𝑏 ⋅ 𝑎−𝑏 (cid:95)(cid:20)(cid:10)B⟨.𝑎 𝑏𝑎−𝑏 ⟩ 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 13(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) , , (cid:87)(cid:88)| |=| |=1,| |= 2(cid:36)(cid:90) + + =0(cid:36)(cid:40)cos , = (cid:28) (cid:34) 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 〈𝑎−𝑐𝑏−𝑐〉 4 2 2 4 A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 5 5 5 5 − − (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:84)(cid:161)(cid:162),(cid:57)(cid:58)(cid:156)(cid:157)(cid:135)(cid:140)(cid:129)(cid:53). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) + + =0,(cid:93)(cid:112) + = , 2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 −𝑐 (cid:76) 2+ +2 = 2,(cid:76)1+1+2 =2,(cid:93)(cid:112) =0. (cid:86)𝑎(cid:161),(cid:35)𝑏 =𝑎,⋅𝑏 =𝑐 , = , 𝑎⋅𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑂𝐴 𝑎𝑂𝐵 𝑏𝑂𝐶 𝑐 (cid:118)(cid:21)(cid:62), = = = 2, (cid:37)(cid:63)(cid:163)(cid:99)(cid:164)(cid:165)(cid:164)(cid:162), AB(cid:166)(cid:92) 𝑂 (cid:42) 𝐴 (cid:31) 𝑂𝐵 = 12,𝑂𝐶 = 2, △𝑂𝐴𝐵 2 2 𝑂𝐷 ,𝐴𝐷 (cid:93)(cid:112) = + = 2+ 2=3 2, 2 2 𝐶𝐷 𝐶𝑂 𝑂𝐷 1 3 tan = = ,cos = , 3 10 𝐴𝐷 cos ∠𝐴𝐶𝐷 , 𝐶𝐷 =cos ∠𝐴𝐶 = 𝐷 cos =2cos2 〈𝑎−𝑐𝑏3−𝑐2〉 4∠𝐴𝐶𝐵 2∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷−1 =2× = . 10 5 (cid:95)(cid:20):D. −1 14(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62) (cid:42)(cid:167)(cid:168)(cid:74)1(cid:36)(cid:99)(cid:169)PA(cid:146) (cid:170)(cid:171)(cid:65)(cid:155)A(cid:36)(cid:99)(cid:169)PB(cid:146) (cid:172)(cid:65)B(cid:36)C (cid:173)(cid:155)(cid:36)D(cid:74)BC(cid:42)(cid:174)(cid:155)(cid:36)(cid:77)| |=⊙2𝑂(cid:36)(cid:40) (cid:42)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:74)(cid:28)⊙ 𝑂(cid:34) ⊙𝑂 A(cid:27)1 2 𝑃𝑂 𝑃𝐴⋅ B 𝑃 (cid:27) 𝐷1 2 2 2 2 + +C(cid:27)1+ 2 D(cid:27)2+ 2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:130)(cid:84)(cid:106)(cid:135)(cid:161)(cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:44)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:36)(cid:123)(cid:124)(cid:101)(cid:125)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:139)(cid:140)(cid:61)(cid:75) = 1 2sin (cid:36) 2 2 4 𝜋 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 − 2𝛼− (cid:41) = 1 + 2sin + (cid:142)(cid:143)(cid:66)(cid:67)(cid:165)(cid:164)(cid:181)(cid:13)(cid:42)(cid:78)(cid:182)(cid:76)(cid:61)(cid:116)(cid:139) (cid:42)(cid:175)(cid:176)(cid:177). 2 2 4 𝜋 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 2𝛼 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:86)(cid:161)(cid:93)(cid:106)(cid:36)| |=1,| |= 2(cid:36)(cid:40)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:61)(cid:62): = (cid:36) 4 π (cid:118)(cid:183)(cid:184)(cid:139)(cid:15)(cid:61)(cid:75)| |= 𝑂𝐴 2 2= 𝑂𝑃 1 ∠𝐴𝑃𝑂 𝑃𝐴 𝑂𝑃 −𝑂𝐴 (cid:110)(cid:155) (cid:185)(cid:65)(cid:99)(cid:169) (cid:186)(cid:187)(cid:111)(cid:41)PB(cid:74)(cid:99)(cid:168)(cid:111)(cid:36)(cid:35) = ,0 < (cid:36) 4 𝜋 𝐴,𝐷 𝑃𝑂 ∠𝑂𝑃𝐶 𝛼 ≤𝛼 (cid:40)(cid:10) =| | | |cos + 4 𝜋 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐷 𝛼 =1× 2cos cos + 4 𝜋 𝛼2 𝛼 2 = 2cos cos sin 2 2 =cos2 𝛼sin cos 𝛼− 𝛼 1+c𝛼o−s 𝛼 1 𝛼 = sin 2 2 2𝛼 1 2 − 2𝛼 = sin 2 2 4 𝜋 − 2𝛼− 0 < (cid:36)(cid:40) < 4 4 4 4 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 ≤𝛼 − ≤2𝛼− (cid:110) = (cid:111)(cid:36) (cid:188)(cid:175)(cid:176)(cid:177)1. 4 4 π π ∴ 2𝛼− − 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 (cid:110)(cid:155) (cid:185)(cid:65)(cid:99)(cid:169) (cid:189)(cid:187)(cid:111)(cid:36)(cid:35) ,0< < (cid:36) 4 𝜋 𝐴,𝐷 𝑃𝑂 ∠𝑂𝑃𝐶𝛼 𝛼(cid:40)(cid:10) =| | | |cos 4 𝜋 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐷 𝛼− =1× 2cos cos 4 𝜋 𝛼2 𝛼− 2 = 2cos cos + sin 2 2 =cos2 𝛼+sin cos𝛼 𝛼 1+c𝛼os 𝛼1 𝛼 = + sin 2 2 2𝛼 2𝛼 = 1 + 2sin + (cid:36) 2 2 4 𝜋 2𝛼 0 < (cid:36)(cid:40) + < 4 4 4 4 𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋 ≤𝛼 ≤2𝛼 (cid:110) + = (cid:111)(cid:36) (cid:188)(cid:175)(cid:176)(cid:177)1 2. 4 2 2 𝜋 𝜋 + ∴ 2𝛼 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 (cid:91)(cid:92)(cid:61)(cid:75)(cid:36) (cid:42)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:74)1 2. 2 + 𝑃𝐴⋅𝑃𝐷 (cid:95)(cid:20)(cid:10)A. 15(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) =(1,1), =( )(cid:36)(cid:77) + + (cid:36)(cid:40)(cid:28) (cid:34) A(cid:27) + =1 𝑎 B(cid:27)𝑏 +1,−=1 𝑎 𝜆𝑏 ⊥ 𝑎 𝜇𝑏 C(cid:27)𝜆 =𝜇1 D(cid:27)𝜆 =𝜇 −1 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)𝜆𝜇(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:126)(cid:127)(cid:129)(cid:84) + (cid:36) +𝜆𝜇 (cid:36)−(cid:190)1(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:98)(cid:99)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:76)(cid:61)(cid:129)(cid:84)(cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) =(1,1), =( )(cid:36)𝑎(cid:93)𝜆(cid:112)𝑏 +𝑎 𝜇=𝑏(1+ )(cid:36) + =(1+ )(cid:36) (cid:118) + +𝑎 (cid:61)(cid:75)(cid:36)𝑏 +1,−1 + 𝑎 =𝜆𝑏0(cid:36) 𝜆,1−𝜆 𝑎 𝜇𝑏 𝜇,1−𝜇 (cid:76)(1𝑎+𝜆)𝑏(1⊥+𝑎)+𝜇(𝑏 )( 𝑎)=𝜆0𝑏(cid:36)⋅(cid:191)𝑎(cid:15)(cid:75)𝜇(cid:10)𝑏 = (cid:27) (cid:95)(cid:20)(cid:10)D𝜆(cid:27) 𝜇 1−𝜆 1−𝜇 𝜆𝜇 −1 16(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)|2+i2+2i3|=(cid:28) (cid:34) A(cid:27)1 B(cid:27)2 C(cid:27) 5 D(cid:27)5 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:192)(cid:136)(cid:16)(cid:193)2+i2+2i3(cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:127)(cid:194)(cid:149)(cid:76)(cid:61). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:61)(cid:75)2+i2+2i3= 1 i= i(cid:36) 2− −2 1−2 (cid:40)|2+i2+2i3|=| i|= 12+( )2= 5. 1−2 −2 (cid:95)(cid:20)(cid:10)C. 17(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34) 5(1 i3) =(cid:28) (cid:34) (2 i)( i) + + 2− A(cid:27) B(cid:27)1 C(cid:27) i D(cid:27)1+i −1 1−(cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:151)(cid:40)(cid:126)(cid:127)(cid:129)(cid:53)(cid:76)(cid:61). 5(1 i3) 5( i) (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) = = i (2 i i) 5 + 1− +)(2− 1− (cid:95)(cid:20)(cid:10)C. 18(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) R,( +i)( i)=2,(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) A(cid:27)-1 B(cid:27)0 𝑎∈ 𝑎 1C−(cid:27)𝑎1 𝑎 D(cid:27)2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:195)(cid:13)(cid:126)(cid:127)(cid:112)(cid:196)(cid:132)(cid:13)(cid:170)(cid:63)(cid:76)(cid:61)(cid:53)(cid:84)(cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74)( +i)( i)= 2i+i+ = +( 2)i=2(cid:36) =2 𝑎 1−𝑎 𝑎−𝑎 𝑎 2𝑎 1−𝑎 (cid:93)(cid:112) (cid:36)(cid:53)(cid:75)(cid:10) =1(cid:27) 2=0 2𝑎 𝑎 (cid:95)(cid:20)(cid:10)1−C.𝑎 19(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) = 2 i (cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) 1 i2 i5 + A(cid:27) i B(cid:27)1+2 𝑧 i + + C 𝑧 (cid:27) i D(cid:27)2+i (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)1(cid:55)−2(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:192)(cid:136)(cid:144)(cid:127)(cid:132)(cid:13) (cid:42)(cid:177)(cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:123)2(cid:124)−(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:139)(cid:140)(cid:116)(cid:139)(cid:194)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:76)(cid:61). 2 i 𝑧 2 i i(2 i) 2i (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:61)(cid:75) = = = = = i(cid:36) 1 i2 i5 i i2 + + + −1 (cid:40) =1+2i. 𝑧 + + 1−1+ −1 1−2 (cid:95)𝑧(cid:20)(cid:10)B. 20(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62) = i (cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) 2 2i 1− A(cid:27) i B(cid:27)i 𝑧 + C 𝑧− (cid:27) 𝑧 0 D(cid:27)1 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:197)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:129)(cid:84) (cid:36)(cid:190)(cid:118)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:198)(cid:199)(cid:75)(cid:107) (cid:36)(cid:121)(cid:122)(cid:53)(cid:84)(cid:27) i ( i)( i) 𝑧 i 1 1 𝑧 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) = = = = i(cid:36)(cid:93)(cid:112) = i(cid:36)(cid:76) = i(cid:27) 2 2i 2(1 i)( i) 4 2 2 1− 1− 1− −2 (cid:95)(cid:20)(cid:10)A(cid:27) 𝑧 + + 1− − 𝑧 𝑧−𝑧 − 21(cid:27)(cid:28)2023·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:152)(cid:132)(cid:101)(cid:125)(cid:153)(cid:36)(1+3i)( i)(cid:109)(cid:154)(cid:42)(cid:155)(cid:185)(cid:65)(cid:28) (cid:34)(cid:27) A(cid:27)(cid:200)(cid:22)(cid:201)(cid:202) B(cid:27)(cid:200)(cid:203)(cid:201)(cid:202) C(cid:27)(cid:200)(cid:165)3−(cid:201)(cid:202) D(cid:27)(cid:200)(cid:151)(cid:201)(cid:202) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:133)(cid:83)(cid:66)(cid:67)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:156)(cid:157)(cid:135)(cid:140)(cid:44)(cid:60)(cid:68)(cid:69). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74)(1+3i)( i)=3+8i i2=6+8i(cid:36) (cid:40)(cid:93)(cid:129)(cid:132)(cid:13)(cid:109)(cid:154)(cid:42)(cid:155)(cid:74)(6,8)3(cid:36)−(cid:185)(cid:65)(cid:200)(cid:22)(cid:201)−(cid:202)3. (cid:95)(cid:20)(cid:10)A. 22(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) =(3,4), =(1,0), = + (cid:36)(cid:77)< , >=< , >(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑡𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑡A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27)5 D(cid:27)6 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)6(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:126)−(cid:127)5(cid:100)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:204)(cid:164)(cid:42)(cid:159)(cid:160)(cid:7)(cid:150)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:162)(cid:150)(cid:16)(cid:193)(cid:76)(cid:61)(cid:129)(cid:75) < > < > 9 16 3 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:53)(cid:10) =(3+ ),cos , =cos ,(cid:76) = ,(cid:53)(cid:75) =5, 5| | | | →→ → +3𝑡+ +𝑡 (cid:95)(cid:20)(cid:10)C. 𝑐 𝑡,4 𝑎 𝑐 𝑏,𝑐 𝑐 𝑐 𝑡 23(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) =(2,1)， = (cid:36)(cid:40)| |(cid:28) (cid:34) A(cid:27)2 B(cid:27)3 𝑎 C(cid:27)4𝑏 (−2,4) 𝑎−D𝑏(cid:27)5 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:136)(cid:129)(cid:75) (cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:129)(cid:75)| |. (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) 𝑎− = 𝑏 (2,1) ( 𝑎 ) − = 𝑏 ( )(cid:36)(cid:93)(cid:112)| |= 42+( )2=5. 𝑎−𝑏 − −2,4 4,−3 𝑎−𝑏 −3 (cid:95)(cid:20)(cid:10)D. 24(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) , (cid:87)(cid:88)| |=1,| |= 3,| |=3(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) A(cid:27) B(cid:27) 𝑎𝑏 C𝑎(cid:27)1 𝑏 𝑎−2𝑏D(cid:27)2 𝑎⋅𝑏 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)2(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:205)(cid:139)(cid:149)(cid:206)−(cid:36)1(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:126)(cid:127)(cid:129)(cid:53)(cid:76)(cid:61). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:53)(cid:10) | |2=| |2 +4 | |2 (cid:36) (cid:120) | |=1,| |= 3∵,|𝑎−2𝑏|=3,𝑎 −4𝑎⋅𝑏 𝑏 9∵=𝑎 𝑏 +4×3𝑎−=2𝑏 (cid:36) ∴ 1=−41𝑎⋅𝑏 13−4𝑎⋅𝑏 ∴(cid:95)𝑎(cid:20)⋅𝑏(cid:10)C. 25(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:152) (cid:174)(cid:36)(cid:155)D(cid:152)(cid:166)AB(cid:92)(cid:36) = (cid:27)(cid:207) = ， = (cid:36)(cid:40) = (cid:28) (cid:34) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 2𝐷𝐴 𝐶𝐴 𝑚 𝐶𝐷 𝑛 𝐶𝐵 A(cid:27)3 B(cid:27) +3 C(cid:27)3 +2 D(cid:27)2 +3 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)𝑚−(cid:56)2(cid:57)𝑛(cid:58)(cid:156)(cid:157)(cid:48)(cid:49)−(cid:112)2𝑚(cid:196)(cid:101)(cid:125)𝑛(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:169)(cid:78)(cid:126)(cid:127)𝑚(cid:76)(cid:61)𝑛(cid:53)(cid:84)(cid:27) 𝑚 𝑛 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74)(cid:155)D(cid:152)(cid:166)AB(cid:92)(cid:36) = (cid:36)(cid:93)(cid:112) =2 (cid:36)(cid:76) =2 (cid:36) (cid:93)(cid:112) = 3 =3 = 𝐵𝐷 +23𝐷(cid:27)𝐴 𝐵𝐷 𝐷𝐴 𝐶𝐷−𝐶𝐵 𝐶𝐴−𝐶𝐷 (cid:95)(cid:20)𝐶(cid:10)𝐵B(cid:27) 𝐶𝐷−2𝐶𝐴 𝑛−2𝑚 −2𝑚 𝑛 26(cid:27)(cid:28)2022·(cid:208)(cid:209)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62) +3i= +i)i(cid:28)i(cid:74)(cid:210)(cid:13)(cid:24)(cid:185)(cid:34)(cid:36)(cid:40)(cid:28) (cid:34) A(cid:27) = = B(cid:27) = 𝑎,𝑏=∈3𝑅,𝑎 C(cid:27)(𝑏= = D(cid:27) = =3 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)𝑎(cid:55)(cid:56)1,(cid:123)𝑏 (cid:124)−(cid:132)3(cid:13)(cid:170)(cid:63)𝑎(cid:42)(cid:48)−(cid:49)1,𝑏(cid:61)(cid:129) . 𝑎 −1,𝑏 −3 𝑎 1,𝑏 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) +3i= + i(cid:36)(cid:122) (cid:74)𝑎(cid:211),𝑏(cid:13)(cid:36)(cid:95) = =3(cid:36) 𝑎 −1 𝑏 𝑎,𝑏 𝑎 −1,𝑏(cid:95)(cid:20)(cid:10)B. 27(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(2+2i i)=(cid:28) (cid:34) A(cid:27) +4i B(cid:27) i )(1−2 C(cid:27)6+2i D(cid:27) i (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)2(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:133)−(cid:83)2−(cid:61)4(cid:129)(2+2i)( i). 6−2 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(2+2i)( i)=2+ i+21i−=2 i(cid:36) (cid:95)(cid:20)(cid:10)D. 1−2 4−4 6−2 28(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(1+2i + =2i(cid:36)(cid:194)(cid:174) (cid:74)(cid:211)(cid:13)(cid:36)(cid:40)(cid:28) (cid:34) A(cid:27) = = B(cid:27) = =1 )𝑎 𝑏 C(cid:27) = 𝑎,𝑏=1 D(cid:27) = = (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)𝑎(cid:55)(cid:56)1,(cid:57)𝑏 (cid:58)−(cid:132)1(cid:13)(cid:195)(cid:13)𝑎(cid:162)(cid:150)1,(cid:42)𝑏 (cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:40)(cid:112)(cid:196)(cid:132)𝑎(cid:13)(cid:170)−1(cid:63),𝑏(cid:42)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:61)(cid:53)(cid:84)𝑎(cid:27)−1,𝑏 −1 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) R(cid:36)( + )+ i=2i(cid:36)(cid:93)(cid:112) + = =2(cid:36)(cid:53)(cid:75)(cid:10) = = (cid:27) (cid:95)(cid:20)(cid:10)A. 𝑎,𝑏∈ 𝑎 𝑏 2𝑎 𝑎 𝑏 0,2𝑎 𝑎 1,𝑏 −1 29(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:77) =1+i(cid:27)(cid:40)|i +3 |=(cid:28) (cid:34) A(cid:27)4 5 B(cid:27)4 2 𝑧 C𝑧(cid:27)2𝑧5 D(cid:27)2 2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:195)(cid:13)(cid:162)(cid:150)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:40)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:198)(cid:199)(cid:112)(cid:196)(cid:132)(cid:13)(cid:149)(cid:42)(cid:144)(cid:127)(cid:7)(cid:150)(cid:76)(cid:61)(cid:129)(cid:84)(cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:73)(cid:74) =1+i(cid:36)(cid:93)(cid:112)i +3 =i(1+i)+3( i)= i(cid:36)(cid:93)(cid:112)|i +3 |= 4+4=2 2(cid:27) (cid:95)(cid:20)(cid:10)D. 𝑧 𝑧 𝑧 1− 2−2 𝑧 𝑧 30(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:77) = + 3i(cid:36)(cid:40) =(cid:28) (cid:34) 𝑧 𝑧 −1 𝑧𝑧−1 A(cid:27) + 3i B(cid:27) 3i C(cid:27) 1 + 3i D(cid:27) 1 3i 3 3 3 3 −1 −1− − − − (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:118)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:198)(cid:199)(cid:196)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:76)(cid:61)(cid:75)(cid:53). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) = 3i = + 3i 3i)=1+3=4. +𝑧3i−1−1 ,𝑧𝑧3 (−1 )(−1− = = + i 3 3 3 𝑧 −1 (cid:95)(cid:20) (cid:10)C. − 𝑧𝑧−1 31(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:77)(cid:132)(cid:13)z(cid:87)(cid:88)i = i(cid:36)(cid:40)| |=(cid:28) (cid:34) A(cid:27)1 B(cid:27)5 ⋅𝑧C(cid:27)37−4 𝑧 D(cid:27)25 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:132)(cid:13)(cid:151)(cid:40)(cid:126)(cid:127)(cid:36)(cid:136)(cid:129)(cid:84) (cid:36)(cid:190)(cid:144)(cid:127)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:149)(cid:27) i ( i)( i)𝑧 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:188) = = = i(cid:36)(cid:95) = ( )2+( )2=5(cid:27) i i( i) 3−4 3−4 − (cid:95)(cid:20)(cid:10)B(cid:27) 𝑧 ⋅ − −4−3 |𝑧| −4 −3 32(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:77)i =1(cid:36)(cid:40) + =(cid:28) (cid:34) (1−𝑧) 𝑧 𝑧A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27)1 D(cid:27)2 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)−(cid:55)2(cid:56)(cid:123)(cid:124)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:197)−(cid:83)1(cid:61)(cid:129) (cid:36)(cid:121)(cid:122)(cid:61)(cid:129) + . 1 i𝑧 𝑧 𝑧 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:35)(cid:188) = = = i(cid:36)(cid:95) =1+i(cid:36)(cid:95) + =(1+i)+( i)=2(cid:36) i i2 (cid:95)(cid:20)(cid:10)D. 1−𝑧 − 𝑧 𝑧 𝑧 1− (cid:203)(cid:23)(cid:212)(cid:213)(cid:21) 33(cid:27)(cid:28)2024·(cid:92)(cid:214)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62) =(2,5), =( )(cid:36)(cid:90) // (cid:36)(cid:40) (cid:42)(cid:177)(cid:74) 15 (cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:101)(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:104)𝑘(cid:105)∈(cid:106)𝑅,(cid:75)𝑎 (cid:107)(cid:108)(cid:72)(cid:36)𝑏(cid:53)(cid:84)6,(cid:76)𝑘 (cid:61). 𝑎 𝑏 𝑘 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) // (cid:36) =5×6(cid:36)(cid:53)(cid:75) =15(cid:27) (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10)15(cid:27)∵𝑎 𝑏 ∴2𝑘 𝑘 1 34(cid:27)(cid:28)2024·(cid:215)(cid:216)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:152)(cid:166)(cid:206)(cid:74)1(cid:42)(cid:115)(cid:108)(cid:162) (cid:174)(cid:36)(cid:155) (cid:74)(cid:169)(cid:217) (cid:42)(cid:165)(cid:63)(cid:44)(cid:155)(cid:36) = = 2 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐸,𝐵𝐸 𝜆𝐵𝐴 + (cid:36)(cid:40) + = 4 (cid:81) (cid:74)(cid:169)(cid:217) (cid:92)(cid:42)(cid:218)(cid:155)(cid:36) (cid:74) (cid:174)(cid:155)(cid:36)(cid:40) (cid:42)(cid:175)(cid:219)(cid:177)(cid:74) 5 (cid:27) 3 18 𝜇𝐵𝐶 𝜆 𝜇 𝐹 𝐵𝐸 𝐺 𝐴𝐹 𝐴𝐹⋅𝐷𝐺 − (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:53)(cid:83)(cid:22)(cid:10)(cid:112) , (cid:74)(cid:147)(cid:220)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:169)(cid:78)(cid:126)(cid:127)(cid:129) (cid:36)(cid:76)(cid:61)(cid:75) + (cid:36)(cid:35) = (cid:36)(cid:129) , (cid:36)(cid:66)(cid:67)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:128)𝐵𝐴(cid:129)𝐵𝐶 (cid:42)(cid:175)(cid:219)(cid:177)(cid:81)(cid:53)(cid:83)(cid:203)(cid:10)(cid:221)(cid:222)(cid:104)(cid:155)(cid:36)(cid:57)(cid:58)𝐵(cid:38)𝐸(cid:39)(cid:42)(cid:103)(cid:104)𝜆(cid:126)(cid:127)𝜇(cid:129) 𝐵(cid:36)𝐹(cid:76)(cid:61)𝑘(cid:75)𝐵𝐸+ (cid:36) 𝐴 (cid:35) 𝐹𝐷 ( 𝐺 ) 1 ,0 (cid:36)(cid:129) , 𝐴𝐹 (cid:36) ⋅𝐷 (cid:66) 𝐺 (cid:67)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:126)(cid:127)(cid:129) (cid:42)(cid:175)(cid:219)(cid:177). 𝐵𝐸 𝜆 𝜇 3 𝐹 𝑎,−3𝑎 ,𝑎∈ − 𝐴𝐹𝐷𝐺 𝐴𝐹⋅𝐷𝐺 1 1 1 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:53)(cid:83)(cid:22)(cid:10)(cid:73)(cid:74) = (cid:36)(cid:76) = (cid:36)(cid:40) = + = + (cid:36) 2 ⃗ 3 ⃗ 3 1 𝐶𝐸4 𝐷𝐸 𝐶𝐸 𝐵𝐴 𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐴 𝐵𝐶 (cid:61)(cid:75) = =1(cid:36)(cid:93)(cid:112) + = (cid:81) 3 3 (cid:118)(cid:21) 𝜆 (cid:135)(cid:61)(cid:62) ,𝜇 (cid:10)| |=|𝜆 |= 𝜇 1, =0(cid:36) 𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐵𝐴⋅𝐵𝐶 1 (cid:73)(cid:74) (cid:74)(cid:169)(cid:217) (cid:92)(cid:42)(cid:218)(cid:155)(cid:36)(cid:35) = = + [0,1](cid:36) 3 𝐹 𝐵𝐸 𝐵𝐹 𝑘𝐵𝐸 𝑘𝐵𝐴 𝑘𝐵𝐶,𝑘∈ (cid:40) = + = + = 1 + (cid:36) 3 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝑘𝐵𝐸 𝑘−1 𝐵𝐴 𝑘𝐵𝐶 (cid:120)(cid:73)(cid:74) (cid:74) (cid:174)(cid:155)(cid:36)(cid:40) = + = + 1 = 1 1 + 1 (cid:36) 2 2 3 2 𝐺 𝐴𝐹 𝐷𝐺 𝐷𝐴 𝐴𝐺 −𝐵𝐶 𝐴𝐹 𝑘−1 𝐵𝐴 𝑘−1 𝐵𝐶 (cid:61)(cid:75) = 1 + 1 1 + 1 3 2 3 2 𝐴𝐹⋅𝐷𝐺 𝑘−1 𝐵𝐴 𝑘𝐵𝐶 ⋅ 𝑘−1 𝐵𝐴 𝑘−1 𝐵𝐶2 2 = 1 1 + 1 = 5 6 3 (cid:36) 2 3 2 9 5 10 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘− − 5 (cid:120)(cid:73)(cid:74) [0,1](cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:10)(cid:110) =1(cid:111)(cid:36) (cid:223)(cid:107)(cid:175)(cid:219)(cid:177) (cid:81) 18 (cid:53)(cid:83)(cid:203) 𝑘 (cid:10) ∈ (cid:112)B(cid:74)(cid:103)(cid:104)(cid:224)(cid:155)(cid:221) 𝑘 (cid:80)(cid:101)(cid:125)(cid:99) 𝐴 (cid:164) 𝐹 (cid:103) ⋅𝐷 (cid:104) 𝐺 (cid:222)(cid:36)(cid:86)(cid:161)(cid:93)(cid:106) − (cid:36) (cid:40) ( ) (0,0) (0,1) ( ) 1 ,1 (cid:36) 3 𝐴 −1,0 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 −1,1 ,𝐸 − (cid:61)(cid:75) =( ), =(0,1), = 1 ,1 (cid:36) 3 𝐵𝐴 −1,0 𝐵𝐶 𝐵𝐸 − = 1 4 (cid:73)(cid:74) = + =( )(cid:36)(cid:40) 3(cid:36)(cid:93)(cid:112) + = (cid:81) =1 3 −𝜆 − 𝐵𝐸 𝜆𝐵𝐴 𝜇𝐵𝐶 −𝜆,𝜇 𝜆 𝜇 (cid:73)(cid:74)(cid:155) (cid:152)(cid:169)(cid:217) = 1 ,0𝜇(cid:92)(cid:36)(cid:35) ( ) 1 ,0 (cid:36) 3 3 𝐹 𝐵𝐸:𝑦 −3𝑥,𝑥∈ − 𝐹 𝑎,−3𝑎 ,𝑎∈ − (cid:90) (cid:74) (cid:174)(cid:155)(cid:36)(cid:40) 3 (cid:36) 2 2 𝑎−1 𝐺 𝐴𝐹 𝐺 ,− 𝑎 (cid:61)(cid:75) =( + ), = 1 3 (cid:36) 2 2 𝑎+ 𝐴𝐹 𝑎 1,−3𝑎 𝐷𝐺 ,− 𝑎−1 2 (cid:40) = ( 1)2 +( ) 3 =5 + 2 3 (cid:36) 2 2 5 10 𝑎+ (cid:90) 𝐴𝐹⋅𝐷𝐺 1 ,0 (cid:36)(cid:93)(cid:112)(cid:110) −3 = 𝑎 1− (cid:111)(cid:36) 𝑎−1 (cid:223) 𝑎 (cid:107)(cid:175)(cid:219) − (cid:177)(cid:74) 5 (cid:81) 3 3 18 𝑎∈ − 𝑎 − 𝐴𝐹⋅𝐷𝐺 − 4 5 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10) (cid:81) . 3 18 − 2 35(cid:27)(cid:28)2024·(cid:92)(cid:214)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:210)(cid:13) (cid:36)(cid:194)(cid:211)(cid:225)(cid:74)1(cid:36)(cid:90) + = ( )(cid:36)(cid:40)(cid:211)(cid:13) (cid:74) 2 (cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:35) =1+ i, R(cid:90) 0(cid:36) 𝑧 (cid:99)(cid:131)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:197) 𝑧 (cid:83)(cid:126)𝑧 (cid:127) 𝑚 (cid:36)𝑚(cid:190)∈(cid:57)𝑅(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:44)(cid:178) 𝑚 (cid:76)(cid:61)(cid:75)(cid:107)(cid:70)(cid:134). (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:35)𝑧=1+𝑏i(cid:36)𝑏∈ 𝑏(cid:90)≠ 0. (cid:40) + 2 =1+ i 𝑧 + 2 = 𝑏 2𝑏3∈ + 𝑅 𝑏3 ≠ i= (cid:36) 1 i 1 2 1 2 𝑏 + 𝑏 −𝑏 𝑧 𝑧 𝑏 2 3 = +𝑏 +𝑏 +𝑏 𝑚 (cid:36) 1 2 (cid:36)(cid:53)(cid:75) =2(cid:36) 𝑏3+ =0 1+𝑏2 𝑚 ∵𝑚∈𝑅 ∴ 𝑏 −𝑏 𝑚 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10)2. +𝑏36(cid:27)(cid:28)2024·(cid:215)(cid:216)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)i(cid:37)(cid:210)(cid:13)(cid:24)(cid:185)(cid:36)(cid:132)(cid:13) 5+i 5 i = 5i (cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:226)(cid:227)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:133)(cid:83)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:40)(cid:144)(cid:127)(cid:76)(cid:61)(cid:75). ⋅ −2 7− (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) 5+i 5 i =5+ 5i 5i+2= 5i. (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10) 5i. ⋅ −2 −2 7− 37(cid:27)(cid:28)20237·(cid:96)−(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) (cid:36) (cid:87)(cid:88)| |= 3(cid:36)| + |=| 2 |(cid:36)(cid:40)| |= 3 (cid:27) (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:83)(cid:22)(cid:10)(cid:57)(cid:58)(cid:21)(cid:135)(cid:66)(cid:67)(cid:38)(cid:39)𝑎(cid:13)(cid:39)𝑏(cid:59)(cid:42)(cid:126)𝑎−(cid:127)𝑏(cid:128)(cid:126)(cid:127)(cid:129)𝑎(cid:53)(cid:81)𝑏(cid:83)(cid:203)(cid:10)𝑎(cid:228)−𝑏(cid:229)(cid:230) =𝑏 (cid:36)(cid:66)(cid:67)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:126) (cid:127)(cid:128)(cid:126)(cid:127)(cid:129)(cid:53). 𝑐 𝑎−𝑏 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:83)(cid:22)(cid:10)(cid:73)(cid:74)| + |=| 2 |(cid:36)(cid:76) + 2 = 2 2 (cid:36) 2 𝑎 𝑏 2 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 (cid:40) 2+2 + =4 2 + (cid:36)(cid:191)(cid:15)(cid:75) 2 =0(cid:36) (cid:120) 𝑎 (cid:73)(cid:74)| 𝑎⋅𝑏 |= 𝑏 3(cid:36)(cid:76) 𝑎 −4𝑎⋅2𝑏 =3 𝑏 (cid:36) 𝑎 −2𝑎⋅𝑏 (cid:40) 2 𝑎−𝑏 + 2 = 2 = 𝑎 3 − (cid:36) 𝑏 (cid:93)(cid:112)| |= 3. (cid:83)𝑎(cid:203)−(cid:10)2(cid:35)𝑎⋅𝑏= 𝑏 (cid:36)𝑏(cid:40)| |= 3, +𝑏 = +2 ,2 =2 + (cid:36) 𝑐 𝑎−𝑏 2𝑐 𝑎 2𝑏 𝑐 𝑏 𝑎−𝑏 𝑐2 𝑏 2 (cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:61)(cid:75)(cid:10) +2 = 2 + (cid:36)(cid:40) 2+4 +4 =4 2+4 + (cid:36) (cid:191)(cid:15)(cid:75)(cid:10) 2= 𝑐2 (cid:36)(cid:76) 𝑏 | |=| | 𝑐 = 𝑏 3. 𝑐 𝑐⋅𝑏 𝑏 𝑐 𝑐⋅𝑏 𝑏 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)𝑐(cid:10) 3 𝑏. 𝑏 𝑐 5 14i 38(cid:27)(cid:28)2023·(cid:215)(cid:216)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)i(cid:37)(cid:210)(cid:13)(cid:24)(cid:185)(cid:36)(cid:16)(cid:193) (cid:42)(cid:66)(cid:231)(cid:74) 4+i (cid:27) 2 3i + (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:123)(cid:124)(cid:132)(cid:13)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:40)(cid:36)(cid:44)(cid:232)(cid:44)(cid:233)(cid:189)+(cid:111)(cid:133)(cid:112) i(cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:127)(cid:194)(cid:126)(cid:127)(cid:66)(cid:231)(cid:76)(cid:61). 5 14i (5 14i)( i) 52 13i 2−3 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:61)(cid:75) = = =4+i. 2 3i (2 3i)( i) 13 + + 2−3 + (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10)4+i. + + 2−3 39(cid:27)(cid:28)2022·(cid:215)(cid:216)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:152) (cid:174)(cid:36) = , = (cid:36)D(cid:37)AC(cid:174)(cid:155)(cid:36) =2 (cid:36)(cid:234)(cid:124) , (cid:105)(cid:106) (cid:74) 3 2 △𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝑎𝐶𝐵 𝑏 𝐶𝐵 𝐵𝐸 𝑎𝑏 𝐷𝐸 1 (cid:36)(cid:77) (cid:36)(cid:40) (cid:42)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:74) . 2 6 𝜋 𝑏− 𝑎 𝐴𝐵⊥𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:83)(cid:22)(cid:10)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:235)(cid:83)(cid:112)(cid:196)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:13)(cid:133)(cid:76)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:84) (cid:36)(cid:112) , (cid:74)(cid:147)(cid:220)(cid:36)(cid:105)(cid:106)(cid:84) , (cid:36)(cid:118) (cid:61)(cid:75)3 2+ 2=4 (cid:36)(cid:190)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:204)(cid:164)(cid:7)(cid:150)(cid:112)(cid:196)(cid:147)(cid:148)(cid:45)(cid:63)(cid:150)(cid:76)𝐷(cid:61)𝐸(cid:129)(cid:84)𝑎(cid:27)𝑏 𝐴𝐵𝐷𝐸 𝐴𝐵⊥𝐷𝐸 (cid:83)(cid:203)(cid:10)𝑏(cid:112)(cid:155)𝑎 (cid:74)(cid:224)𝑏(cid:155)⋅(cid:221)𝑎 (cid:80)(cid:101)(cid:125)(cid:99)(cid:164)(cid:103)(cid:104)(cid:222)(cid:36)(cid:35) (cid:36)(cid:118) (cid:61)(cid:75)(cid:155) (cid:42)(cid:236)(cid:237)(cid:74)(cid:112) (cid:74)(cid:238)𝐸(cid:239)(cid:36)(cid:112) =2(cid:74)(cid:167)(cid:168)(cid:42)(cid:238)(cid:36)(cid:108)(cid:72)(cid:74) 𝐸(+0,10))2,𝐵+(1,02)=,𝐶4(3(cid:36),(cid:76)0)(cid:61),𝐴((cid:57)𝑥,(cid:58)𝑦)(cid:156)(cid:157)(cid:78)𝐴𝐵(cid:182)⊥(cid:61)𝐷(cid:62)𝐸(cid:36)(cid:110)(cid:90)(cid:240)𝐴(cid:110) (cid:146) 𝑀(cid:170)((cid:171)−(cid:111)1,0(cid:36)) (cid:175)(cid:176)(cid:36)(cid:76)𝑟 (cid:129)(cid:84)(cid:27) (𝑥 𝑦 𝐶𝐴 ⊙𝑀 ∠𝐶(cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:108)(cid:83)(cid:22)(cid:10) 3 1 = = (cid:36) = = , ) ( )=0(cid:36) 2 2 𝐷𝐸 𝐶𝐸−𝐶𝐷 𝑏− 𝑎 𝐴𝐵 𝐶𝐵−𝐶𝐴 𝑏−𝑎𝐴𝐵⊥𝐷𝐸⇒(3𝑏−𝑎 ⋅ 𝑏−𝑎 | | | | 3 2+ 2=4 cos = = 3 2 2 2 3| || | = 3(cid:36)(cid:110)(cid:90)(cid:240)(cid:110) = 3 (cid:111)(cid:223)(cid:63)(cid:9)(cid:36)(cid:122) | 𝑎 | ⋅ | 𝑏 | 4 𝑏 | + || 𝑎 | 4| | 𝑎 | | 𝑏 2 → → 𝑏 𝑎 𝑎⋅𝑏 ⇒ ∠𝐴𝐶𝐵 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ≥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 0< < (cid:36)(cid:93)(cid:112) (0, ](cid:27) 6 𝜋 ∠𝐴𝐶𝐵 π ∠𝐴𝐶𝐵∈ 3 1 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10) (cid:81) (cid:27) 2 2 6 𝜋 𝑏− 𝑎 (cid:108)(cid:83)(cid:203)(cid:10)(cid:86)(cid:161)(cid:93)(cid:106)(cid:36)(cid:221)(cid:80)(cid:103)(cid:104)(cid:222)(cid:10) 3 (cid:36) = ), = (cid:36) 2 2 𝑥+ 𝑦 𝐸(0,0),𝐵(1,0),𝐶(3,0),𝐴(𝑥,𝑦) 𝐷𝐸 (− ,− 𝐴𝐵 (1−𝑥,−𝑦) 3 + 2 =0 +1)2+ 2=4(cid:36)(cid:93)(cid:112)(cid:155) (cid:42)(cid:236)(cid:237)(cid:37)(cid:112) (cid:74)(cid:238)(cid:239)(cid:36)(cid:112) =2(cid:74)(cid:167)(cid:168)(cid:42) 2 2 𝑥+ 𝑦 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵⇒( )(𝑥−1) ⇒(𝑥 𝑦 𝐴 𝑀(−1,0) 𝑟 2 1 (cid:238)(cid:36)(cid:110)(cid:90)(cid:240)(cid:110) (cid:146) (cid:170)(cid:171)(cid:111)(cid:36) (cid:175)(cid:176)(cid:36)(cid:119)(cid:111)sin = = = = (cid:27) 4 2 6 𝑟 𝜋 𝐶𝐴 ⊙𝑀 ∠𝐶 𝐶 𝐶𝑀 ,∠𝐶 3 1 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10) (cid:81) (cid:27) 2 2 6 𝜋 𝑏− 𝑎 2 40(cid:27)(cid:28)2022·(cid:208)(cid:209)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:155)P(cid:152)(cid:24)(cid:185)(cid:238)(cid:42)(cid:153)(cid:131)(cid:115)(cid:241)(cid:166)(cid:162) (cid:42)(cid:166) (cid:92)(cid:36)(cid:40) 2+ + + 2 1 2 8 1 2 1 2 8 (cid:42)(cid:223)(cid:177)(cid:242)(cid:243)(cid:37) [12+2 2,16] (cid:27) 𝐴 𝐴 ⋯𝐴 𝐴 𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝐴 ⋯ 𝑃𝐴 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:115)(cid:241)(cid:166)(cid:162)(cid:42)(cid:66)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:36)(cid:44)(cid:158)(cid:112)(cid:238)(cid:239)(cid:74)(cid:224)(cid:155)(cid:36) (cid:93)(cid:152)(cid:99)(cid:169)(cid:74) (cid:247)(cid:36) (cid:93)(cid:152)(cid:99)(cid:169)(cid:74) (cid:247)(cid:221) 7 3 5 1 (cid:80)(cid:101)(cid:125)(cid:99)(cid:164)(cid:103)(cid:104)(cid:222)(cid:36)(cid:76)(cid:61)(cid:129)(cid:84)(cid:248)(cid:249)(cid:155)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:36)(cid:35) (cid:36)(cid:190)(cid:57)(cid:58)𝐴(cid:101)𝐴(cid:125)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:42)(cid:103)𝑥(cid:104)(cid:144)(cid:127)𝐴(cid:7)𝐴(cid:150)(cid:76)(cid:61)(cid:75)(cid:107)𝑦 2+ 1 2+ + 2=8 2+ 2 +8(cid:36)(cid:142)(cid:143)(cid:123)(cid:124)cos22𝑃.5(𝑥,𝑦) 1(cid:76)(cid:61)(cid:53)(cid:84)(cid:27) 𝑃𝐴 2 8 ∘ 𝑃𝐴 ⋯ 𝑃𝐴 𝑥 𝑦 ≤|𝑂𝑃|≤(cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:112)(cid:238)(cid:239)(cid:74)(cid:224)(cid:155)(cid:36) (cid:93)(cid:152)(cid:99)(cid:169)(cid:74) (cid:247)(cid:36) (cid:93)(cid:152)(cid:99)(cid:169)(cid:74) (cid:247)(cid:221)(cid:80)(cid:101)(cid:125)(cid:99)(cid:164)(cid:103)(cid:104)(cid:222)(cid:36)(cid:86)(cid:161)(cid:93)(cid:106)(cid:10) 7 3 5 1 𝐴 𝐴 𝑥 𝐴 𝐴 𝑦 (cid:40) (0,1), 2, 2 , (1,0), 2 2 , 2 2 , , 2, 2 (cid:36)(cid:35) ,(cid:65)(cid:37) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2 2 2 2 2 2 𝐴2+ 2𝐴 + + 2𝐴 =8 2 𝐴 + 2 , + − 8(cid:36) 𝐴 (0,−1),𝐴 − ,− 𝐴 (−1,0)𝐴 − 𝑃(𝑥,𝑦) 1 2 8 (cid:73) 𝑃𝐴 (cid:74)co 𝑃 s2 𝐴 2.5 ⋯ 𝑃𝐴 1(cid:36) 𝑥 (cid:93)(cid:112) 1𝑦cos45 2+ 2 1(cid:36)(cid:95) 2+ 2+ + 2(cid:42)(cid:223)(cid:177)(cid:242)(cid:243)(cid:37)[12+2 2,16]. 2 ∘ 1 2 8 ∘ + ≤|𝑂𝑃|≤ ≤𝑥 𝑦 ≤ 𝑃𝐴 𝑃𝐴 ⋯ 𝑃𝐴 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10)[12+2 2,16](cid:27) 41(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)(cid:38)(cid:39) = = +1)(cid:27)(cid:77) (cid:36)(cid:40) = 3 (cid:27) 4 𝑎 (𝑚,3),𝑏 (1,𝑚 𝑎⊥𝑏 𝑚 − (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:99)(cid:131)(cid:118)(cid:38)(cid:39)(cid:98)(cid:99)(cid:42)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:129)(cid:53)(cid:76)(cid:61). 3 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:118)(cid:21)(cid:135)(cid:62)(cid:10) = + +1)=0(cid:36)(cid:53)(cid:75) = . 4 𝑎⋅𝑏 𝑚 3(𝑚 𝑚 − 3 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10) . 4 − 42(cid:27)(cid:28)2022·(cid:96)(cid:97)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:38)(cid:39) (cid:36) (cid:42)(cid:204)(cid:164)(cid:42)(cid:159)(cid:160)(cid:177)(cid:74) 1 (cid:36)(cid:90)| |=1(cid:36)| |=3(cid:36)(cid:40) 2 + = 11 (cid:27) 3 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ⋅𝑏 1 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:35) (cid:146) (cid:42)(cid:204)(cid:164)(cid:74) (cid:36)(cid:145)(cid:21)(cid:135)(cid:61)(cid:75)cos = (cid:36)(cid:190)(cid:57)(cid:58)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42)(cid:139)(cid:140)(cid:129)(cid:84) (cid:36)(cid:175)(cid:143)(cid:57)(cid:58)(cid:13)(cid:39)(cid:59)(cid:42) 3 𝑎 𝑏 𝜃 𝜃 𝑎⋅𝑏 (cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:144)(cid:127)(cid:61)(cid:75)(cid:27) 1 1 (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56)(cid:53)(cid:10)(cid:35) (cid:146) (cid:42)(cid:204)(cid:164)(cid:74) (cid:36)(cid:73)(cid:74) (cid:146) (cid:42)(cid:204)(cid:164)(cid:42)(cid:159)(cid:160)(cid:177)(cid:74) (cid:36)(cid:76)cos = (cid:36) 3 3 𝑎 𝑏 𝜃 𝑎 𝑏 𝜃 1 (cid:120)| |=1(cid:36)| |=3(cid:36)(cid:93)(cid:112) =| | | |cos =1×3× =1(cid:36) 3 (cid:93)(cid:112)𝑎 2 + 𝑏 =2 + 𝑎⋅𝑏 2=2 𝑎 ⋅ 𝑏 +| | 𝜃 2=2×1+32=11(cid:27) (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)𝑎 (cid:10)𝑏11⋅(cid:27)𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑏 i 43(cid:27)(cid:28)2022·(cid:215)(cid:216)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:117)(cid:62)i(cid:37)(cid:210)(cid:13)(cid:24)(cid:185)(cid:36)(cid:16)(cid:193) (cid:42)(cid:66)(cid:231)(cid:74) i (cid:27) 1 2i 11−3 (cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:132)(cid:13)(cid:195)(cid:13)(cid:162)(cid:150)(cid:42)(cid:126)(cid:127)(cid:83)(cid:40)(cid:76)(cid:61)(cid:53)(cid:84)(cid:27)+ 1−5 i ( i)(1 2i) i (cid:52)(cid:53)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:56) = = = i(cid:27) 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 11−3 11−3 − 11−6−25 (cid:95)(cid:70)(cid:134)(cid:74)(cid:10) + i(cid:27) + − 1−5 1−5