文档内容
第五章 三角函数与解三角形综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
sinα−cosα
1．（5分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知tanα=−2，则 =（ ）
3cosα+sinα
1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
【解题思路】利用弦化切方法即可直接求解.
sinα−cosα tanα−1 −2−1
【解答过程】由tanα=−2得 = = =−3.
3cosα+sinα 3+tanα 3+(−2)
故选：A.
5xcosx
2．（5分）（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数f (x)= +sinx的大致图象为（ ）
e|x|
A． B．C． D．
π
( )
【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当x∈ 0, 时，f (x)>0排除A，B，即可求解.
2
5xcosx
【解答过程】由题意，函数f (x)= +sinx的定义域为(−∞,+∞)，关于原点对称，
e|x|
5(−x)cos(−x) −5xcosx
且f (−x)= +sin(−x)= −sinx=−f (x)所以函数f (x)是奇函数，其图象关于
e|−x| e|x|
原点中心对称，排除C；
π
( )
又由当x∈ 0, 时，f (x)>0排除A，B;
2
故选：D．
3．（5分）（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设
置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．(55√3 )
+65 m
2
【解题思路】以轴心O为坐标原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数
π π
f (x)=55sin( x− )+65，令t=10时，即可求解.
15 2
【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直
角坐标系，如图所示，π
设函数f (x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|≤ )表示游客离底面的高度，
2
因为摩天轮的最高点距离地面为120m，直径为110m，且转一周大约需要30min，
2π π
周期T=30，A+b=120,−A+b=10，所以A=55,b=65,ω= = ，
T 15
π
即f (x)=55sin( x+φ)+65，
15
π
当t=0min时，游客在点P(0,−55)，其中以OP为终边的角为− ，
2
π π
所以f (x)=55sin( x− )+65，
15 2
2π π π
当t=10时，可得f (10)=55sin( − )+65=55sin +65=92.5m
3 2 6
所以，摩天轮的座舱t=10后距离地面高度约为92.5m.
故选：A.
π π
4．（5分）（2025·福建厦门·一模）已知0<α< ，若tan ( α+ )=2(sinα+cosα)，则sin2α=（ ）
2 4
1 1 3 4
A． B． C． D．
3 2 4 5
π
【解题思路】本题运用两角和的正切公式转化tan ( α+ ) ，再结合同角三角函数的基本关系化简式子，
4
结合已知条件判断式子特征以简化等式，最后通过对常见三角恒等式的变形运用，建立与sin2α的联系从
而得出结果即可.
π 1+tanα
【解答过程】由两角和的正切公式得tan ( α+ )= ，
4 1−tanα
cosα sinα
+
1+tanα cosα cosα
由同角三角函数的基本关系得 = ，
1−tanα cosα sinα
−
cosα cosαsinα+cosα
cosα sinα+cosα π sinα+cosα
= = ，故tan ( α+ )= ，
cosα−sinα cosα−sinα 4 cosα−sinα
cosα
π sinα+cosα
因为tan ( α+ )=2(sinα+cosα)，所以 =2(sinα+cosα)，
4 cosα−sinα
π
因为0<α< ，所以sinα>0,cosα>0，
2
1
故sinα+cosα≠0，则得到 =2，
cosα−sinα
1 1
解得cosα−sinα= ，故(cosα−sinα) 2= ，
2 4
而 ，
(cosα−sinα) 2=cos2α−2×cosα×sinα+sin2α=1−sin2α
1 3
则1−sin2α= ，解得sin2α= ，故C正确.
4 4
故选：C.
5．（5分）（2024·陕西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若
bcosC+ccosB=b，且a=ccosB，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
π
【解题思路】由正弦定理和sin A=sin(B+C)得到a=b，cosC=0，求出C= ，得到答案.
2
【解答过程】bcosC+ccosB=b⇒sinBcosC+sinCcosB=sinB⇒sin(B+C)=sinB，
即sin A=sinB，故a=b，
a=ccosB⇒sin A=sinCcosB⇒sin(B+C)=sinCcosB
⇒sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB⇒sinBcosC=0，
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，故cosC=0，
π
因为C∈(0,π)，所以C= ，
2
故△ABC为等腰直角三角形.
故选：D.
6．（5分）（2024·广东珠海·一模）函数f (x)=2√3sin2(ωx)+sin ( 2ωx+
2π
) ，其中ω>0，其最小正
3
周期为π，则下列说法错误的是（ ）
A．ω=1π
( )
B．函数f (x)图象关于点 ,√3 对称
3
5π
C．函数f (x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为
12
[ π]
D．若x∈ 0, ，则函数f(x)的最大值为√3+1
2
π
( )
【解题思路】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求ω判断A，验证 ,√3 是否为函数f (x)
3
的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D.
【解答过程】f (x)=2√3sin2(ωx)+sin ( 2ωx+
2π
)
3
2π 2π 1 √3
=√3(1−cos2ωx)+sin2ωxcos +cos2ωxsin =√3− sin2ωx− cos2ωx
3 3 2 2
π
=√3−sin ( 2ωx+ ) .
3
因为ω>0，f (x)的最小正周期为π，
2π
所以T= =π，解得ω=1，故A选项正确；
2ω
π
所以，f (x) =√3−sin ( 2x+ ) ，
3
π π π
因为2× + =π，所以，函数f (x)图象关于点 ( ,√3 ) 对称，B选项正确；
3 3 3
π
将函数图象向右移φ(φ>0)个单位后可得函数y=√3−sin ( 2x−2φ+ ) 的图象，
3
π
因为y=√3−sin ( 2x−2φ+ ) 的图象关于y轴对称，
3
π π π kπ
所以−2φ+ = +kπ,k∈Z,即φ=− − ,k∈Z，
3 2 12 2
5π
又φ>0，所以φ的最小值为 ，C选项正确；
12
π π π 4π
若0≤x≤ ，则 ≤2x+ ≤ ，
2 3 3 3
√3 π 3√3
所以− ≤sin ( 2x+ ) ≤1，故−1+√3≤f (x)≤ ，
2 3 2π 3√3
所以当x= 时，函数f (x)取最大值，最大值为 ，D错误.
2 2
故选：D.
7．（5分）（2025·陕西咸阳·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=√3，
B−C 1 √6
sin2 +cosBcosC= ，sinB+sinC= ，则△ABC的面积为（ ）
2 4 2
√3 3√3 √3
A． B． C．√3 D．
2 2 4
π
【解题思路】由已知及三角恒等变换可得A= ，再由余弦定理及正弦边角关系得 (b+c) 2−3bc=3、
3
b+c=√6，即可得bc=1，最后应用三角形面积公式求面积.
B−C 1−cos(B−C) 1
【解答过程】由sin2 +cosBcosC= +cosBcosC= ，
2 2 4
1 cosBcosC−sinBsinC 1 1
所以 + = ，即cos(B+C)=cos(π−A)=−cosA=− ，
2 2 4 2
1 π
所以cosA= ，A∈(0,π)，则A= ，
2 3
由 ，
a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c) 2−3bc=3
bsin A csin A b+c √6
又sinB+sinC= + = = ，则b+c=√6，
a a 2 2
1 √3
所以6−3bc=3⇒bc=1，则S = bcsin A= .
△ABC 2 4
故选：D.
π
8．（5分）（2024·天津和平·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ) ( x∈R,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如下
2
图所示，则以下说法中，正确的为（ ）
π π
A．f (x)=sin ( x− )
4 4
√2
B．f (6)=
2√2
C．不等式f (x)≤ 的解集为[8k−6,8k](k∈Z)
2
D．函数f (x)的图象的对称中心为(4k+1,0)(k∈Z)
【解题思路】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来.
T 2π π
【解答过程】由图象可知， =3−1=2，所以T=8，所以ω= = ，
4 8 4
π π
所以f (x)=sin( x+φ ) ，将(1,1)代入得：sin( +φ )=1，
4 4
π π π π
所以 +φ= +2kπ,k∈Z，由于|φ|< ，所以φ= ，
4 2 2 4
π π
所以f (x)=sin ( x+ ) ，故A错误；
4 4
7π π √2
f (6)=sin =−sin =− ，故B错误；
4 4 2
√2 π π √2 3π π π 9π
由f (x)≤ ，所以sin ( x+ ) ≤ ，所以 +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ，
2 4 4 2 4 4 4 4
√2
解得2+8k≤x≤8+8k,k∈Z，即不等式f (x)≤ 的解集为[8k−6,8k](k∈Z)，故C正确；
2
π π
令 x+ =kπ，解得x=−1+4k，所以f (x)的图象的对称中心为(4k−1,0)(k∈Z)，故D错误.
4 4
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2025·贵州安顺·模拟预测）对于任意角α,β，下列结论正确的是（ ）
A．
(cosα+cosβ) 2+(sinα+sinβ) 2=2−2cos(α−β)
B．sin(α+β)sin(α−β)=sin2α−sin2β
α+β α−β
C．sinα−sinβ=2cos sin
2 2
1
D．cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α−β)]
2
【解题思路】利用同角的三角函数平方关系，正弦、余弦的和差角公式，对各选项逐一分析判断即得.
【解答过程】对于A，
(cosα+cosβ) 2+(sinα+sinβ) 2
=cos2α+2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β=2+2cos(α−β)，故A错误；
对于B，sin(α+β)sin(α−β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ−cosαsinβ)
=sin2αcos2β−cos2αsin2β，故B错误；
(α+β α−β) (α+β α−β)
对于C，sinα−sinβ=sin + −sin − ，
2 2 2 2
α+β α−β α+β α−β ( α+β α−β α+β α−β)
=sin cos +cos sin − sin cos −cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
α+β α−β
=2cos sin ，故C正确；
2 2
1
对于D，因为 [cos(α+β)+cos(α−β)]
2
1
= (cosαcosβ−sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ)=cosαcosβ，故D正确，
2
故选：CD.
π
10．（6分）（2025·陕西咸阳·一模）已知函数f (x)=sin ( ωx+ )+acosωx(ω>0)的最小值为−√3，且
6
过点( π √3)，其部分图象如图所示，将 的图象向左平移π个单位长度得函数 的图象，则
− ,− f (x) g(x)
4 2 6
（ ）．
2π π
A．f (x)的最小正周期为 B．f
( )=0
3 6
C．g(x)为偶函数 D．g(x)为奇函数
π
【解题思路】根据已知函数性质及图象求得f (x)=√3sin(2x− )判断A、B；再由图象平移得到g(x)的
3
解析式判断C、D.π √3 1
【解答过程】由f (x)=sin ( ωx+ )+acosωx= sinωx+( +a)cosωx，
6 2 2
又函数最小值为 ，则√ √3 2 1 2 ，故 ，
−√3 ( ) +( +a) =√3 a2+a+1=3
2 2
所以 ，可得 或 ，
a2+a−2=(a+2)(a−1)=0 a=−2 a=1
1 1
由图知f (0)= +a<0⇒a<− ，故a=−2，
2 2
√3 3 π
所以f (x)= sinωx− cosωx=√3sin(ωx− )，
2 2 3
由 f ( − π )=√3sin(− ωπ − π )=− √3，则 sin( ωπ + π )= 1，且点( − π ,− √3)在递减区间，
4 4 3 2 4 3 2 4 2
ωπ π 5π
所以 + = +2kπ,k∈Z，可得ω=2+8k,k∈Z，
4 3 6
T π π
又 = > ，则ω<4，且ω>0，故ω=2，
2 ω 4
π π π π
所以f (x)=√3sin(2x− )，则T=π，f ( )=√3sin(2× − )=0，A错、B对；
3 6 6 3
π
g(x)=f ( x+ )=√3sin(2x)为奇函数，C错、D对.
6
故选：BD.
11．（6分）（2024·浙江·三模）已知 △ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
2 A+C
a⋅sin2 =b⋅sin A，下列结论正确的是（ ）
√3 2
π
A．B=
3
B．若 a=4，b=5 ，则 △ABC 有两解
√3
C．当a−c= b时， △ABC 为直角三角形
3
√3
D．若 △ABC 为锐角三角形，则 cosA+cosC 的取值范围是( ,1]
2
【解题思路】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断√3 π π
B；通过余弦定理及a−c= b可得a=2c或c=2a，即可判断C；通过求A的取值范围 0 c=2+√13 △ABC
√3 b2
对于C，因为a−c= b，两边平方得a2−2ac+c2= ，
3 3
由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac，
由两式消b2得，2a2−5ac+2c2=0，解得a=2c或c=2a，
π π
由B= ，a=2c，b=√3c解得∠A= ，
3 2
π π
由B= ，c=2a，b=√3a解得∠C= ;
3 2
故△ABC为直角三角形，故C正确；
π
对于D，因为△ABC为锐角三角形，且B= ，
3
所以¿，
2π 1 √3 π
即cosA+cosC=cosA+cos( −A)= cosA+ sin A=sin(A+ )，
3 2 2 6
π π 2π π √3
所以A+ ∈( , )，所以sin(A+ )∈( ,1]，故D正确.
6 3 3 6 2故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
π
12．（5分）（2025·浙江温州·模拟预测）若角α的终边逆时针旋转 后经过点P(−3,4) ，则
3
π 3
sin ( α− )= ．
6 5
π 4 π 3
【解题思路】根据三角函数的定义可得sin ( α+ )= ，cos ( α+ )=− ，即可根据诱导公式求解.
3 5 3 5
π 4 π 3
【解答过程】由题意可知sin ( α+ )= ，cos ( α+ )=− ，
3 5 3 5
π π π π 3
故sin ( α− )=sin ( a+ − )=−cos ( a+ )= ，
6 3 2 3 5
3
故答案为： .
5
13．（5分）（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁
式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所
示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的
正前方走了38m到达点B处，此时测得塔顶D的仰角为75°，据此可估计海宝塔的高度约为 53.6 m.（计
算结果精确到0.1）
【解题思路】如图，由三角形的外角和可得∠ADB=30°，进而求出BD，设DG=AG=xm，利用勾股定
理求出DG，即可求出DC.
【解答过程】如图，设海宝塔塔底中心为点C，AB与CD交于点G，
过点B作BH⊥AD于点H，则∠AGD=90°,∠AHB=∠DHB=90°，由题意知，AE=BF=CG=1.73m，∠DAG=45°,∠DBG=75°,AB=38m，
所以∠ADG=90−∠DAG=45°=∠DAG，则DG=AG，
√2
在Rt△ABH中，BH=ABsin∠DAG=38× =19√2m，
2
又∠DBG是△ABD的外角，即有∠DBG=∠DAG+∠ADB，
所以∠ADB=∠DBG−∠DAG=30°，
在Rt△BDH中，BD=2BH=38√2m，设DG=AG=xm，则BG=(x−38)m，
在Rt△BDG中，由勾股定理得BG2+DG2=BD2，
即 ，整理得 ，解得 或 （舍），
(x−38) 2+x2=(38√2) 2 x2−38x−722=0 x=19+19√3 19−19√3
所以DG=x≈51.908m，所以CD=DG+CG≈51.908+1.73≈53.6m，
即海宝塔的高度为53.6m.
故答案为：53.6.
π π
( )
14．（5分）（2024·江苏南京·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间 , 上单调，
4 2
且满足
f
( π )=0 ，若函数
f (x)
在区间[π
,
11π )上恰有5个零点，则
ω
的取值范围为 (8
,3
] .
3 3 6 3
【解题思路】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得ω的取值范围.
【解答过程】不妨设函数f (x)的周期为T，
π π π π T π
( )
因为f (x)在区间 , 上单调，可得 − ≤ ，解得T≥ ；
4 2 2 4 2 2
π π π T π π T 2π
又f
( )=0，可得
− ≤ 且 − ≤ ，解得T≥ ；
3 2 3 4 3 4 4 3
[π 11π ) 4T 11π π 5T 3π 3π
又f (x)在区间 , 上恰有5个零点，所以 < − ≤ ，解得 ≤T<
3 6 2 6 3 2 5 42π 3π 2π 2π 3π
综上可得 ≤T< ，所以 ≤ < ，
3 4 3 ω 4
8 (8 ]
解得 <ω≤3，即ω的取值范围为 ,3 .
3 3
(8 ]
故答案为： ,3 .
3
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·陕西榆林·三模）化简下列各式
(1)
sin50°(1+√3tan10°)
π
1−tan2(
−α
)
4
(2) ;
π
1+tan2(
−α
)
4
π π
(3)sin2( α− )+sin2( α+ ) −sin2α；
6 6
( α α)
(1+sinα+cosα) sin −cos
(4) 2 2 .
(π<α<2π)
√2+2cosα
【解题思路】（1）利用切化弦、辅助角公式、诱导公式来求解即可；
（2）利用切化弦，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可；
（3）利用二角的降次升倍公式，再利用两角和差公式求解即可；
（4）利用二倍角公式和半角公式求解即可.
【解答过程】（1） 2 (1 cos10°+ √3 sin10°)
cos10°+√3sin10° 2 2
sin50°(1+√3tan10°)=sin50° =sin50°
cos10° cos10°
=sin(90°−40°)
2sin(30°+10°)
=cos40°
2sin40°
=
sin800
=1 ;
cos(90°−80°) sin80° sin800
π
sin2(
−α
)
4
1−
π π π π π
1−tan2(
−α
) cos2(
−α
) cos2(
−α
) −sin2(
−α
)
cos2
(
−α
)
4 4 4 4 4
（2） = = =
π π π π 1
1+tan2(
−α
) sin2(
−α
) cos2(
−α
)+sin2(
−α
)
4 4 4 4
1+
π
cos2(
−α
)
4π
=cos ( −2α )=sin2α;
2
π π
1−cos2 ( α− ) 1−cos2 ( α+ )
（3） π π 6 6
sin2( α− )+sin2( α+ ) −sin2α= + −sin2α
6 6 2 2
=1−sin2α− 1[ cos ( 2α− π )+cos ( 2α+ π )] =cos2α− 1 ( 2cos2αcos π )
2 3 3 2 3
1 1 1
=cos2α− cos2α=cos2α− (2cos2α−1)= ;
2 2 2
(1+sinα+cosα) ( sin α −cos α) (1+2sin α cos α +2cos2 α −1) ( sin α −cos α)
2 2 2 2 2 2 2
（4） =
√2+2cosα
√ 2+2 ( 2cos2 α −1 )
2
2cos α (sin α +cos α ) ( sin α −cos α) 2cos α( cos2 α −sin2 α)
2 2 2 2 2 2 2 2
= =−
√ α √ α
4cos2 4cos2
2 2
α
2cos cosα
2
=− ,
| α|
2 cos
2
π α α
因为π<α<2π，所以 < <π，即cos <0，
2 2 2
α
2cos cosα
2
即上式=− =cosα.
α
−2cos
2
π √3
16．（15分）（2024·陕西西安·一模）已知函数f (x)=2cosxsin( x+ ) −2√3cos2x+ ,x∈R．
3 2
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当x∈[0,π]时，求函数f (x)的单调递增区间及f (x)的最值及取得最值时x的集合．
【解题思路】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为
π
f(x)=sin ( 2x− ) ，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴;
3π
（2）先求f (x)在R的上的单调递区间，再取与区间[0,π]上的交集部分即可.先求2x− 的范围，再结合
3
正弦函数的图象求函数f (x)的最值；
【解答过程】（1）∵ f (x)=2cosx⋅ (1 sinx+ √3 cosx ) −2√3cos2x+ √3
2 2 2
√3 1 √3 π
=sinxcosx−√3cos2x+ = sin2x− cos2x=sin ( 2x− ) ，
2 2 2 3
π π 1 5
令2x− =kπ+ ,k∈Z，解得x= kπ+ π,k∈Z，
3 2 2 12
1 5
所以对称轴为x= kπ+ π,k∈Z；
2 12
π 1 1
令2x− =kπ,k∈Z，解得x= kπ+ π,k∈Z，
3 2 6
(kπ π )
所以对称中心为 + ,0 ,k∈Z.
2 6
π
（2）由（1）得f (x)=sin ( 2x− ) ，
3
π π π
令− +2kπ≤2x− ≤ +2kπ,k∈Z，
2 3 2
π 5π
得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
12 12
[ 5π] [11π ]
又因为x∈[0,π]，所以f (x)的单调递增区间为 0, 和 ,π .
12 12
∵0≤x≤π,，
π π 5π
∴− ≤2x− ≤ ，
3 3 3
π
( )
∴−1≤sin 2x− ≤1，
3
π
所以f (x)=sin ( 2x− ) 的最大值1，最小值−1.
3
当2x−
π
=
π
时，x=
5π
时，f (x)=sin ( 2x−
π
) 取最大值为1,此时x的集合为
{5π}
，
3 2 12 3 12
当2x−
π
=
3π
时，x=
11
π时，f (x)=sin ( 2x−
π
) 取最大值为−1.此时的集合为
{11π}
.
3 2 12 3 12
17．（15分）（2024·江苏苏州·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a+b sinC−sinB
= ．
c sinA−sinB
(1)求角A；
(2)若a=6，点M为△ABC的重心，且AM=2√3，求△ABC的面积．
【解题思路】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得AD=3√3，进而根据余
弦定理可得bc=36，由面积公式即可求解.
a+b sinC−sinB a+b c−b
【解答过程】（1）因为 = ，由正弦定理可得 = ，
c sinA−sinB c a−b
b2+c2−a2 1
整理得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cosA= = ．
2bc 2
π
又因为A∈(0,π)，所以A= ．
3
（2）设AM的延长线交BC于点D，因为点M为△ABC的重心，所以点D为BC中点，
又因为AM=2√3，所以AD=3√3．
在△ABC中，由b2+c2−a2=bc和a=6，可得bc=b2+c2−36．
在△ABD和△ACD中，有cos∠ADB=−cos∠ADC，
由余弦定理可得32+(3√3) 2 −c2 32+(3√3) 2 −b2
=−
2×3×3√3 2×3×3√3
故b2+c2=72，所以bc=b2+c2−36=72−36=36，
1 1 π
所以△ABC的面积为 bcsinA= ×36×sin =9√3．
2 2 3
π
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所
2
示．(1)求函数f (x)的解析式；
π 1
(2)将函数f (x)的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函
4 2
[ π π]
数g(x)的图象，求g(x)在x∈ − , 上的最大值和最小值；
12 6
[ π π]
(3)若关于x的方程g(x)−m=0在x∈ − , 上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
12 6
π
【解题思路】（1）利用函数图象的顶点求出A=2，利用周期求出ω=2，由特殊点求出φ= ，即可求出
6
解析式；
π
（2）利用三角函数图象变换求得g(x)=2sin(
4x−
)
，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
3
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
π
【解答过程】（1）由函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象可知A=2，
2
11 1 3 2π π
∵ π− π= T，∴T=π，ω= =2，又f ( )=2，
12 6 4 T 6
π π π π π
∴2× +φ= +2kπ,k∈Z，解得φ= +2kπ,k∈Z，由|φ|< 可得φ= ，
6 2 6 2 6
π
∴f (x)=2sin( 2x+ ) ；
6
（2）将 f (x) 向右平移π个单位，得到 y=2sin ( 2 ( x− π )+ π) =2sin ( 2x− π )，
4 4 6 3
1 π
再将所有点的横坐标缩短为原来的
，得到g(x)=2sin(
4x−
)
，
2 3
π [ π π] [ 2π π]
令t=4x− ，由x∈ − , ，可得t∈ − , ，
3 12 6 3 3[ 2π π] [ π π]
因为函数y=2sint在 − ,− 上单调递减，在 − , 上单调递增，
3 2 2 3
π π 2π
又2sin(
−
)=−2，2sin =√3，2sin(
−
)=−√3，
2 3 3
可得g(x) =√3，g(x) =−2；
max min
[ π π]
（3）因为关于x的方程g(x)−m=0在x∈ − , 上有两个不等实根，
12 6
[ π π]
即y=m与y=g(x)的图象在x∈ − , 有两个交点.
12 6
由图象可知符合题意的m的取值范围为−2
