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9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）
题组一 定点
1．（2022·成都模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，椭圆C的右
顶点到抛物线 的准线的距离为4．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐
标原点，若 ，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分 ？若存在，求出点H的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由已知得 ，∴ ， ．
∴椭圆 的方程为 ．
∴椭圆 的右顶点为 ．
∴ ，解得 ．
∴抛物线 的方程为 ．
（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0．
设直线 的方程为 ， ， ．由 消去y，得 ．
∴ ，∴ ．
∴ ， ．
∴
．
∴ ．
∴ ，∴ ．∴ ，此时 ．
∴直线l的方程为 ．
假设在 轴上存在点 ，使得 轴平分 ，
则直线 的斜率与直线 的斜率之和为 ，
设 ， ，
由 消去 ，得 ．
∴ ，即 恒成立．
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．解得 ．
∴在 轴上存在点 ，使得 轴平分 ．
2．（2022·辽宁模拟）已知坐标原点为O，点P为圆 上的动点，线段OP交圆
于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S．
（1）求点S的轨迹方程C；
（2）已知点 ，过 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 交
于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：设 由题意可得
所以 ，
所以代入 得点S的轨迹方程（2）证明：设直线l的方程为 ，
直线AM方程为： ，令
直线AN方程为： ，令
所以E，F的中点为3．（2022·烟台模拟）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左､右焦点分别为 ，
， 为椭圆 上任意一点， 面积的最大值为1.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 轴的交
点分别为 ， ，证明：以 为直径的圆过定点.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：因为椭圆 的离心率为 ，所以 .
又当 位于上顶点或者下顶点时， 面积最大，即 .
又 ，所以 ， .
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：由题知，直线 的斜率存在，所以设直线 的方程为 ，设 ， ，
将直线 代入椭圆 的方程得： ，
由韦达定理得： ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以 ， ，
所以以 为直径的圆为 ，
整理得： .①
因为 ，
令①中的 ，可得 ，所以，以 为直径的圆过定点 .
题组二 定值
1（2022·河东模拟）椭圆C： 的离心率 ， ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线
AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： 为定值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由椭圆的离心率 ，则 ，
又 ，解得： ， ，
则椭圆的标准方程为：
（2）证明：因为 ，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立 整理得 ．
则 ，故 ，则 ．
所以
又直线AD的方程为 ．
联立 ，解得
由三点 ， 共线，
得 ，所以 ．
的斜率为 ．
则 ．为定值
2．（2022·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动
点M满足
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设过点 的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得
为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在实数 ，使得 为定值为5．
【解析】（1）解：设
由 ，得 ，即
而 ，即 ．所以 ，即 ．
（2）解：假设存在满足题意的直线 ，设 ．
当直线l的斜率存在时，设其方程为 ．
由 ，消去y，得 ．
则 ．
所以， ，则
当且仅当 ，即 时，
当直线l的斜率不存在时， ，若
则 ．
综上，存在实数 ，使得 为定值为5．
3．（2022·西安模拟）已知抛物线C： 的焦点为 ，准线与坐标轴的交点为 ， 、 是离心
率为 的椭圆S的焦点.
（1）求椭圆S的标准方程；
（2）设过原点O的两条直线 和 ， ， 与椭圆S交于A、B两点， 与椭圆S交于M、N两点.求
证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：化抛物线C： 的方程为标准方程，即C： .得抛物线C的焦点 ，设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得 ， ，得 .
∴ ，又椭圆S的焦点在y轴上.
∴椭圆S的标准方程为 .
（2）证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且 ，又由椭圆的对称性，知
， .
∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.
∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.
当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为 和
，且 轴或 轴.
设 ，则 或 .
于是，有 ，得 .
原点O到直线AM的距离为 .
当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM： .
由 ，消去 并整理得 ，
且 .设 ， ，则 ， ，
∴
.
由 ，得 ，即 ，
得 ，满足 .
∴原点O到直线AM的距离为 .
∴原点O到直线BN的距离也为 .
综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值 .
4．（2022·浙江模拟）已知抛物线 ： 经过点 ，焦点为F，PF=2，过点
的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线 的斜率的取值范围；
（3）设 为原点， ， ，求证： 为定值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：抛物线 ： 经过点 ，PF=1+ 2
解得 ，故抛物线方程为：
（2）解：由题意，直线 的斜率存在且不为 ，
设过点 的直线 的方程为 ，
设 ，
联立方程组可得 ，
消 可得 ，
，且 ，
解得 ，且 ，
则 ， ，
又 、 要与 轴相交，
直线 不能经过点 ，即 ，故直线 的斜率的取值范围是 ；
（3）证明：设点 ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，同理 ，
直线 的方程为
，
令 ，得 ，同理可得 ，
因为
， ， 为定值．
题组三 最值1．（2022·浙江模拟）如图，已知点 ， 分别是椭圆 的左顶点和右焦点， 是 轴上一
点，且在点 左侧，过 和 的直线 与椭圆 交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.
（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）记 ，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求 面积的最小值.
【答案】（1） （2）24
【解析】（1）解：由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
因为 是 轴上一点，且在点 左侧，设 ，其中 ，
则直线 的斜率 ，即直线 斜率的取值范围为
（2）解：设直线 的方程为 ，联立方程组 ，整理得 ，
设 ， ，可得 ，
由 ，则 ， ， ，
所以 ， ，则 ，
又由
，
则 ，
由 ，可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 面积的最小值是24.
2．（2022·南充模拟）已知点F是抛物线 的焦点，直线l与抛物线C相切于点
，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
（1）若 ，求直线l的方程；
（2）求三角形PAB面积S的最小值．
【答案】（1） （2）16
x2 x 1
【解析】（1）解：由 得 ， ．所以 ，y= ⇒y'= |x=1 =
4 2 ❑ 2
所以 在点P处的切线l方程为： ，即 ．
（2）解：设 ， ， ，由 ，则 ， ．因为A、F、P三点共线，所以 ．
所以 ，由于 ，故 ，即 ．
所以 ．
由于 ，所以 得 ．
直线PB方程： ，即 ．
设A到直线PB的距离为d，则
又
所以 ．
当且仅当 时，等号成立．
所以 面积的最小值为16．
题组四 定直线
1．（2022·宜宾模拟）设抛物线 ： ，以 为圆心，5为半径的圆被抛物线 的准
线截得的弦长为8．
（1）求抛物线 的方程；（2）过点 的两条直线分别与曲线 交于点A，B和C，D，且满足 ， ，求证：
线段 的中点在直线 上．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）解： ： 的准线 ：
设 到 的距离为 ，
由已知得 ，∴ ，∴ ，∴
∴ 的方程为
（2）证明：设 ，
∵ ，∴
∴ ，∴
代入 得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴ ， ，∴
同理
∴ ， 是关于 的方程 的两根，
∴ ，∴∴ 的中点在直线 上．
2．（2022·和平模拟）已知点M是椭圆C： 上一点， ， 分别为椭圆C的上、
下焦点， ，当 ， 的面积为5.
（1）求椭圆C的方程：
（2）设过点 的直线 和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线 ，使得 与 （O是坐标原
点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线 的方程：若不存在，说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由 ，
由 ，
，故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即椭圆的标准方程为 .
（2）解：假设满足条件的直线 存在，
当直线 的斜率不存在时，不合题意，
不妨设直线 ： ， ， ，显然 ，联立 ，得 ，
所以 ，
因为 ， ，得 ，
即 （3），
由（1），（3），得 （4），
将（1）（4）代入（3）得 ，
所以直线 的方程为 ，
故存在直线 ，使得 与 的面积比值为5：7.
3．（2022·齐齐哈尔模拟）已知点F为抛物线 的焦点，点 在抛物线C上，且
，直线 交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线 交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定
直线上．
【答案】（1） （2）【解析】（1）解：由 可知，抛物线C的准线为： ，
点 到准线的距离为 ，根据抛物线定义： ， ，
抛物线C的方程为 ；
（2）解：设 ， ， ， ， ， ．
， ，
由 ， ，得 ，即 ，
同理 ，
由 得 …①，
由 得 …②，
①②两式相加得 ，
即 ，
， ， 点T在定直线 上．
综上，抛物线C的方程为 .4．（2022·聊城模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，左顶点为 ，左焦点为 ，
上顶点为 ，下顶点为 ，M为C上一动点， 面积的最大值为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 ， ），直线 ， 相交于点Q，证明：
点Q在一条平行于x轴的直线上.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由椭圆C的离心率为 得 ①，
由椭圆的几何性质知，当M为椭圆上（或下）顶点时， 的面积最大，
②，
又 ，结合①②可解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）证明：由过 的直线l不过 ， ，可设其直线方程为 ，把
代入 ，得 ， ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设直线 和 的交点为 ，则
，
把 及 代入上式，得
，整理得 ，
故点Q在一条平行于x轴的直线 上，得证.
5．（2022·河南模拟）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且过点
．
（1）求C的方程；
（2）若直线 与C交于M，N两点，直线 与 相交于点G，证明：点G在
定直线上，并求出此定直线的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：因为 ，所以 ，解得 ．
因为C过点 ，所以 ，解得 ．所以C的方程为 ．
（2）证明：由题意，设 ，则 ， ．
由 ，整理得 ，则
，
解得 且 ， ， ．
由 得：
，
所以点G在定直线 上．
