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9.4抛物线（精讲）
一．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
x2＝－2py
y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0)
标准方程 (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
性
质
焦点 F F F F
离心率 e＝1准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
一．抛物线的定义及标准方程
1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确
定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
二．与抛物线有关的最值问题
1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边
之和大于第三边”，使问题得以解决．
2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理
解决．
三．常用的结论
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x ，y)，
1 1
B(x，y)．则有
2 2
(1)x·x＝.
1 2
(2)y·y＝－p2.
1 2
(3)|AB|＝x＋x＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
1 2
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．（6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．
考点一 抛物线的定义及标准方程
【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
上．若 到直线 的距离为3，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线 上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离
大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则P到C的准线的距
离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ， 在 上，
，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点 是抛物线C： 的焦点，点M在抛物线
C上，点 ，且 ，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点二 抛物线有关的最值问题【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且
点 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，则点 到
抛物线 上动点 的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国· 专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周
长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线 ，圆 ，P为E上一点，Q为
C上一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．（2023春·四川南充 ）已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和
的距离之和的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，直线 与
交于 ， 两点，则 的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
考点三 直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点 ，则与抛物线 有且只有一个公共
点的直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023秋·课时练习）已知直线 与抛物线 只有一个公共点，则直线 与抛物线的位置关
系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有
公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
3．（2023秋课时练习）过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有 条．
4．（2023秋云南）已知抛物线方程为 ，若过点 的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜
率的取值范围是 .
考点四 弦长
【例4-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于
、 两点，若线段 的中点横坐标为2，则线段 的长为
【例4-2】（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
过 的直线与抛物线 交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则弦 最短长度为4C．存在以 为直径的圆与 相交
D．若直线 ，且 点在 轴的上方，则
【一隅三反】
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线 的焦点 ，作斜率为
的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． 或3 C． 或2 D．3
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物线
的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
3．（2023·江西九江·统考一模）已知点 分别是抛物线 和圆 上的
动点，点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 ．
考点五 直线与抛物线的综合问题
【例5】（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，
抛物线 的焦点为 ，且 ．
(1)求 的值；(2)若直线l与 交于M，N两点，与 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且
，证明： 为定值．
【一隅三反】
1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系 中，已知动点 到定点 的距离
比动点 到定直线 的距离小1，记动点 的轨迹为 .(1)求轨迹 的方程；
(2)点 是曲线 上位于直线 的上方的点，过点 作曲线 的切线交于点 ，若 ，证明：
为定值.
2．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，
．
(1)求 ；
(2)过点 作直线 ， 与 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 ．判断直线 是否过定
点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
3．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
