文档内容
专题 15.4 分式方程【十二大题型】
【人教版】
【题型1 分式方程及其解】......................................................................................................................................1
【题型2 分式方程的一般解法】..............................................................................................................................3
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】..............................................................................................................7
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】.....................................................................................................9
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】........................................................................................................11
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】...........................................................................................13
【题型7 换元法解分式方程】................................................................................................................................16
【题型8 裂项法解分式方程】................................................................................................................................19
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】................................................................................................................24
【题型10 分式方程的新定义问题】........................................................................................................................26
【题型11 分式方程的规律探究】..........................................................................................................................33
【题型12 分式方程的阅读材料题】......................................................................................................................36
知识点1：分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程及其解】
x−3 3 x+3 1 x x
【例1】（23-24八年级·河南南阳·期中）给出以下方程： =1， =2， = ， − =1，其中分
4 x x+5 2 3 2
式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5 a+x
【变式1-1】（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）已知分式方程 +1= 的解为x=3，则a的值为
x+2 x+2
．
x−1 1 4 3−x
【变式1-2】（23-24八年级·全国·课后作业）下列关于x的方程① =5，② = ，③ =x−
3 x x−1 3
x 1
1，④ = 中，是分式方程的是__________.（填序号）
a b−1x m
【变式1-3】（23-24八年级·湖南郴州·期中）已知关于x的方程 −1= 的解为x=2，则关于y的
x−1 x2−1
方程 m y2−2y+1 的解为 ．
+2= +1
y2−2y (y−1)(y−2)
知识点2：分式方程的解法
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技
巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型2 分式方程的一般解法】
ax 2 x−4
【例2】（23-24八年级·湖南常德·期中）关于x的方程 − =1的解与方程 =3的解相同，求
a−1 x−1 x
a的值．
x+n
【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期中）已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则
2x−m
2
a⋅ b的值为 ．
5
x的取值 −4 4 a 16
分式的值 无意义 0 0.1 b
1 1−x
【变式2-2】（23-24八年级·河南周口·期末）小明写出下列四个方程：① =0；② =0；③
2x+3 x2−1
1 2 2 5 3
= + ；④ = ．其中有解的是 (填写序号即可)．
x x+1 x2+x x x−2
【变式2-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）如图是小丽同学完成的一道作业题．结合小丽作业，完成下
列问题：
小丽作业：4x−1 3
解方程： −1= ．
x−1 x−1
解：去分母，得
4x−1−(x−1)=3，
去括号，得4x−1−x+1=3，
移项，合并同类项，得3x=3，
系数化为1，得x=1．
(1)小丽解方程的结果“x=1”是不是原方程的解？请写出判断过程．
x 2 1
(2)解方程 + = ．并判断所求“结果”是不是原方程的解，简要说明理由．
x2−4 x−2 x+2
(3)反思以上过程，你有什么疑问或建议请写下来（一条即可）．
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】
5 m
【例3】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）关于x的分式方程 +2= ．
x−2 2−x
（1）若方程的根为x=1，则m= ；
（2）若方程有增根，则m=
a+1
【变式3-1】（23-24八年级·吉林·期中）若关于x的方程 =1有增根，则a的值为 ．
x
1 k 3
【变式3-2】（23-24八年级·四川眉山·期中）若分式方程 + = 有增根，则k的值为（ ）
x−1 x2−1 x+1
A．±1 B．−2 C．−6 D．−2或−6
x m+1 x+1
【变式3-3】（23-24八年级·湖南娄底·期中）若关于x的分式方程 − = 有增根，求m的值．
x+1 x2+x x
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】
x−1 m
【例4】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若解关于x的方程 = +2时，该方程有解，则m
x−2 2−x
（填满足条件）．
x m
【变式4-1】（23-24八年级·北京顺义·期中）当m= 时，方程 =2− 无解．
x−3 x−3
3 6 x+k
【变式4-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程 + − =0有解，则k满足
x x−1 x(x−1)
．
2 mx 5
【变式4-3】（23-24八年级·四川绵阳·开学考试）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的
x−2 x2−4 x+2值为 ．
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】
ax+1 3
【例5】（23-24八年级·重庆·开学考试）已知关于x 的分式方程 +1= 有整数解，且关于y 的
2−x x−2
{4 y≥3(y−2)
)
不等式组 有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
y−1
2y−
2
3 y a−9
式方程 − =1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
y−2 2−y
ay y−5
【变式5-3】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）若关于y的分式方程 −2= 的解为整数，且
y−1 1−y
是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ）
x2+2(a−1)x+9
A．±2 B．4 C．−2 D．4或−2
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】
y+a 2a
【例6】（23-24八年级·吉林·期中）若关于y的分式方程 + =4的解是正数，求a的取值范围．
y−2 2−y
x m
【变式6-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）关于x的分式方程 =2− 的解为非正数，则m的取值
x+3 x+3
范围是 ．
x+m x−1
【变式6-2】（2024八年级·全国·专题练习）关于x的方程 −3= 的解为非负数，则m的取值范
x−2 2−x
围是 ．2 m
【变式6-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）若分式方程 =1− 的解为正数，则m的取值范围
x−1 x−1
（ ）
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<3 D．m<3且m≠−2
【题型7 换元法解分式方程】
【例7】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为y− =0，方程两边同时乘y，得y2−4=0，
x y
4
解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y− =0的解．
y
x−1 x−1 1
当y=2时， =2，解得x=−1；当y=−2时， =−2，解得x= ．
x x 3
1
经检验：x=−1和x= 都是原分式方程的解，
3
1
所以原分式方程的解为x=−1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
x+1 2x−1
用换元法解： − =0．
2x−1 x+1
【变式7-1】（23-24八年级·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程 2x x2−1 时，如果设
+ =3
x2−1 x
x
= y将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ．
x2−1
x−1 4x
【变式7-2】（2024八年级·江苏·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2−4=0，解得：y=±2，经检验：
x y
4 x−1 x−1
y=±2都是方程y− =0的解，∴当y=2时， =2，解得x=−1，当y=−2时， =−2，解得：
y x x1 1 1
x= ，经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x=−1或x= ．上述这种解分
3 3 3
式方程的方法称为换元法．
问题：
x−1 x x−1
(1)若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
4x x−1 x
x−1 4x+4 x−1
(2)若在方程中 − =0，设y= ，则原方程可化为： ；
x+1 x−1 x+1
3 x+2
(3)模仿上述换元法解方程：1− − =0．
x+2 x−1
x−1 3
【变式7-3】（2024八年级·全国·专题练习）换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
【题型8 裂项法解分式方程】
【例8】（23-24八年级·江西景德镇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，
遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为v ，
1
下坡速度为v ，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平
2
均速度为
v=
2v
1
v
2
．聪明的马超对公式进行变形得到1
=
1( 1
+
1 )，他马上联想到数学中也有类似变形，
v +v v 2 v v
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1(1 1)
例如 = = − ， = − ，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请
6 2×3 2 3 15 2 3 5
你利用上述方法，解决以下问题：
1 1 1 1
(1)计算： + + + =______；
2 6 12 20
1 1
(2)解方程： − =2；
x x(x+1)
1 1 1 1
(3)若分式方程 − − = 有增根，求m的值．
2x x(x+2) (x+2)(x+4) m
1 1 1 1
【变式8-1】（23-24八年级·四川绵阳·开学考试）解方程： + +... = ．
x(x+1) (x+1)(x+2) (2x−1)⋅2x 8
【变式8-2】（23-24八年级·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − =1− = ，利用上面这个运算规律解决以下问题：
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 41 1 1
(1)求 + + 的值；
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1
(2)证明： + + +⋯+ + <1；
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1
(3)解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
【变式8-3】（23-24八年级·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征
上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问
题中的途径和方法．
观察下列计算过程： 阅读下面一道例题的解答过程：
1
+
1
+
1
+
1 因式分解：x2+3x+2
1×2 2×3 3×4 4×5
解：我们可以将3x拆成x和2x
=
(1
−
1)
+
(1
−
1)
+
(1
−
1)
+
(1
−
1)
即原式=x2+2x+x+2
1 2 2 3 3 4 4 5
=x(x+2)+(x+2)
1 4
=1− =
5 5
=(x+2)(x+1)
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项
法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相 或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方
互抵消，简化计算． 法称为拆项法．
请用类比的方法，解决以下问题：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)①已知 =1− , = − , = − ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则依据此规律 =____；
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 n(n+1)
②请你利用拆项法进行因式分解：x2+5x+6=_____；
(2)若a,b满足a2−2a+1+|2a−b)=0，求
1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ 的值；
a⋅b (a+1)⋅(b+1) (a+2)⋅(b+2) (a+3)⋅(b+3) (a+2021)⋅(b+2021)
1 1 1 1 4
(3)受此启发，解方程 + + + = ．
x2+9x+20 x2+11x+30 x2+13x+42 x2+15x+56 x2+28
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2024·江苏镇江·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，
两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以
20
卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得 个铜板．”问
3
两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）15x 20(100−x) 20x 15(100−x)
A． = B． =
100−x 3x 3(100−x) x
15 20 5x 3x
C． = D． =
100−x 3x 100−x 20(100−x)
1
【变式9-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．
3
小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12
月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确
的是（ ）
30 15 30 15
− =5 − =5
A． 1 x B． 1 x
(1+ )x (1− )x
3 3
30 15 30 15
− =5 − =5
C． x 1 D． x 1
(1+ )x (1− )x
3 3
【变式9-2】（23-24八年级·山东泰安·期中）张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新
华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多
少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ．
【变式9-3】（2024·山东青岛·模拟预测）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购
5
进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的
4
进价．设第一次每支铅笔的进价是x元，根据题意得方程： ．
【题型10 分式方程的新定义问题】
a
【例10】（23-24八年级·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 +1=b的解
x
1 a
是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数
a+b x
对”．
2 1 1
例如：a=2，b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就
x 2+(−5) 3
a
是关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
xa
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，
x
打“×”．①[1,1)（ ）；②[3,−5)（ ）．
[ 5 ) a
(2)若数对 n,− −n 是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值．
3 x
a
(3)若数对[m−k,k) (m≠−1,且m≠0,k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的方
x
−2m
程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
1
【变式10-1】（23-24八年级·河南南阳·期中）对于实数a、b，定义一种新运算“△”为：a△b= ，
a−b2
1 1 2
这里等式右边是实数运算．例如：1△2= =− ．则方程x△3= −1的解是 ．
1−22 3 9−x
【变式10-2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程
a 1 a
+1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一
x a+b x
个“关联数对”．
2 1 1
例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是
x 2+(−5) 3
a
关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，
x
打“×”．
①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）；
③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）；
a
(2)若数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值；
x
a
(3)若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的方
x
−2m
程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
【变式10-3】20-21八年级·湖南长沙·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式
2x −2 2x ( −2 ) 2x+2 2(x+1)
A= ，B= ，A−B= − = = =2，则A是B的“雅中式”，A关于B
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
的“雅中值”为2．
(1)已知分式 1 x2+5x+6判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证
C= ，D=
x+2 x2+4x+4
明并求出C关于D的“雅中值”；
E 2x
(2)已知分式P= ，Q= ，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且
9−x2 3−x
“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
(x−b)(x−c) (x−a)(x−5)
(3)已知分式M= ，N= （a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关
x x
于N的“雅中值”是1，求a−b+c的值．
【题型11 分式方程的规律探究】
1 2 1 3
【例11】（23-24八年级·重庆南岸·期中）观察下列方程：（1） = ；（2） = ；（3）
x x+2 x x+3
1 4 1 5
= ；（4） = ；…根据以上规律，第n个方程以及它的解是（ ）．
x x+4 x x+5
1 n n 1 n+1 n+1
A． = ，x= B． = ，x=
x x+n n−1 x x+n+1 n
1 n n−1 1 n+1 n
C． = ，x= D． = ，x=
x x+n n x x+n+1 n+1
【变式11-1】（23-24八年级·山东潍坊·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规
律摆成下列图形，第1幅图中“ ”的个数为a ，第2幅图中“ ”的个数为a ，第3幅图中“ ”
1 2
2 2 2 2 n
的个数为a ，以此类推，若 + + +⋯+ = ．（n为正整数），则n的值为 ．
3 a a a a 2024
1 2 3 n
【变式11-2】（23-24八年级·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列：x x−1
+ =1的解是x=2；
4 2
x x−2
+ =1的解是x=3；
6 2
x x−3
+ =1的解是x=4；
8 2
……
根据观察得到的规律，写出其中解是x=2024的方程： ．
1 1
【变式11-3】（23-24八年级·河北·期末）已知a =x+1（x≠0，且x≠−1），a = ，a = ，…，
1 2 1−a 3 1−a
1 2
1
a = ．
n 1−a
n−1
（1）根据上述规律，可得a = （用含字母x的代数式表示）；
2
（2）当x=1时，a = ；
2013
（3）若a 的值为5，则x的值为 ．
2022
【题型12 分式方程的阅读材料题】
【例12】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）阅读下列材料：
1 1 1
方程x+ =2+ 有两个解，它们是x =2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
关于x的方程：x+ =c+ 上有两个解，它们是x =c，x = ；
x c 1 2 c
1 1 −1 −1 1
x− =c− （即x+ =c+ ）的解是x =c，x =− ；
x c x c 1 2 c
2 2 2
x+ =c+ 的解是x =c，x = ；
x c 1 2 c
3 3 3
x+ =c+ 的解是x =c，x = ；
x c 1 2 c
…
m m
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+ =c+ (m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么？
x c
并利用“方程的解”的概念进行验证．
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数2 2
换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+ =a+ ．
x−1 a−1
【变式12-1】（23-24八年级·广东广州·期末）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，
若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如
25+41=52+14=77，所以25与41、52与14都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断43与67是否是“臻美数对”？并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另
一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并证明
“臻美数对”的两数和是11的倍数；
(3)若有一个两位数，十位数字为 ( x2+ 1 +1 ) ，个位数字为 ( 2x2+ 3 +3 ) ；另一个两位数，十位数字为
x x
( 2x2+ 2 +5 ) ，个位数字为 ( x2+ 1 +2 ) ，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
x x
1 1
【变式12-2】（23-24八年级·湖南邵阳·阶段练习）阅读下列材料，关于x的方程：x+ =c+ 的解是x＝
1
x c
1 1 1 −1 −1 1 2 2
c，x＝ ；x− =c− （即x+ =c+ ）的解是x＝c，x＝− ；x+ =c+ 的解是：x＝c，x＝
2 1 2 1 2
c x c x c c x c
2
，…
c
m m
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程x+ =c+ （m≠0）的解，并利用“方程的
x c
解”的概念进行验证；
2 2
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：x+ =a+ 的解吗？若能，请求
x−1 a−1
出此方程的解；若不能，请说明理由．
1 1 1 1
（3）已知：a− =b− −2，且a−b+2≠0，求 − 的值．
a+1 b−1 a b
【变式12-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式
(x−a)(x−b)
的值为零，则解得x =a，x =b．又因为
x 1 2(x−a)(x−b) x2−(a+b)x+ab ab ab
= =x+ −(a+b)，所以关于x的方程x+ =a+b的解为x =a，x =b．
x x x x 1 2
x2+2 2
(1)理解应用：方程 =3+ 的解为：x = ______，x = _______；
x 3 1 2
2
(2)知识迁移：若关于x的方程x+ =5的解为x =a，x =b，求a2+b2的值；
x 1 2
(3)拓展提升：若关于x的方程 k 的解为 ， 求x −k的值．
x+ =k+2 x ，x (k>2，x >x ) 1
x−1 1 2 1 2 x
2
