文档内容
专题 15.4 分式方程（4 大知识点 9 类题型）（知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【要点提示】
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有
未
知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【知识点2】分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉
分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解
分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因
式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若
最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【知识点3】解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，
对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的
增根.
【要点提示】（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以
（或
除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么
所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而
是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
【知识点4】分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
题型目录
【题型1】分式方程的定义.....................................................2
【题型2】解分式方程.........................................................4
【题型3】分式方程的增根.....................................................6
【题型4】根据分式方程解的情况求值...........................................7
【题型5】分式方程的无解问题.................................................9
【题型6】列分式方程........................................................11
【题型7】分式方程的实际应用................................................13
【题型8】直通中考..........................................................16
【题型9】拓展延伸..........................................................17
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】分式方程的定义
【例1】（21-22八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：① 的解为x＝1，②的解为x＝2，③ 的解为x＝3．请你观察上述方程与解得
特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案．
解：方程为： ，解为 ，
故填： ， ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）下列关于 的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的
关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果．
解： 、 分母中不含未知数，故本选项不符合题意；
、 分母中不含未知数 ，故本选项不符合题意；
、 是无理方程，故本选项不符合题意；
、 是分式方程，故本选项符合题意；
故选： ．
【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列：
的解是 ；的解是 ；
的解是 ；
……
根据观察得到的规律，写出其中解是 的方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分
子是 分母是解的二倍，第二个分子是 减比解小1的数，分母是2，可得答案．
解：由一列方程如下排列：
的解是 ，
的解是 ，
的解是 ，
得第一个的分子是 分母是解的二倍，第二个分子是 减比解小1的数，分母是2，
解是 的方程： ，
故答案为： ．
【题型2】解分式方程
【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）两边同乘以 去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解；
（2）两边同乘以 去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解．
解：（1） ，
方程两边同时乘以 ，得： ，解得： ，
检验：把 代入 ，
∴原方程的解为 ；
（2） ，
方程两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，则 是增根，
∴原分式方程无解．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若关于 的方程 有增根．求 的值．
【答案】3
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分
母 ，得到 或 ，然后代入化为整式方程的方程算出 的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方
程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
解：方程两边都乘 ，
得 ，
整理得： ，
原方程有增根，
最简公分母 ，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时， ，此时原方程为 ， ，这个整式方程无解，
的值为3.
【变式2】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于 的分式方程 （ ，且 为整数）的解为
整数，则 的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
【答案】B【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出 ，
结合 ，且 为整数， 为整数，得出 可取 ， ， ，即可得解．
解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
系数化为1得： ，
∵ ，且 为整数， 为整数，
∴
∴ 可取 ， ， ，
∴ 的可能取值的和为 ，
故选：B．
【题型3】分式方程的增根
【例3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于 的分式方程 有增根，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．去分
母后代入增根即可求得答案．
解：由题意可知，原方程有增根，那么 或 ，即
将 代入，可得
解得故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于x的方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键．
解： ，
方程两边都乘以： 得： ，
∵分式方程有增根，
即
将 代入整式方程，得： 即
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数 ， ，规定 ．若
，则 ．
【答案】
【分析】本题是新定义问题，考查了解分式方程，理解规定的新运算是关键，注意不要忘了检验．根据
题干新定义的运算转化为分式方程，然后解分式方程即可．
解：由规定运算， 可化为， ，
即 ，
解得 ，
检验：当 时， 符合条件，
∴原方程的解为 ．
故答案为： ．【题型4】根据分式方程解的情况求值
【例4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，此方程的解为 ；
(2)当 取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求 的取值范围．
【答案】(1) (2) (3) 且
【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键．
（1）把分式方程化为整式方程，解之得到 ，把 代入方程即可得出k的值；
（2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值；
（3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围．
解：（1） ，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解为 ，
，解得 ，
当 时，此方程的解为 ；
（2） 方程会产生增根，
，
，解得 ，
当 时，此方程会产生增根；（3） 方程的解是正数，
且 ，
解得 且 ．
当此方程的解是正数时， 的取值范围是 且 ．
【变式1】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于 的分式方程 （ ，且 为整数）的解为
整数，则 的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出 ，
结合 ，且 为整数， 为整数，得出 可取 ， ， ，即可得解．
解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
系数化为1得： ，
∵ ，且 为整数， 为整数，
∴
∴ 可取 ， ， ，
∴ 的可能取值的和为 ，
故选：B．
【变式2】（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程 的解为非负数，则a的取值
范围为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，
根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可．解： ，
去分母，得 ，
解得 ，
关于 的方程 的解为非负数，
，
解得 ；
，
，
解得 ，
的取值范围为 且 ．
故答案为： 且 ．
【题型5】分式方程的无解问题
【例5】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）求当 为何值时，关于 的方程 无解．
【答案】 或
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增
根，两种情况，进行讨论求解即可．
解：原方程去分母，得： ，
整理，得： ，
当整式方程无解时： ；
当分式方程有增根时： 或 ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
综上： 或 ．
【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【分析】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键．
将分式方程化为整式方程 ，由 或 时方程无解，求出 ．
解： ，
去分母，得 ，
化简得， ，
∵方程 无解，
∴①当 时，方程无解；
②当 时，方程无解，此时 ，解得 ，
即 或 时，方程无解，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或 / 或
【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得 ，再由方程无解可得 分式方程没有意义
时， 或 ， 两种情况即可求 的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意
义是解题的关键．
解：
，
，
，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
分式方程没有意义时， 或 ，
此时 ，
整式不成立时， ，此时 ，
故答案为： 或 ．
【题型6】列分式方程
【例6】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）力旺中学图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学
思想》若干套，已知 元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多40套，且《古今数学思
想》的单价是《什么是数学》单价的 倍．求每套《什么是数学》的价格．根据题意，小刚、小明两名
同学分别列出来尚不完整的方程如下：
小刚： ；小明： ．
(1)在小刚和小明两名同学所列的方程中，未知数 表示的意义分别为：
小刚： ；
小明： ．
(2)请你在括号里补全小刚和小明两名同学所列的方程．
(3)请选择一名同学的做法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)小刚：设每套《什么是数学》的价格为 元；小明：设《什么是数学》的数量为 套，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用；
（1）根据题意，“ 元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多40套，且《古今数学思
想》的单价是《什么是数学》单价的 倍．”，结合方程即可求解；
（2）根据题意补充方程，即可求解；
（3）解方程，并经验，即可求解．
解：（1）根据所列方程可得：
小刚：设每套《什么是数学》的价格为 元；
小明：设《什么是数学》的数量为 套，
故答案为：设每套《什么是数学》的价格为 元；设《什么是数学》的数量为 套；
（2）小刚：设每套《什么是数学》的价格为 元，根据题意得，
小明：设《什么是数学》的数量为 套，根据题意得，
，所填空为： ； ；
（3）小刚：设每套《什么是数学》的价格为 元，根据题意得，
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：每套《什么是数学》的价格为 元
小明：设《什么是数学》的数量为 套，根据题意得，
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
当 时，
每套《什么是数学》的价格为 元
答：每套《什么是数学》的价格为 元
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测） 九章算术 是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道
题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，
所需的时间比规定时间少 天．已知快马的速度是慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为 天，则可列
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列分式方程，设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可，理解题意，
找到等量关系是解答的关键．
解：设规定时间为x天，
根据题意得， ，
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）机器人“哈德”和“撒旦”搬运原料，已知“撒旦”比“哈德”每小时多搬运 ，且“撒旦”搬运 所用时间与“哈德”搬运 所用时间相同．设
“哈德”每小时搬运 原料，依题，可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据 型机器人搬运 所用的时间与 型机器人搬运 所用的时间相等，可以列出相
应的分式方程，从而可以解答本题．
解：设“哈德”型机器人每小时搬运 ，则“撒旦”型机器人每小时搬运 ，
由题意可得 ，
故答案为： ．
【题型7】分式方程的实际应用
【例7】（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，
B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋）
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品
牌所购得的数量相同，求 的值．
(2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B
两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润
不低于3600元．
【答案】(1)60 (2)至少购进B品牌100袋
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出
分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键．
（1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量
相同列出分式方程求解即可；
（2）设购进B为m袋，A为 袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可．
解：（1）由题意可得： ，解得： ．经检验： 是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）设购进B为m袋，A为 袋，由题意可得：
，
解得： ．
答：至少购进B品牌100袋．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从 地出发，匀速向 地走去；同时另一个人骑
摩托车从 地出发，匀速向 地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到 地，再向
地驶去，这样他在途中所用的时间是他从 地直接驶往 地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者
的速度比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了行程问题在分式方程中的应用．如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为 ， 两地相距 ，
那么根据时间 路程 速度，可知骑摩托车者从 地直接驶往 地原计划所用时间为 ，而实际他在途中所用的时间可看
作三段时间的和．当他骑摩托车从 地出发，匀速向 地驶去，与步行者在途中相遇用去时间 ；他把步行者送到
地又用去时间 ；他再向 地驶去又用去时间 ，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即 ，根据这
个等量关系列出方程，求出 的值即可．
解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为 ， 两地相距 ．
由题意，有 ，
，
解得 ，
经检验 是原方程的根，
．
即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是 ．
故选：B．
【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位 和 ，并约在出口 会合，琳琳从 经过 摊位，最后到达出口 ，华华从
摊位直接前往出口 ，速度与琳琳从 到 的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距
如图所示．若琳琳从 到 的速度比从 到 的速度慢 ，且从 到 的时间为从 到 时间的
一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口 ．
【答案】琳琳
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设琳琳从 到 的速度为 ，则从 到 的速度为
，根据从 到 的时间为从 到 时间的一半可列分式方程，求出 的值，再分别计算出
琳琳和华华到达出口C的时间进行比较即可得出答案
解：设琳琳从 到 的速度为 ，则从 到 的速度为 ，根据题意得，
，
解得， ，
经检验， 是原方程的解，
∴
所以，琳琳从 到 所用的时间为：
华华从 到 所用的时间为：
∵ ，
∴琳琳先到达出口 ．
故答案为：琳琳
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型8】直通中考
【例1】（2024·江苏南通·中考真题）
（1）计算： ； （2）解方程 ．【答案】（1） （2）
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
解：（1）
；
（2）
，
，
∴
检验，当 时， ，
所以，原分式方程的解为
【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排
放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前
15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所
有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）设原计划每天铺设管道 米，则实际施工每天铺设管道 ，根据原计划的时间 实际的时间
+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排 名工人施工，根据工作时间=工作总量 工作效率计算出原计划的工作天数，
进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解
集，找出解集中的最大整数解即可．解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道 米，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，且符合题意，
∴ ，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工， （天），
根据题意得： ，
解得： ，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
【题型9】拓展延伸
【例1】（24-25八年级上·北京·期中）已知： ．
(1)当 时，判断 与0的关系，并说明理由；
(2)设 ．
①代入 ，化简得 ________；
②若 是正整数，则整数 的值为_______．
【答案】(1) ，理由见解析 (2)① ；0或1或3
【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程
的方法步骤，分类讨论，是解题的关键．
（1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用 对分子分母分式的正负性质计算讨论即可；
（2）①把M、N代入 整理得到 ；②根据 ，x，y都是整数，可知 可以取
1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1， ，0，符合的有0，1，3．
解：（1）当 时， ．理由如下：
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）①依题意，得： ．
故答案为： ．
②∵ ，且 ，x，y都是整数，
∴y可以取1，2，3，4．
当 时， ，
解得 ，符合；
当 时， ，
解得 ，符合 ；
当 时， ，
解得 ，不合，舍去；
当 时， ，
解得 ，符合．
综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3．
故答案为：0或1或3
【例2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方
程”．
(1)判断方程 与 是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)是，理由见解析 (2) 或
【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练
掌握相关性质内容，是解题的关键．
（1）先分别算出方程 与 的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答．
（2）因为关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，所以 ，整理
得 ，结合x，y，m均为整数，则 ，因为m为正整数，
据此即可作答．
解：（1）方程 与方程 是“相似方程”，理由如下：
解方程 得
，
解方程 得
，
检验： 是该分式方程得解．
∴方程 与方程 是“相似方程”
（3）∵ 和 是“相伴方程”．
∴
∵x，y，m均为整数，
∴ ，∴ ，
又∵m为正整数
∴或
