文档内容
专题12 二次函数中的存在性问题专训
【题型目录】
题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题
题型二 二次函数中等腰三角形的存在性问题
题型三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题
题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题
题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题
题型六 二次函数中矩形的存在性问题
题型七 二次函数中菱形的存在性问题
题型八 二次函数中正方形的存在性问题
【经典例题一 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例1】（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为 ，与x轴交于A、B
两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点 ，点P在 所在直线下方的抛物线上，过点P作
轴，交 于点D．
备用图
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，问是否存在点P，使得 是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．【变式训练】
1．（2023·湖北十堰·统考一模）抛物线 经过A、 、 三点．点D为抛物线的顶
点，连接 、 、 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使 为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请
说明理由．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线l： 与x轴，y轴分别
交于点A，B，抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为 ．(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线 下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值
时， 的面积最大，并求出其最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，使 是以 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
3．（2023春·山东菏泽·九年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考阶段练习）如图，已知抛物线
的顶点坐标为 ，且与y轴交于点 ，与x轴交于A、B两点（点A在点
B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作
轴，交线段 于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)设 ， 的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；
(3)当 是直角三角形时，求点P的坐标．
【经典例题二 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例2】（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴相
交于点 ，与 轴交于点 ， （点 在点 的左边）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，连接 ， ， ．试判定 的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 过点
， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在 轴是否存在一个动点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，若存在，求出 点的坐标；
(3)平移抛物线，平移后的顶点为 ，如果 ，设直线 ，在这条直线的右侧原抛物线和新
抛物线的 均随 的增大而增大，求 的取值范围．
2．（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴相交于点A和点B
（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接 ，点E在线段 上运动．
(1)求抛物线的对称轴和直线 的解析式．
(2)过点E作x轴的垂线，交抛物线于点D，求 的最大值和此时点D的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023秋·吉林·九年级统考期末）如图，抛物线 经过 ， 两点，并且与
轴交于点 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出直线 的解析式为___________；
(3)若点 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，设 的长为
，求 与 之间的函数关系式及 的最大值；
(4)在 轴的负半轴上是否存在点 ，使以 ， ， 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接
写出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
【经典例题三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于 ，B两点，顶点为 ，
E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形 为正方形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，求正方形 的面积；
(3)如图2，连接 ，与 交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线 上一点，且P，Q两点均位于直线 下方，当 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，
B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．
(1)求B，C，D三点坐标；
(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；
(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级文昌中学校考期末）如图，抛物线 与 轴交于， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线的顶点，请画出四边形 ，并求出四边形 的面积；
(3)点 是抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ，点 为抛物线对称轴 上一点．若 是等
腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标，并写出其中一种情况的计算过程．
3．（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (a为常数，且 )，
此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．
(1)抛物线的对称轴为直线 _______；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当 (m为常数)时，y的最小值为 ，求m的值；
(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为 ，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角
三角形时，求出a的值．【经典例题四 二次函数中特殊角度的存在性问题】
【例4】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知抛物线M交x轴于 与 两点，交y轴于点
，点 在抛物线 上运动．
(1)求出抛物线 的解析式；
(2)是否存在点 （在 上方），使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，已知拋物线 与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ．点 是抛物线上一动点，且在直线 的下方，过点 作 轴，垂
足为 ，交直线 于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，若 ，求点 的坐标；
(3)连接 ，求四边形 面积的最大值．2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）综合与探究
抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点 的左侧），与 轴交于点 ．已知点A的坐标
为 ，点 的坐标为 ， 是线段 上的一个动点，点 从点 出发沿 方向向点A移动，运
动速度为每秒2个单位长度，过点 作 轴的垂线，与抛物线交于点 ，设点 的运动时间为 ．
(1)求抛物线的函数表达式和点 的坐标．
(2)如图1，当 时，作直线 ， 是直线 上方抛物线上一点，连接 ， ， 是抛物线对称轴
上的一个动点．当 的面积最大，且 是等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
(3)如图2，连接 ， ，是否存在某一时刻，使 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由．
3．（2023·青海西宁·统考二模）如图，二次函数的图象与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
且顶点 的坐标为 ，对称轴与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)点 在 上方二次函数图象上，且 的面积等于6，求点 的坐标；
(3)在二次函数图象上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出直线 与 轴的交点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题五 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例5】（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ，
两点，直线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ．(1)求出抛物线与直线的解析式；
(2)已知点 为线段 上一动点，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，连接 、 ，求 的
最大面积；
(3)若点 是 轴上的一动点，点 是抛物线上一动点，当以点 、 、 、 四点为顶点的四边形是平
行四边形时，请你直接写出符合条件的点 的坐标．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线
与 轴相交于点 ， ，顶点为A点，连接 ．(1)点A的坐标和 的度数；
(2)将抛物线 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到抛物线其顶点为 连接
和 ，把 沿 翻折得到四边形 ，试判断其形状，说明理由；
(3)在（2）的情况下，判断点 是否在抛物线 上，请说明理由；
(4) 为 轴上的一个动点，在抛物线 上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形平行四边形？
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，
与y轴交于点C，直线 过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段 上一
动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线 于点N．(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存
在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
3．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交
于 、 两点，与 轴交于点C，对称轴为直线 ，点 的坐标为 ．
(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)在直线 的下方的抛物线上存在一点M，使得 的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作 交 轴于点 ，是否存在点F，使得以
A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请
说明理由．
【经典例题六 二次函数中矩形的存在性问题】
【例6】（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段 长为 ，曲线是抛物线的
一部分，顶点C在 的垂直平分线上，且到 的距离为 ．以 中点O为原点，建立如图2所示的
平面直角坐标系．
(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在 上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的
矩形周长的最大值．【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，抛物线 与坐标轴相交于 ， 两点，点
D为直线 下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G； 交直线 于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求 的最大值；
(3)过点B的直线 交y轴于点C，交直线 于点F，H是y轴上一点，当四边形 是矩形时，
求点H的坐标．
2．（2023·山东泰安·校考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于B、C两点，
抛物线 经过B、C两点，且交x轴于另一点 ．点D为抛物线在第一象限内的一点，
过点D作 ， 交 于点P，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在 ，求出m值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以 为边的矩形？
如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
．
(1)求抛物线解析式，并直接写出直线 的解析式；
(2)点 在此拋物线的对称轴上，当 最大时，点 的坐标为______；
(3)若点 是第三象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作
交直线 于点 ，求 周长的最大值及此时点 的坐标；
(4)点 在抛物线上，在平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是以 为边的矩
形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题七 二次函数中菱形的存在性问题】
【例7】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，已知经过 ， 两点的抛物线 与 轴
交于点 ．
(1)求此抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)若线段 上有一动点 不与 、 重合 ，过点 作 轴交抛物线于点 ．
①求当线段 的长度最大时点M的坐标；
②是否存在一点 ，使得四边形 为菱形？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：
与x轴交于 ， 两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．(1)求抛物线L的函数表达式．
(2)将抛物线L向左平移得到抛物线 ，当抛物线 经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为
抛物线 对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以 为边的菱形，
请求出满足条件的点M的坐标．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ．与 轴交
于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 是第二象限内抛物线上的一点，当点 到 ， 距离相等时，求点 的坐标；
(3)如图2，点 在抛物线上，点 在直线 上，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使四边形 为
菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与 轴于 ， 两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的
坐标；
(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、
C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题八 二次函数中正方形的存在性问题】
【例8】（2023·陕西西安·校考三模）如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C．点B坐标为 ，点C坐标为 ，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点M是抛物线上的动点，过点M作 轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存
在点Q，使得以线段 为对角线的四边形 为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请
说明理由．【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函
数的不动点．已知抛物线 ．
(1)若抛物线经过点 ，求该抛物线的顶点坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴
的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形 为正方形时，求B点的坐标．
(3)若抛物线 有两个相异的不动点a、b，且 ，求m的取值范围．
2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，直线 与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点
N，连接 ， ．
(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．
(2)当 时，求点M的横坐标．
(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形 是正方形．若存在，请直接写出点G的坐
标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·四川成都·校考三模）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ，抛物线 经过 两点， 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点 满足 ，求点 的坐标；
(3)设 是抛物线的对称轴上一点， 是坐标平面内一点，若四边形 是正方形，求此正方形的面积．
