文档内容
专题 06 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题..................................................................................1
题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题..............................................................................................5
题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题.............................................................................................11
题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题........................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对
边平行且相等或对角线互相平分性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差
相等）简化关系，注意动点范围。
3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及
图形合理性。
1．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 ， 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 是直线 下方抛物线上的一动点，连接 ， ，当 的面积最大时，求点 的坐标；
(3) 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ，顶点
为 ，连接 ， 与抛物线的对称轴交于点 ．(1)求点 、点 的坐标和抛物线的对称轴；
(2)求直线 的函数关系式；
(3)点 为线段 上的一个动点，过点P作 交抛物线于点 ．设点 的横坐标为 ；用含 的代
数式表示线段 的长，并求出当 为何值时，四边形 为平行四边形？
题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相
平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消
元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理
性。
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C，连接
，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接 ，则 ________
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点 为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点
Q的横坐标．
4．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），点 、 的坐标分别是、 ，与 轴交于点 ，点 的坐标是 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
(3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 ， ， ， 为顶点的四边
形是以 为边的矩形，求点 和 的坐标．
题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂
直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂
直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结
合图形验合理性。
5．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 下方的抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以 为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于
直线 对称．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D
①当三角形 面积最大时，请求出点C的坐标和三角形 面积的最大值．
②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若
不存在，说明理由．
题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角
线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，
结合图形限动点范围。
3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理
性。
7．如图，抛物线经过 三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线 交y轴于点G，M是线段 上动点， 轴与抛物线 段交于点N． 轴于F，
轴于H，当四边形 是正方形时，求点M的坐标
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于 两点（点 在点 的左边），与 轴相交于点
，且抛物线的顶点坐标为 ．(1)求抛物线的表达式；
(2) 是抛物线上位于第四象限的一点，点 ，连接 相交于点 ，连接 ．若 与
的面积相等，求点 的坐标；
(3) 是抛物线上的两个动点，分别过点 作直线 的垂线段，垂足分别为 ．是否存在点
，使得以 为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点
C，直线 经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形
是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线： 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ，顶点为D．(1)求此函数的关系式；
(2)在 下方的抛物线上，是否存在一点N，使 面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于
点C，连接 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P为直线 上方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐
标．
4．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形 放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点 ， 的坐标
分别为 ， ，抛物线 经过点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点 与点 （点 ， 除外）使四边形 为正方形？若存在，请求出 ， 的
坐标；若不存在，请说明理由．5．已知，如图1， 为平面直角坐标系的原点，过定点 的直线 与抛物线
交于点 （点 在点 左侧）．
(1)若 ，则求直线 的解析式；
(2)若 ，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行
四边形，若存在，求 点的坐标，若不存在，请说明原因；
(3)如图2，分别过点 作与抛物线 均有唯一公共点的直线 ，直线 的交点为 ，若 ，求
的值．
6．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且点 坐标为
，点 坐标为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴的负半轴
交于点 ，且 ，点 是直线 下方抛物线上的一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接 ，并将 沿 轴对折，得到四边形 ，是否存在点 ，使四边形 为菱形？
若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点 运动过程中，当四边形 的面积最大时，求出此时点 的坐标和四边形 的最大面积．
8．如图1，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线 ，
在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接
写出所有满足条件的点E的坐标．
9．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，连接 ，点 为线段
上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段 的长，并求出线段 的最大值；(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值时，是否
存在这样的点M，N，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
10．综合与探究
如图1，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点 ．点
P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线
于另一点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)如图2，当点P在第二象限时，连接 ，交直线 于点F．当 时，求m的值．
(3)当点P在第三象限时，以 为边作正方形 ，当点C在正方形 的边上时，直接写出点D
的坐标．
