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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第一章 三角形的证明及其应用·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．等腰三角形有一个角是 ，则它的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．
根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，判断 角为顶角，进而计算底角．
【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为 ，
又∵ 角若为底角，则两底角之和为 ，不符合题意，
∴ 角为顶角，
∴两底角之和为 ，
∴每个底角为 ．
故选A．
2．如图，等边三角形 与互相平行的直线a，b相交，若 ，则 的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键．
过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点C作 ，
直线 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 30，
，
等边三角形 ，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，在 中， ，D是 上一点，且 ，若 ，则点D到 的距
离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答．
先作 于点E，然后根据角平分线的性质，即可得到点D到 的距离．
【详解】解：作 于点E，如图所示，
，
是 的角平分线，
， ， ，
，
即点D到 的距离6，
故选：C．
4．下列不能判定 是直角三角形的是（ ）
A．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 30B．如果 的三边长分别为a，b，c，且满足
C．
D．如果 的三边长分别为a，b，c，且满足
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为
直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定，
【详解】解：A项：设 ， ， ，则 ，解得 ，
∴ ，故 是直角三角形；
B项：由 ，得 ，
∴a为斜边，边长为a的边所对的角为 ，故 是直角三角形；
C项：∵ ，且 ，
∴ ， ，故 是直角三角形；
D项：设 ， ， ，
∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边，
∴ ， ， ，
∴不满足勾股定理，故 不是直角三角形，
∴不能判定 是直角三角形的是D，
故选：D．
5．如图，已知 ， ，若 和 分别垂直平分 和 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形
的内角和定理，由垂直平分线性质可得 ， ，所以 ， ，
通过三角形内角和定理可得 ，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上
知识的应用．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 30【详解】解：∵ 和 分别垂直平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6．如图，公路 和 互相垂直，点B和 的中点D被一个湖泊隔开，若公路 的长为10千米，则
B，D两点之间的距离为（ ）
A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，利用直角三角形斜边上的中线性质来求解B和D之间的
距离即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点D是 的中点， ，
∴ ．
故选：D．
7．某平板电脑支架如图所示， ， ．为了使用的舒适性，可调整 的大小．若
增大 ，则 的变化情况是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 30A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】D
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键．
根据等边对等角得到 ，由三角形外角的性质得到 ，所以当
增加 时， 和 各增加 ，当 增加 时， 减小 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 增加 时， ，
即 和 各增加 ，
∵ ，
∴当 增加 时， 减小 ．
故选：D ．
8．如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如果 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出 ．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ 平分 的外角 ， ，
∴ ,
∵ 是 的外角,
∴ ,
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 30∴ ．
故选： ．
9．如图，在 中， 的平分线交 于点 ，则下列结论不正确的是
（ ）
A． B．
C．点 一定在 的垂直平分线上 D． 是轴对称图形
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的判定及轴对称图形的概念，解题
关键是利用等腰三角形的性质推导各角的度数和线段关系．
先由 得 ；再由 平分 得 ，推导各角、
线段关系，结合垂直平分线判定、轴对称图形定义分析选项即可．
【详解】解： ，
，
平分 ，
，
，
故A选项正确；
，
，
点 在 的垂直平分线上，
故C选项正确；
，
是等腰三角形，
是轴对称图形，
故D选项正确；
在 中
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 30，
又 ，
，
故B选项不正确．
故选B．
10．如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与 相交于点O，
与 交于点G， 与 相交于点F，连接 ， ．下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找
全等三角形解决问题．
首先判定 ，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理 ，得到
是等边三角形，即可得到②正确，又由 ，可得④正确．
【详解】解：∵ 和 是等边三角形，
， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 30在 和 中，
，
，
，故①正确；
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故②正确；
在 和 中，
，
，
，故③不正确；
，
，
，
，
，
故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 30【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换
后即可得逆命题．
【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余，
交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
12．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在 上，两把直尺的接触点为 ，边 与其中一把
直尺边缘的交点为 ，点 和 在这把直尺上的刻度数分别是 和 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】作 交 于点 ，结合角平分线的判定定理得 平分 ，结合平行线性质推得
，即可根据等角对等边得解．
【详解】解：作 交 于点 ，
依题得： ， ， ，
点 在 的平分线上，即 平分 ，
，
又 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的判定定理、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握角
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9 / 30平分线的判定定理．
13．如图，已知 ， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /37度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解
题的关键．延长 交 于点 ，根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任
一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，
，点D，E可在槽中滑动，若 ，则 为 度 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键．
设 ，根据等腰三角形的性质可得， ， ．由三角形外角的性质可得，
， ，计算出x的值即可．
【详解】解：设 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10 / 30∵ ，
∴ ， ．
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， 的面积为21， 的垂直平分线分别交 、 于点M、N，若
点P和点Q分别是线段 和 边上的动点，连接 ， ，则． 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最
短问题转化为垂线段最短．
连接 ， ，设 中 边上的高为h，利用三角形的面积公式求出 ，由题意 ，
求出 的最小值，可得结论．
【详解】解：连接 ， ，设 中 边上的高为h，
∵ 面积为 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11 / 30∴ ，
，
垂直平分线段 ，
，
，
当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
∴此时 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
16．如图， ， ， ，点 在四边形 的边上，若 是等腰三角形，
则 的度数是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是关键，
注意分类讨论；分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质、三角形内角和、平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，当 时，此时点E在边 上时，
∴ ；
当 时，此时 点E与点C重合时，
∴ ，
当 重合时，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12 / 30∴ ，
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图所示，已知 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点E，交 于
点F，连接 ．
(1)试判断 是什么三角形？并说明理由；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂
直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，得到
，即可得出结论；
（2）根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13 / 30又∵ ，
∴ ，
∴ ．
18．如图，在 中， ， ， ，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 于
点M，交 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧在 的内部相交
于点D，作射线 交 于点E．
(1)求 的长；
(2)求 的面积．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题考查角平分线的尺规作图，三角形全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握基本性质是解题
关键．
（1）根据勾股定理求出 的长即可；
（2）过点E作 于点F，由作图可得 是 的角平分线，根据角平分线的性质得到
，从而证得 ，得出 ，设 ，则 ，根据勾股
定理得出 ，求出x的值，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ；
（2）解：过点E作 于点F，如图所示：
由作图可得 是 的角平分线，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14 / 30∵ ， ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
19．如图，在 中， ， 于 ， 平分 ，交 于点F，交 于点E．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得出 ， ，确定 ，再由各角之间的
等量代换及等角对等边判断即可．
（2）根据邻补角得出 ，确定 ，得出 ，即可求解．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15 / 30【详解】（1）证明： ∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
20．如图， 于点 ， 于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，
（1）由题所给条件可得 ，即得 ；
（2）证明 ，结合（1）可得 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16 / 30，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 和 中，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．如图，在边长为 的等边 中，点P，Q分别是边 上的动点（端点除外），点P从顶点
A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为 ，连接 交于点M，在点P，Q运动的过程中．
(1)求证： ．
(2)连接 ，当点P，Q运动______秒时， 是直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2) 秒或 秒
【分析】（1）依题意得： ，根据等边三角形性质得 ， ，由此可依据“
”判定 和 全等；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17 / 30（2）设点P，Q运动的时间为t秒，则 ， ，再分两种情况讨论如下：①当
时，在 中，根据 得 ，即 ，即可；②当
时，在 中，根据 得 ，即 ，即可．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含有 角的直角三角形的性质，理解等
边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含有 角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】（1）证明：依题意得： ，
是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
；
（2）解：设点P，Q运动的时间为t秒，
，
为等边三角形，且边长为 ，
， ，
，
当 是直角三角形时，有以下两种情况，
①当 时，如图1所示：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18 / 30在 中， ，
，
，
解得： ，
即当点P，Q运动 秒时， ，此时 是直角三角形；
②当 时，如图2所示：
在 中， ，
，
，
解得： ，
即当点P，Q运动 秒时， ，此时 是直角三角形，
综上所述：当点P，Q运动 秒或 秒时， 是直角三角形．
故答案为： 或
22．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形
为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点．
【特例感知】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19 / 30（1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形；
②如图1，已知 为勾股高三角形，其中点 为勾股顶点， 是 边上的高．若
，试求 的值；
【推广应用】
（2）如图2，等腰三角形 为勾股高三角形，其中 为 边上的高，过点 作
交 边于点 ．若 ，试求线段 的长度．
【答案】（1）①是；②32；（2）
【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）①根据勾股高三角形的定义即可判断；
②根据勾股定理得到 ，再由 可得 最后由
，计算即可得到答案；
（2）过点 作 于 ，证明 为等腰三角形， ，即可解决问题．
【详解】解：（1）①等腰直角三角形是勾股高三角形．
设等腰直角三角形的直角边长为 ，
则斜边长为 ，
，
等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20 / 30②∵ 为勾股高三角形，点 为勾股顶点， ，
（2）如图，过点 作 ，垂足为点 ．
∵等腰三角形 为勾股高三角形，
且 ，
∴只能是 ，由（1）②知 ．
又
， ，
而 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
根据三线合一原理可知 ．
又 ，
23．综合与探究
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21 / 30【感知】如图1，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
【应用】
(1)若 ，则 ；若 ，则 ；
(2)求 与 之间的关系并证明；
【拓展】
(3)如图2，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，求 与 的数
量关系．
【答案】(1) ； ；
(2) ，证明见解析；
(3)
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是
解题的关键．
（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【详解】（1）解：若 ，
∵ 分别是 和 的平分线， ， ，
∴ ，
∴ ．
若 ，
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22 / 30∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）解： ；理由如下：
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴
；
（3）解： ．
如图，延长 ，交于点E，由（2）知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23 / 30，
即 ．
24．如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交 于点 ， 平分 ，交
的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与 相交于点 ．
(1)若 ， ，则 ______°， _____°；
(2)求证： ；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3) 的度数为 或 或 或
【分析】（1）根据 ， ，可求出 ，再根据 平分 ， 平分 ，
，可求出 ， ，进而可求出 ；再根据 平分 ，可得出 ，
进而求出 ．
（2）设 ，根据三角形内角和定理对 进行表示，再根据 平分 ， 平分 ，
，可求出 ， ，再根据三角形外角的性质求出 ，根据 ，求出 ，
将 与 相较即可证明．
（3）由（2）可知 ， ，则 的内角为 ， ， ，根据题意分类
讨论即可．
【详解】（1）解： ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24 / 30，
平分 ，
，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，即 ，
．
答： ， ．
（2）证明：设 ，则 ．
，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 25 / 30，
，
，
，即 ，
，
．
（3）解：设 ，则 ， ．
,
可分类讨论：
①当 时，
，
解得 ，
；
②当 时，
，
解得 ，
③当 时，
，
解得 ，
;
④当 时，
，
解得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 26 / 30综上可知 或 或 或 ．
答： 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和
差运算与代数推导是解题关键．
25．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作
，垂足为 ，延长 交 于点 ，可根据___________，证明 ，则
（即点 为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 于 ，若 ，通过上述构造全等的办法，
可求得 ___________．
【拓展延伸】
如图3， 中， 平分 ，垂足 在 的延长线上，试探究
和 的数量关系，并证明你的结论．
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：
①用量角器取 的角平分线 ；
②过点 作 于 ．已知 面积为26，则划出的 的面积是___________．
【答案】问题情境： ；类比解答： ；拓展延伸： ，证明见解析；实际应用：10
【分析】问题情境：证 ，得 ， 即可；
类比解答：延长 交 于点 ，由问题情境可知， ，再由等腰三角形的性质得
，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 27 / 30拓展延伸：延长 、 交于点 ，证 ，得 ，再由问题情境可知，
，即可得出结论；
实际应用：延长 交 于 ，由问题情境可知， ， ，则 ，再由三角
形面积关系得 ，再求解即可得出结论．
【详解】解：问题情境： 平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ；
类比解答：如图，延长 交 于点 ，
由问题情境可知， ，
，
，
，
故答案为： ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 28 / 30拓展延伸： ，证明如下：
如图，延长 、 交于点 ，
则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
由问题情境可知， ，
；
实际应用：如图，延长 交 于 ，
由问题情境可知， ， ，
，
，
∴
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 29 / 30，
∴ ，
答： 的面积是10．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 30 / 30
