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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第四章 一次函数·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，其中是
一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2 E．1
【答案】C
【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如 ，
），逐一判断即可．
【详解】解：① 可化为 ，符合一次函数定义；
② 不符合一次函数定义；
③ 可化为 ，符合一次函数定义；
④ 化简为 （ ），定义域不全为实数，不符合一次函数定义；
⑤ 展开化简为 ，符合一次函数定义；
⑥ 不符合一次函数定义．
综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C．
故选：C．
2．下列各图给出了 与自变量 之间的对应关系，其中能表示 是 的函数的是（ ）
A．②④ B．①③ C．①④ D．③④【答案】C
【分析】本题考查了函数的概念，函数图象的识别，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量
y都有唯一的值与它对应，即可解答．
【详解】解：①对于自变量 的每一个值，因变量 都有唯一的值与它对应，所以 是 的函数，故①符
合题意；
②对于自变量 的每一个值，因变量 不是都有唯一的值与它对应，所以 不是 的函数，故②不符合题
意；
③对于自变量 的每一个值，因变量 不是都有唯一的值与它对应，所以 不是 的函数，故③不符合题
意；
④对于自变量 的每一个值，因变量 都有唯一的值与它对应，所以 是 的函数，故④符合题意；
故选：C．
3．一次函数 与 的图象在 轴上相交于同一点，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，由 得，当 时， ，由 得，当 时，
，又一次函数 与 的图象在 轴上相交于同一点，则有 ，然后化简即可，
掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由 得，当 时， ，
由 得，当 时， ，
∵一次函数 与 的图象在 轴上相交于同一点，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
4．如图，一个长方形菜园 ，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根 长的篱笆围成（接口处忽
略不计）．设 边的长为 ， 边的长为 ，则 与 的关系式为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式．
根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可．
【详解】解：∵三边总长恰好为 ，
设 边的长为 ， 边的长为 ，
．
故答案为：B．
5．若点 都在函数 （k为常数）的图象上，则m和n的大小关系
（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“ ， 随 的增大而增大； ，
随 的增大而减小”是解题的关键．利用偶次方的非负性可得出 ，进而可得出 ，利用一
次函数的性质可得出 随 的增大而减小，再结合 ，即可得出 ．
【详解】解： ，
，
，
随 的增大而减小．
又 点 ， 都在函数 为常数）的图象上，且 ，
．
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，把直线 沿 轴向下平移后得到直线 ，如果点 是直线上的一点，且 ，那么直线 的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线平移时 的值不变，只有 的值发生变化．由直线平移时
值不变，设直线 的函数表达式为 ，再将 代入，得到 ，结合已知条件
，求出 的值，即可得答案．
【详解】解：∵直线 沿 轴向下平移后得到直线 ，
∴设直线 的函数表达式为 ，
∵点 是直线 上的一点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 的函数表达式为 ．
故选：B．
7．关于函数 ，给出下列结论：
①当 时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点 ；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是 ；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是 ．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义
即可求解；②根据 即可求解；③图象经过二、三、四象限，则 ， ，即可求解；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则 ，即可求解．
【详解】解：①根据一次函数定义： 函数为一次函数，故正确；
② ，
当 时， ，
故函数过 ，故正确；
③图象经过二、三、四象限，则 ， ，解得： ，故正确；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则 ，解得： ，故正确．
故选：D．
8．如图，直线 与x轴、y轴交于A，B两点，在y轴上有一点 ，动点M从A点出发以
每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当移动到 与 全等时，移动的时间t是（ ）
A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质；由直线的函数解析式，令 求A点坐
标， 求 B点坐标，根据题意可知， ，分为两种情况：①当M在 上时，②当M在
的延长线上时，再结合全等三角形性质计算即可．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当 时， ；
当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴必有 ，
分为两种情况：
①当M在 上时， ，
∴ ，
动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ∴ ，
②当M在 的延长线上时， ，
则 ，
此时所需要的时间 秒，
故选：D．
9．如图①，在长方形 中，动点P从点A出发，匀速沿 的路径运动，到点A处
停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形
的面积是（ ）
A．12 B．14 C．24 D．28
【答案】D
【分析】本题考查动点的函数图象，当点P从A运动到B时，y随x的增大而增大，从B运动到C时，y保
持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】解：由图可知， ， ，
长方形 的面积是 ，
故选：D．
10．小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力
与石块下降的高度 之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时 ，当石块入水后， ），则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降 时，石块在水里
B．当 时， 与 之间的函数关系式为
C．石块下降 时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为 时，石块距离水底
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段 的解析式，进而逐项分析判
断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键．
【详解】解：A、由题图可知，石块下降到 时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意；
B．当 时，设 所在直线的函数表达式为： ，
则 ，
解得 ，
∴ ，故选项B说法错误，不符合题意；
C．当石块下降的高度为 时，即 时， ，
此时石块所受浮力是 ，故选项C说法错误，不符合题意；
D．当弹簧测力计的示数为 时， ，解得 ，
石块距离水底的距离为 ，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 在正比例函数 图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题重点考查正比例函数图象上点的坐标特征，牢记正比例函数 中比例系数 为定值，
并利用坐标代入求比值是解题的关键．
将 代入 ，再求比值即可．
【详解】因为 在正比例函数 图象上，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
12． 表示一次函数，则m等于 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的定义：形如 的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键．
根据一次函数的定义解答．
【详解】解：∵ 表示一次函数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
13．一棵小树苗高15厘米，如果以后每年长高10厘米，则高度 （厘米）与生长时间 （年）之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
先计算生长时间为x年时小树苗长高的高度，再将长高的高度与初始高度相加，即可得到高度h与生长时
间x之间的关系式．
【详解】解：由题意得高度 （厘米）与生长时间 （年）之间的关系式为： ，
故答案为： ．
14．如图，一次函数 的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若 ， ，则关于x
的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交
点的横坐标是解题的关键．
利用函数图象， 函数值为0，则于x的方程 的解为 ．
【详解】解：∵一次函数 的图象与x轴相交于点 ，
∴关于x的方程 的解为 ．
故答案为： ．
15．在同一平面直角坐标系中，正比例函数 和 的图象如图所示，则 的大小关
系是 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断 的符号，再根据直线的平缓趋势判断 的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小．
【详解】解：由直线经过的象限知： ，
∵根据直线越陡， 越大，
，
∴ ，
故答案为： ．
16．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在直线 上第一象限内的一个动点，
当 为等腰三角形时，则点 的坐标可以是 ．
【答案】 、 或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理求得两点距离，设 ， ，根据两点距离公
式分别求得 ，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】解：如图
∵点 ，点 ，
∴
∵点 在直线 上第一象限内的一个动点，
设 ，
∴①当 时，
解得： ，
∴点 的坐标 ，
②当 时，
解得： （负值舍去），
∴点 的坐标 ，
③当 时，
解得： （负值舍去），
∴点 的坐标 ，
综上所述，点 的坐标为 、 或
故答案为： 、 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)试判断点 是否在该函数的图像上．
【答案】(1) 与 的函数解析式为
(2)点 不在函数 的图像上，理由见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，正比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识．
（1）先设 与 的函数表达式为： ，把 代入求出 ，然后把结果变成 的形式
即可；
（2）令 ，求出对应的 值，再与点 的 值对比，即可判断．【详解】（1）解：设 与 的函数表达式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
，即 ，
与 的函数解析式为： ；
（2）解：点 不在函数 的图像上，理由如下：
令 ，则 ，
，
点 不在该函数的图像上．
18．已知：一次函数的图象与直线 平行，且通过点 ．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点 和 在一次函数的图象上，求m，n的值．
【答案】(1)
(2) ， ．
【分析】（1）两直线平行时，其函数解析式的一次项系数相等，设所求一次函数解析式为 ，将
点 代入求 即可；
（2）将点 和 分别代入（1）中的函数解析式，可求 ， 的值．
本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，一次函数平移的性质，点的坐标与一次函数解析式的
关系的问题．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线 平行，
设所求一次函数解析式为： ，
将点 代入，得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为： ；
（2）解：将点 和 代入 中，
得： ； ，
故 ， ．
19．如图，在三角形 中， 为 边上的高， ， ，P为线段 上一动点（不与点B，
C重合）．连接 ，随着 长度的变化，三角形 的面积也在变化．
(1)若设 ，三角形 的面积为y，请写出y与x之间的表达式．
(2)当 时，求三角形 的面积．
【答案】(1)
(2)当 时，三角形 的面积为12
【分析】本题考查了函数关系式，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为 为 边上的高，且三角形的面积等于底乘高乘 ，进行列式化简，即可作答．
（2）结合 ，且将 代入y与x之间的表达式 ，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵在三角形 中， 为 边上的高，
∴三角形 的面积为 ，
即 ．
（2）解：∵ ，
∴将 代入y与x之间的表达式 中，得 ．故当 时，三角形 的面积为12．
20．如图，直线 分别与 轴、 轴相交于点 和点 ，直线 与
直线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，已知点 的纵坐标为3．
(1)求直线 对应的函数表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了两直线的相交问题、运用待定系数法确定函数的解析式、坐标与图形等知识点，
掌握数形结合是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求出直线 的解析式，再求出点P的坐标，即可求得直线 对应的函数表达式；
（2）由直线 的解析式，可求得点C的坐标，然后可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：∵直线 分别与 轴， 轴相交于点 和点 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ．
∵点P的纵坐标为3，且直线 经过P点，
∴ ，解得： ，
∴ ，
将 代入 ，可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
（2）解：∵直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ,
∴ ,
∴ 的面积为： ．
21．一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙
地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，
两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离 和货车行驶时间 之间的函数图象如图①所示．
(1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ；
(2)求线段 表达式；
(3)在图②中，画出货车离乙地的距离 和行驶时间 之间的函数图象．
【答案】(1)60；80(2)
(3)见解析
【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度；
（2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解；
（3）求出 ， 时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可．
【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为 ，
轿车的速度为 ；
（2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了 ，
轿车修好后到达甲地所需时间为 ，
，
，
货车2小时行驶的路程为 ，
，
，
设线段 的函数表达式为 ，
把 ， 坐标代入解析式得： ，
解得 ，
线段 的函数表达式为 ；（3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为 ，
时， ，
时， ，
货车离乙地的距离 和行驶时间 之间的函数．
图象如图②：
22．某商业集团准备购进A， 两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利
润如表：
打印机 利润 商场 甲商场 乙商场
A款（元/台） 95 60
款（元/台） 70 45
为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台 款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30
台给乙商场．
(1)设该集团调配给甲商场A款 台，求总利润 与 的函数关系式．
(2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值．
②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款， 款每台分别让利 元和 元（ ），其他销售利润
不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时 的值．
【答案】(1)
(2)①要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A
款0台，B款30台，最大利润为7250元；②【分析】（1）根据总利润等于单个的利润×总数量列出关系式即可；
（2）①根据一次函数的增减性，结合x的取值范围求出结果即可；
②先列出y与x的函数关系式并整理得出 ，根据销售总利润与调配方案无关，
得出 ， ，根据当 时，y的值最大，求出a的值即可．
【详解】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，根据题意得，
，
即 ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值，其最大值为 （元），
∴要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0
台，B款30台；
②
∵销售总利润与调配方案无关，
∴ ， ，
∵ ，∴当 时，y的值最大，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，熟练掌握一次函数的增减性．
23．浮箭漏（如图①）由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水
位逐渐上升，箭尺匀速上浮，通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从
函数角度进行了如下实验探究．研究小组每 记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为 ），得到如表：
供水时间 0 2 4 6 8
箭尺读数 6 18 30 42 54
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间 ，纵轴表示箭尺读数 ，描出以表格中数
据为坐标的各点，并连线；
(2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；
(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午 那么当箭尺读数为 时是几点？
【答案】(1)见详解(2)一次，函数解析式为
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
（1）由表格描点，连线即可；
（2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式；
（3）求出 时的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：根据图象可得它是一次函数，
设解析式为 ，
当 ，
则有： ，
解得： ，
∴解析式为： ，
故答案为：一次，函数解析式为 ．
（3）解：当 时，即 ，解得： ，
即经过 ，箭尺读数为 ，
∵本次实验记录的开始时间是上午 ，
∴当箭尺读数为 时是 ．
24．如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且经过定点 ，直
线 与 交于点 ．
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)求 的面积；
(3)若动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 秒，
是否存在 的值，使 和 的面积比为 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；4；2
(2)6
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）分别求出 和 的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答．
（3）分两种情况：①点 在线段 上，②点 在线段 的延长线上，由 和 的面积比为
，即可求解．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积等知识，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线 经过定点 ，，
，
直线 ，
直线 经过点 ，
，
，
把 代入 ，得： ，
解得： ，
故答案为： ；4；2；
（2）解：∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（3）解：存在，
动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位的速度运动，直线 ，，
，
，
点 的运动时间为 秒，
，
分两种情况：点 在线段 上，
和 的面积比为 ，
，
，
，
；
点 在线段 的延长线上，
和 的面积比为 ，
，
，
，
，
综上：存在 的值，使 和 的面积比为 ， 的值为 或 ．25．如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把 沿 折叠，
点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线 交直线 于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是
直线 上的一动点．
(1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．
(2)求 的面积，
(3)连接 ． 与 全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)所有满足条件的点Q坐标为 或 或
【分析】（1）当 时， ，即 ，当 时， ，解得 ，即 ，由勾股定
理可得 ，设 ，则 ，由折叠的性质可得 ， ，求出
，再由勾股定理计算即可得解；
（2）求出直线 的表达式为 ，联立 求得 ，再由三角形面积公式计算即
可得解；
（3）用勾股定理逆定理证明得出 为直角三角形，且 ，分三种情况：当点 在 的延
长线上时，当 时，过点 作 轴，过点 作 轴；当点 在 的延长线上时，
当 时，过点 作 轴；当点 在 上时，当 ；分别利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，即 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由折叠的性质可得 ， ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：设直线 的表达式为 ，
由（1）可得： ， ，
代入表达式可得 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，∴ ；
（3）解：由（1）（2）可得： ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∵ 与 全等（点P与点C不重合），
∴当点 在 的延长线上时，当 时，过点 作 轴，过点 作 轴，如图：
，
∵ ，
∴ ，
把 代入 可得， ，
此时 ；
当点 在 的延长线上时，当 时，过点 作 轴，如图：
，由题意可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
把 代入 可得， ，
此时 ；
当点 在 上时，
∵点 与点 不重合，
∴ 不存在；
当点 在 上时，当 ，如图：
，
∵ ，
∴ ，
∴把 代入 可得， ，
此时 ；
综上所述，所有满足条件的点Q坐标为 或 或 ．
