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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第一章 三角形的证明及其应用·基础通关
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若等腰三角形的顶角等于 ，则它的底角等于（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180度即可求出答案．
【详解】∵等腰三角形两底角相等，
设底角为 ，则顶角为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故底角为 ．
故选：B．
2．若一个多边形的每个外角等于 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理.
根据多边形的外角和定理，即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和等于 ，每个外角为 ，
∴边数 ．
故选：B．
3．若 的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 24根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】解：A、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，此项不符合题意；
B、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，此项不符合题意；
C、∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，此项不符合题意；
D、∵ ，
∴最大角 ，
∴ 不是直角三角形，此项符合题意；
故选：D．
4．如图，在 中， ， 是 边上的中线，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据 ， 是 边上的中线，得
，故 ，即可作答．
【详解】解：∵ ， 是 边上的中线，
∴ ，
即 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 24故选：C．
5．如图， ， 于点F，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据 得出 ，再利
用三角形内角和定理即可求得 的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由三角形内角和定理可知： ．
故选：C．
6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键．
首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得 的度数即可．
【详解】解：如解图，设 与 交于点E，
根据题意可知， ， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 24∴ ，
在△AEB中， ，
故选：C．
7．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，连接 ．若 的周长是
， ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等．
先根据垂直平分线的性质得出 ，再根据 的周长是 ， 即可求解．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∴ 的周长= ．
故选：A．
8．如图，点 在 的内部，点 ， 分别在 ， 上，且 ，若只添加一个条件即可证明
和 全等，那么这个条件不可以是（ ）
A． 平分 B．
C． D．
【答案】C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 24【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
A. 平分 则 ，根据 可以证明 和 全等
B. ，根据 可以证明 和 全等
C. ，SSA不能证明 和 全等
D. ，根据 可以证明 和 全等
故选：C．
9．如图， 平分 且 于点 ， ， ， 的周长为32，则 的
长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系．
由已知得 ， ，则 ，所以 ，则 ，即可求得 ．
【详解】∵ 平分 且 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴∵ ，
∴ ，
∵ ， 的周长 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 2410．如图，在 和 中， ， ， ，C，D，E三点在同一条
直线上，连接 ， ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角
形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质．
由 ， ，利用等式的性质得到夹角相等，利用 得出 与 全等，由全等三
角形的对应边相等得到 ，①结论正确；由 与 全等，得到 ，由等腰直
角三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，②结论正确；由②结论再
加上 等于 ，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到 ，③结论正确；④结论正
确，利用周角减去两个直角可得答案．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故①正确．
②∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 24故②正确．
③由②知， ，
∴ ，
∴ ，
故③正确．
④∵ ，
∴ ，
故④正确．
故①②③④都正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，则 的度数是
．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出 的度数，
再利用角平分线的定义求出 的度数即可解答．
【详解】解： 在 中， ， ，
，
是 的角平分线，
，
故答案为： ．
12．直角三角形斜边长是10，则该三角形中 的角所对的直角边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了含 的直角三角形，勾股定理，熟知 所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
先求得 所对的直角边，再利用勾股定理即可．
【详解】解：在直角三角形中，若一个角为 ，则另一个锐角为 ，
所以 的角所对的直角边长是 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 24根据勾股定理可得 的角所对的直角边长是 ，
故答案为： ．
13．如图，在 中， 垂直平分 ，在 中， 垂直平分 ，若 ， ，则
的周长为 ．
【答案】22
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据垂直平分线的性质得到 ， ， ，进而求解即可．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：22．
14．如图，在 的正方形网格中，A，B是两个格点，连接 ，在网格中找到一个格点C，使得
是以 为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个．
【答案】5
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数
学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
根据网格结构，分别以A、B为圆心， 为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【详解】解：如图，以 为等腰 其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 24故答案为：5．
15．如图， ， 平分 ， 于 ， ，已知 ，则 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中 锐角所对直角边等于斜边的一半，作
辅助线是关键．
由 得 ，由角平分线的定义和平行线的性质易得 ，
，作 于 ，根据角平分线的性质可得， ，在 中，易得
，即可求解．
【详解】解：作 于 ，
平分 ，
，
∵
，
，
，
，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9 / 24，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为：2．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 是长方形，点A，C的坐标分别为 ，
，点D是 的中点，点P在 上运动，当 是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为
．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键．
根据题意分为三种情况： 或 或 ，进行作图求解即可．
【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时 ，如图，
在 中， ， ，
∴ ，
∴P的坐标是 ；
②以D为圆心，以5为半径画弧交 于 和 点，此时 ，如图，过 作
于N，过 作 于M，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10 / 24由作图可知四边形 和四边形 为长方形，
∴ ， ， ， ，
在 中，设 ，则 ， ， ，
∴ ，
解得 ，
则 的坐标是 ；
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
解得 ，
， ，
即 的坐标是 ；
③假设 ，则由 点向OD边作垂线，交点为 ，如图，
则有 ，
，
此时的 为等边三角形，
∴ ， ， ，
代入 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11 / 24得 ，
∴排除此种可能．
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图，在 和 中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据 的判定方法进行证明即可；
（2）由（1）知 ，根据全等三角形的性质证得 ，根据余角的性质求解
的度数即可．
【详解】（1）解：在 和 中，
；
（2）解：由（1）知 ，
，
，
，
．
18．如图，在 中，边 、 的垂直平分线分别交 于D、E．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12 / 24(1)若 ，求△ 的周长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)10
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意：线段垂
直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
（1）根据线段垂直平分线性质得出 ，求出 的周长 ，即可得出答案；
（2）由 ，即可得 ，又由 ，即可求得 的度数．
【详解】（1）解：在 中，边 的垂直平分线分别交 于D、E，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长为
；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．如图， 中， 的垂直平分线 分别交 、 于点 、 ，且 ．
(1)求证： ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13 / 24(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅
助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解．
(1)连接 ，根据线段垂直平分线的性质可知 ，根据 可得 ，根
据勾股定理的逆定理可以判断结论成立；
(2)设 ，可得 ，根据 ，可得： ， ，根据勾股定理
可得关于 的方程 ，解方程求出 的值，即可得到 的值．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接 ，
的垂直平分线 分别交 、 于点 、 ，
，
，
，
，
是直角三角形，且 ；
（2）解： ， ，
设 ，则 ，
，
，
在 中， ，
即 ，
(负值舍去)，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14 / 24．
20．如图，在 中， ， 分别是 ， 的外角平分线，
(1)若 ， ，那么 ___________．
(2)若 ，求 的度数 用含α的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义．
（1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出 ， ，再通过三
角形内角和定理求得结果；
（2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出 的表达
式．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， 分别是 ， 的外角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15 / 24∴ ，
∴ ，即 ．
21．如图，在 中， ， ， 是 的中点．动点 、 从点 出发，以每秒1
个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点 ．连接 、 和 ．设点 的运动时间为 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 是等腰三角形，直接写出 的大小．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合等边对等角得 ，再由线段的中点得 ，即可证明 ，故
，即可作答．
（2）先得出 ，结合 是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等
角进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∵ 是 的中点．
∴
∵动点 、 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点 、终点 ．
∴ ，
则 ，
即 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16 / 24∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：连接 ，
∵ ， 是 的中点．
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
依题意，当 时，
则
∴ ；
依题意，当 时，
则
∴ ；
依题意，当 时，
则
∴ （舍去）；
综上： 是等腰三角形，则 或 ．
22．如图， 中， 的角平分线 和 边的中垂线 交于点 ， 的延长线于点 ，
于点 ．
(1)求证： ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 17 / 24(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）连接 ， ，由 ， ，可得 ， ，由
是 的中垂线可得 ，即可证 ，得 ；
（2）设 ，则 ， ，易证 ，得 ，由
，代入列方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ， ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中垂线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ， ，
在 和 中，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 18 / 24，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ．
23．已知四边形 （其中 ）的四个内角 的度数之比为 ．
(1)如图1，求出四个内角的度数；
(2)如图2，将四边形 的 沿 折叠，点 落在四边形内点 的位置，请求出 与 的和；
(3)如图3，将四边形 沿 折叠，点 刚好落在 边上 的位置， 交 于 ，连接 ，若
，试判断 的形状，并加以证明．
【答案】(1)
(2)
(3) 是等腰三角形；见解析
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、多边形内角和以及比例：
（1）设 ，根据度数之比设 ，根据内角和列方程求解即可；
（2）由折叠性质得到 ，根据角度之间的关系列出等式，
结合三角形内角和得出 与 的和；
（3）由折叠的性质得到 ，证明 即可判断．
【详解】（1）解：设 ，
∵ 的度数之比为 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 19 / 24∵ ．
根据四边形内角和为 ，可得方程：
解得： ，
∵ ．
（2）解：由折叠性质可知： ，
∵ ；
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
（3）解： 是等腰三角形．
证明：由折叠性质可知： ，
∵ ，
∴ ；
即 ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
因此 是等腰三角形．
24．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿射线 以 的
速度运动，设运动时间为 秒．
(1) ______cm；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 20 / 24(2)若点 运动到 的中点时，求 的值；
(3)当 为直角三角形时，求 的值；
(4)当 为等腰三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)8
(2)
(3) 的值为4或
(4) 的值为5或8或
【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、分类讨论的思想方法的运用是解题
的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由（1）知 ，点 运动到 的中点时，得到 的长度，进而求出 的值；
（3）分两种情况讨论：①当 为直角时，点 与点 重合和②当 为直角时，分别求出此时的
的值即可；
（4）分三种情况讨论：①当 、② 和③ 时，分别求出 的长度，进而求出 的
值．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
故答案为：8；
（2）解：由（1）知 ，点 运动到 的中点时， ，
动点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，
则 ；
（3）解：根据题意可知 ， 为直角三角形如图：
①当 为直角时，点 与点 重合，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21 / 24则 ，即 ，
解得 ；
②当 为直角时， ， ，
则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
因此，当 为直角三角形时， 的值为 或 ；
（4）解：根据题意得， ， 为等腰三角形如图：
①当 时， ，
解得 ；
②当 时，
，
，
，
解得 ；
③当 时， ， 、 ，
在 中， ，
解得 ，
综上所述，当 为等腰三角形时， 的值为5或8或 ．
25．已知：在 中， ，点 ，点 分别在 ， 上，连接 ， ，交于点 ，
， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 22 / 24(1)如图1，证明 为等边三角形；
(2)如图2，过点 作 于点 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 交 延长线于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键；
（1）先证 ，再证 ，进而 为等边三角形；
（2）先证 ，再证 ，进而 ；
（3）在 上取一点 ，使 ，求得 ，再证 为等边三角形，再证 ，
进而 .
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 23 / 24又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：在 上取一点 ，使 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 24 / 24
