专题 05 二次函数与几何综合压轴十一大题型
题型1 二次函数与角相等 题型7 二次函数与等腰三角形存在性问题
题型2 二次函数与线段最值 题型8 二次函数与直角三角形存在性问题
题型3 二次函数与面积综合 题型9 二次函数与等腰直角三角形存在性问题
题型4 二次函数与平行四边形存在性问题 题型10 二次函数与全等三角形存在性问题
题型5 二次函数与菱形存在性问题 题型11 二次函数图像的变换综合问题
题型6 二次函数与矩形存在性问题
题型一 二次函数与角相等 （共 4 小题）
1．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知点A(-5,0)、C(-2,3)都在抛物线y=-x2+bx+c上，点P是
该抛物线的顶点，连接AP，CP，AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)△ACP是 三角形，并说明理由；
(3)点M是抛物线上的一个动点，当∠MCA=∠PAC时，求点M的坐标．
2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线y=ax2+bx-3经过A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA=2∠PAC
时，求满足条件的P点坐标．
3．（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A的坐标为
(-1,0)，且与y轴交于点C，直线y=-2x+3经过点C，与x轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为t(0<t<3)，求△ECD的面积的最大值及此
时点E的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点P，使∠PCD=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理
由．
4．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(-1,0)、点B(6,0)，与y轴相交于点C．
(1)填空：a= ___________，b= ___________；
(2)当t≤x≤t+1时，函数y=ax2+bx+3的最大值是5，直接写出t的值是___________；
(3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作EF⊥x轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛
物线对称轴左侧，过P作PM⊥x轴于M，交直线AE于点N．若∠ANM-∠FEB=∠PEA，求点
P的坐标．
题型二 二次函数与线段周长 （共 4 小题）
1．（2025九年级·宁夏·专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C．已知点A的坐标是(-1，0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依
题意补全图形，当MQ+❑√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
2．（九年级下·西藏·专题练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-x+3经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的
坐标．
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MPB的周长最短？若存在，请直接写
出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线 经过 、 两点．点
y=ax2+bx+c(a>0) A(4,0) B(-2,6) P(x ,y )
0 0
是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．
(1)若c=-4．
①求抛物线的解析式；
②求线段PQ长度的最大值；
③若t≤x ≤t+1，求x 取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x ）．
0 0 0
(2)若c≠-4，t≤x ≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
0题型三 二次函数与面积综合 （共 4 小题）
1．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，OA=OC=3，顶点为 D．
(1)求此抛物线的解析式；
27
(2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积为 ？若存在，请求出点N的
8
坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，其中
A点坐标为(-3,0)，与y轴交于点C，点D(-2,-3)在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若PA+PD最小，求P的坐标；
(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q，使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q
坐标，及△BDQ的最大面积；若不存在，请明理由．3．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线 过点 、 、
y=a(x-2) 2+k A(0,-1) B(m,-1)
C(5,-6)．连接AB，P是直线AB上方抛物线上的动点．过P作y轴的平行线交直线AC于点Q．
(1)求m，a，k的值；
(2)如图1，连接PA、PB、QB，求四边形APBQ面积的最大值；
(3)如图2，连接PA、BC、PC，PC与AB交于点D，则是否存在P点，使△PDA与△BCD面积相
等？若存在，请算出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点
P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速
度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
(1) AP= ，BP= ，BQ= ；
(2)t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
(3)t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？题型四 二次函数与平行四边形存在性问题 （共 3 小题）
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+2ax+3交x轴于A，B两点，交y轴于
点C，且AB=4．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点D在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知y轴上一点A(0,-2)，在x轴上有一动点M，
过点M作MP⊥x轴，AM的垂直平分线交MP于点 P．在点M的位置发生变化时，点 P的位置也
随之改变．
(1)试猜想点P的运动轨迹L是什么曲线?设点P(x,y)，求出y关于x的关系式；
(2)直线AB与x轴的夹角为45°且与曲线L交于第三象限的点 P ，求P 的坐标；
1 1
(3)在（2）的条件下，第三象限内是否存在点C，使以A、O、C、P 为顶点的四边形是平行四边
1
形，若存在，直接写出点C 的坐标，若不存在，说明理由．3．（九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，已知A(-1，0)，B(3，0)．
(1)求抛物线及直线BC的解析式；
(2)若P为抛物线上位于直线BC上方的一点，求△PBC面积S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，M为抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、
A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M的坐标．
题型五 二次函数与菱形存在性问题 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两
点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．1
2．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，
3
B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P为直线BC上方抛物线上一动点，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R
的坐标．
3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交
于A(-1,0)，B两点，与y轴交于点C，点D(3,4)为抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式
(2)连接BC，点Q为直线BC上方抛物线上一点，过点Q作QE⊥x轴于点E，作QF∥x轴交BC于
点F，求QE+QF的最大值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点D，点M
是新抛物线y'对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，
请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型六 二次函数与矩形存在性问题 （共 4 小题）
1．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴
交于点D，与直线AC交于点E．
(1)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为A'，此时点C'的对应点为C，求点C'的坐标，
判断四边形A A'CC'的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为
顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线 的图象经过 ， 两点，
y=ax2+bx+c(a≠0) A(1,0) B(3,0)
与y轴交于点C(0,6)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使以
A，P，Q，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左边），点A、B的坐标分别是(-1,0)、(3,0)，与y轴交于点C，点C的坐标是(0,3)，点D和点C关
于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四
边形是以AM为边的矩形，求点P和Q的坐标．
4．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数 是常数， 的图象与x轴分别
y=m2x2-2mx-3(m m>0)
相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为
D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．
(1)①线段AB的长为_______．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四
边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．题型七 二次函数与等腰三角形存在性问题 （共 4 小题）
1．（九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线y=ax²+bx-3（a、b为常数，且a≠0），与x轴交
于A(1，0)、B(-3，0)两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），
过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接CD、DB，当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得△PCD是以PC为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，
说明理由．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与
y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F，当线段EF最大时，
在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存
在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物
线经过三点A(1,0),B(5,0),C(0,4)．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点 的抛物线
(9,13) C :y=ax2+bx+1
1
（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=3．
(1)求抛物线C 的函数表达式和点D的坐标；
1
(2)将抛物线C 向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为E，连接
1 2 2
CE、DE，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，请求出m
的值；若不存在，请说明理由．题型八 二次函数与直角三角形存在性问题 （共 4 小题）
1
1．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A，
2
1
点B，与y轴交于点C，且直线y= x-2经过点B，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一个
2
动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当四边形CDNM为平行四边形时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以点Q, M, N为顶点的三角形是
直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-4,0),B两点，交y轴于点
C(0,4)．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于A(-1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,5)．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平
行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形
DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称
轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
4．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-4,0),B两点，交y轴于点C(0,4)．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求
出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接
AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．题型九 二次函数与等腰直角三角形存在性问题 （共 4 小题）
1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点A(-1,0),B(3,0)和C(2,3)，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)连接AD,CD，判断△ACD的形状；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合
条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0)，B(4,0)两点，与y轴
相交于点C，连接BC，点P为线段BC上方抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的
垂线l，交BC于点G，交x轴于点E．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形是等腰直角
三角形？并求出此时点P的坐标．3．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线
BC，其中点A(-1,0)，点C(0,-4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴
于点F，是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(-1,0)，点B(4,0)两
点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作
MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；
3
(2)连接BD，当t= 时，求△DNB的面积；
2
(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐
标．
题型十 二次函数与全等三角形存在性问题 （共 4 小题）
1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于
A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在直线AC上方，当四边形PABC面积最大时，求点P的坐标；
(3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当△PDQ与△AOC全等时，
求点P，Q的坐标．
2．（九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，直线y=-x+2与抛物线y=ax2+bx（a、b为常数且
a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，PD⊥x轴，交直线AB于点C，若PC=❑√2AC，求三角形
PBC的面积；
(3)在（2）的条件下，连接AP交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线PM交抛物
线于N，当△PCQ与△PMQ全等时，求点N的坐标．
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A出
发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作
PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为
S，点P运动时间为t（秒）．
(1)当点M与点B重合时，t=_______秒；
(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等；
(3)求S与t的函数关系式．
4．（2024·宁夏吴忠·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于
A、B两点(A在B的左侧)，其中点A(-2,0)，其顶点为P的横坐标为1，对称轴与x轴交于点H．(1)求此二次函数的解析式；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等?若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；
若不存在，请说明理由．
题型十一 二次函数图像的变换综合问题 （共 3 小题）
1．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线y=x2+bx与x轴交于点A，与直线OB交于点B(4,4)，过点A
作直线OB的平行线，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴交直线OB于点E，交直线AC于点Q，过
点Q作QF⊥OB于点F，连接DF，求△≝¿面积的最大值及此时点D的坐标．
(3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线
与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接GD，点P为新抛物线上一点，
连接DP交直线GN于点H，使得∠DHN=2∠DGN，直接写出所有符合条件的点P的坐标．2．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系xOy中点A、B的坐标分别是(4,0)和(0,2)．
(1)求出直线AB的解析式．
(2)过原点的抛物线W的顶点P在线段AB上，与x轴正半轴交于点Q．
（i）向右平移抛物线W得到抛物线W'，若W'同时过点Q和点A，求平移的距离和W'的表达式．
（ii）延长QP交y轴于点C，将线段OC绕原点逆时针旋转90°得到线段OC'．当△C'OP和
△AQP相似时，求点P的坐标．
3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， （ 为坐标原点），抛物
L :y=x2+2x x O A O
1
线L 与L 关于y轴对称，点B是抛物线L 在第三象限内的一点，连接BO并延长，交抛物线L 于点C．
2 1 1 2
(1)点A的坐标为_____，抛物线L 的解析式为_____，
2
(2)设点B的横坐标为x ，点C的横坐标为x ，若x =-1，求x -x 的值．
B C B C B
(3)将抛物线L 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线L ，L 与L 交于点D，
2 3 3 1
连接BD并延长交L 于点E，点E的横坐标为x ，试判断x -x 是否为定值．若是，请求出这个定值；
3 E E B
若不是，请说明理由．1．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与直线y=x+3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上，
抛物线的顶点为P．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+2ax-3a经过A(-2,3)，与y轴交于点B，连接OA，
AB．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线L'，设平移后点A，B的对应点分别为A' ，B'，若平移后抛物线L'的
3
顶点落在x轴上，且S = S ，求平移后抛物线L'的表达式．
△A'OB 2 △ABB'
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax2-2ax-3a与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．
(1)求点A的坐标．
(2)当OB=OA时．
①求抛物线C的解析式；
②连接BA，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作MN⊥BA于点N．当MN的长度最
大时，求点M横坐标的值．
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段PQ，且PQ∥x轴，点Q在点
P(-4,-1)的右侧．若线段PQ沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为d(d>0)．
①若抛物线C与线段PQ有公共点，求d的取值范围；
②若抛物线C与线段PQ没有公共点，直接写出d的取值范围．
4．跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展
深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶
端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动
时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据．
【收集整理数据】
运动时间t(s) 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v(cm/s) 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y(cm) 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v
与t之间的关系可以近似地用______________函数表示，y与t之间的关系可以近似地用
______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出v与t,y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线
运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
5．如图，抛物线y=ax2-2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为-1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移m(m>0)个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范
围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不
与点C重合），使得S =S ．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
△PAD △CAD6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点
C(0,-3)，且抛物线的顶点坐标为(1,-4)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0,-1)，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE
与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在
点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，
说明理由．
7．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点B的坐标为 ，点
y=ax2+bx-3(a≠0) (1,0)
C(2,5)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存
在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点O和点 ．
xOy y=ax2+bx+c(a≠0) A(3,3a)
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点N．
①若a=1，t=4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范
围．
