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专题 24.9 弧长和扇形的面积（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用弧长公式求弧长】..............................................................................................................................2
【题型2 利用弧长公式求长度】..............................................................................................................................3
【题型3 利用弧长公式求圆心角】..........................................................................................................................4
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】..................................................................................................................5
【题型5 利用扇形面积公式求面积】......................................................................................................................6
【题型6 求弓形面积】..............................................................................................................................................7
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】......................................................................................................................8
【题型8 不规则图形的面积计算】........................................................................................................................10
知识点 1 弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是
2πR πR n nπR
，即 ，于是n°的圆心角所对的弧长为l= ⋅2πR= ，弧长为l的弧所对的圆心角为
360 180 360 180
180l
n= 度．
πR
知识点 2 扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所以圆
πR2 nπR2
心角是1°的扇形面积是 ，于是圆心角为n°的扇形面积是S = ，还可以用弧长表示扇形面积
360 扇形 3601
S = lR，其中l为扇形的弧长．
扇形 2
【题型1 利用弧长公式求弧长】
【例1】（2025·青海·中考真题）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接
BD，∠A=∠B=30°．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)已知BC=2，求D´C的长（结果保留π）．
【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时
催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为
O）．已知不倒翁的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B．若该圆的半径是3cm，∠P=60°，则
AM´ B的长是（ ）
A．6πcm B．4πcm C．3πcm D．2πcm
【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(0,2)，
D(4,0)，且点B，C在A´D上．若∠BAC=22.5°，则B´C的长为 ．【变式1-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶
点，则BC´D的长为（ ）
2❑√7 ❑√7 7 14
A． π B． π C． π D． π
3 2 2 3
【题型2 利用弧长公式求长度】
【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，PM切⊙O于点P，弦PQ∥OM，若∠OMP=30°，劣弧PQ的
π
弧长为 ，则线段OM的长为( )
3
A．1 B．2 C．3 D．π
【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象
2
而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆，连接OC，OD，作OG⊥CD．若劣弧CD的长为 π，
3
则OG= ．
【变式2-2】（2025·广西钦州·一模）如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似
2 11
地看作扇环，其中A´D长度为 π米，B´C长度为 π米，圆心角∠AOD=60°，则裙长AB为
5 15米．
【变式2-3】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开
时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹
角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．
72cm (72❑√3+10)cm (72❑√2+10)cm 82cm
【题型3 利用弧长公式求圆心角】
【例3】小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以MN=20cm为直
径的半圆O和边长为4cm的正方形ABCD，P，Q分别为半圆O上的点，如图1所示，此时半圆O与水平面
恰好切于点P，AP=12cm，延长CD与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在
半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示．
(1)在图1中，求弦EF的长；
(2)在图2中，求P´Q所对的圆心角度数；（结果保留π）6
【变式3-1】一个扇形的弧长是 π cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度．
5
【变式3-2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8cm，当重物上升2π cm时，滑轮的一条半径OA
绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图
所示，其中⊙M,⊙N的半径分别是1cm和8cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°
，则n= ．
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】
【例4】（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边△ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的
顶点C顺时针旋转120°至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120°至图②位置，…，以此类
推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
【变式4-1】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的A´C，长度不变，AB、BC的长
度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）60 90 120 180
A．（ ）° B．（ ）° C．（ ）° D．（ ）°
π π π π
【变式4-2】（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为30cm，图②是其
底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点A在地面顺时针旋转，当旋转60°时，点C在地面
划出的痕迹长为（ ）
A．10πcm B．10❑√2πcm C．10❑√3πcm D．20πcm
【变式4-3】（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为2❑√3cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边
CD，垂足为B，AB=17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
(17+❑√3)πcm (17+2❑√3)πcm 10πcm 20πcm
【题型5 利用扇形面积公式求面积】
【例5】（2025·湖南常德·二模）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状
态时，扇形AMC与扇形BNC相交于点C，且两扇形的半径分别是矩形AMNB的两对边AM和BN．已知
MN=60cm，圆心角∠AMC=∠BNC=30°，则扇形AMC的面积等于 cm2．（结果保留π
）【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点
D在B´C上，A´C=B´D，连接AC，BC，AD．
(1)如图1，求证：∠CEA=∠CAD；
(2)如图2，若∠CEB=2∠CBE，OE=5❑√2，求扇形BOD的面积．
【变式5-2】（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm．以点A为圆心，AB
为半径画圆．则扇形ACD的面积为 ．
【变式5-3】（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接
16π
BD、CD．以点D为圆心，BD的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为 ，则等边三角形ABC
3
的边长为（ ）
A．4 B．4❑√2 C．4❑√3 D．2【题型6 求弓形面积】
【例6】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形ABCD中，AB=4❑√2，AD=2，以AB为直径作半圆O，则
图中阴影部分的面积是（ ）
4 8 2 4
A．4π−8 B．2π−4 C． π− D． π−
3 3 3 3
【变式6-1】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画
弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB=2，则“勒洛三角形”与等边△ABC
围成阴影部分的面积等于 （结果保留π）．
【变式6-2】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且相等（如图
②），小华用皮尺量出BD=1米，BC=0.5米，则阴影部分的面积为（ ）
A．( π ❑√3)平方米 B．(π ❑√3)平方米 C．( π ❑√3)平方米 D．(π ❑√3)
− − − −
12 8 6 8 12 4 6 4
平方米
【变式6-3】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD=DC，DE⊥AC于点
E，⊙O是△ABD的外接圆，交CA的延长线于点F．(1)判断并说明DE与⊙O的位置关系；
(2)当∠B=30°，AE=1时，求弧AF与弦AF所围成的弓形面积（阴影部分）．
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】
【例7】（2025·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别是A(0,4)，B(0,2)
，C(3,2)．
(1)将ΔABC以O为旋转中心旋转270°，画出旋转后对应的ΔA B C ；并求出AC边旋转扫过的面积．
1 1 1
(2)将ΔABC平移后得到ΔA B C ，若点A的对应点A 的坐标为(2,2)，求ΔA C C 的面积．
2 2 2 2 1 1 2
【变式7-1】（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕
直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜边AB扫过的面积为（ ）
3
A．π B． π−2 C．2π D．2π−2
2
【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡
风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接
（不能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫过的面积是
（ ）A．1600πcm2 B．1500πcm2 C．900πcm2 D．800πcm2
【变式7-3】（2025·山东东营·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
AC=2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，连续旋转两次，分别得到Rt△AB C 和
1 1
Rt△AB C ，则图中阴影部分的面积为 ．
2 2
【题型8 不规则图形的面积计算】
【例8】（2025·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上两点，AC平分∠BAE，
CD⊥AE交AE的延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=BC=2，求图中阴影部分的面积．
【变式8-1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2❑√3，点C在OB
上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分
的面积为 （结果保留π）．
【变式8-2】（2025·河南南阳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在边AB上，OA=2❑√2，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的
．
【变式8-3】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点
D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 ．
