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专题 24.9 弧长和扇形的面积（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 利用弧长公式求弧长】..............................................................................................................................2
【题型2 利用弧长公式求长度】..............................................................................................................................6
【题型3 利用弧长公式求圆心角】........................................................................................................................10
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】................................................................................................................13
【题型5 利用扇形面积公式求面积】....................................................................................................................16
【题型6 求弓形面积】............................................................................................................................................20
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】....................................................................................................................24
【题型8 不规则图形的面积计算】........................................................................................................................31
知识点 1 弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是
2πR πR n nπR
，即 ，于是n°的圆心角所对的弧长为l= ⋅2πR= ，弧长为l的弧所对的圆心角为
360 180 360 180
180l
n= 度．
πR
知识点 2 扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所以圆
πR2 nπR2
心角是1°的扇形面积是 ，于是圆心角为n°的扇形面积是S = ，还可以用弧长表示扇形面积
360 扇形 3601
S = lR，其中l为扇形的弧长．
扇形 2
【题型1 利用弧长公式求弧长】
【例1】（2025·青海·中考真题）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接
BD，∠A=∠B=30°．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)已知BC=2，求D´C的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
2
π
(2)
3
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出∠ADB=120°，再根据OA=OD得∠A=∠ODA=30°，进而可得
∠ODB=90°，再根据切线的判定可得出结论；
1 1
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得OD= OB，设OD=OC=r，则r= (r+2)，求出r，再得
2 2
∠DOB=∠A+∠ODA=60°，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ADB=180°−∠A−∠B=120°，
∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=30°，
∴∠ODB=120°−30°=90°，
∴OD⊥BD，
且OD是⊙O的半径，
∴直线BD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△DOB中，∠ODB=90°,∠B=30°，
1
∴OD= OB，
2
设OD=OC=r，
1
∴r= (r+2)，
2
解得r=2，
∵∠DOB=∠A+∠ODA=60°，
60πr 2
∴D´C的长为： = π．
180 3
【变式1-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时
催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为
O）．已知不倒翁的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B．若该圆的半径是3cm，∠P=60°，则
AM´ B的长是（ ）
A．6πcm B．4πcm C．3πcm D．2πcm
【答案】B
【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和．利用切线的性质可得
∠PAO=∠PBO=90°，进而得到∠AOB=120°，以及AM´ B所对圆心角，最后利用弧长公式求解即
可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，∵ PA PB ⊙O
， 分别与 相切于点 A， B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵ ∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴ AM´ B所对圆心角为360°−∠AOB=240°，
∵该圆半径是3cm，
240×π×3
∴ AM´ B的长是 =4π(cm)，
180
故选：B．
【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(0,2)，
D(4,0)，且点B，C在A´D上．若∠BAC=22.5°，则B´C的长为 ．
5π 5
【答案】 / π
4 4
【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的
⏜
计算．解题的关键是求出圆的半径与
BC
所对的圆心角．根据AD⊥OB，延长BO到圆心E，在
⏜
Rt△OEA设未知数求出半径的长，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，即可求出 圆心角
BC
∠BEC=45°，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：∵A(−4,0)，D(4,0)，
∴AO=DO，
∵AC⊥y轴，
∴圆心在y轴上，设圆心为点E，连接CE、AE、DE，
，
∵在坐标系中：A(−4,0)，B(0,2)，D(4,0)，
∴可知：AO=OD=4，OB=2，
此时由于半径相等：AE=BE=DE，
∴设OE=x，则AE=BE=2+x，
∵由题可知：AD⊥BE，
∴在Rt△OEA中有勾股定理：AO2+OE2=AE2，
∴42+x2=(x+2) 2，解得：x=3，
∴半径为：5，
∵同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，∠BAC=22.5°，
∴∠BEC=2∠BAC=45°，
∴ ⏜ 的长为： 45×π×5 = 5π ．
BC
180 4
5π
故答案为： ．
4
【变式1-3】（2025·河南驻马店·三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶
点，则BC´D的长为（ ）
2❑√7 ❑√7 7 14
A． π B． π C． π D． π
3 2 2 3
【答案】A
【分析】如图，由题意可得：O为BC´D所在圆的圆心，为格点，取格点A,E,F，连接
OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD，过O作OH⊥AD于H，△OBF≌△DOA≌△BDE，可得△BOD为等边三角形，∠BOD=60°，求解OD=❑√52+(❑√3) 2=❑√28=2❑√7；再利用弧长公式计算
即可.
【详解】解：如图，由题意可得：O为BC´D所在圆的圆心，为格点，取格点A,E,F，连接
OF,BF,BE,DE,AD,OA,OB,OD,BD，过O作OH⊥AD于H，
∵由题意可得：OF=4=BE=AD，∠OFB=120°=∠BED=∠OAD，BF=OA=DE=2，
∴△OBF≌△DOA≌△BDE，
∴OB=DO=BD，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
由等边三角形的性质可得：∠AOH=30°，OA=2，而∠AHO=90°，
∴AH=1，OH=❑√22−12=❑√3，
∴DH=5，
∴OD=❑√52+(❑√3) 2=❑√28=2❑√7；
60π×2❑√7 2❑√7
∴BC´D的长 = π；
180 3
故选：A
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计
算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关键.
【题型2 利用弧长公式求长度】
【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，PM切⊙O于点P，弦PQ∥OM，若∠OMP=30°，劣弧PQ的
π
弧长为 ，则线段OM的长为( )
3A．1 B．2 C．3 D．π
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；
连接OP,OQ，根据切线的性质得出OP⊥PM，根据含30度角的直角三角形的性质得出MO=2PO，进
π
而得出△OPQ是等边三角形，则∠POQ=60°，根据劣弧PQ的弧长为 ，设OP=r，得出r=1，进一
3
步即可求解．
【详解】解：如图，连接OP,OQ，
∵PM切⊙O于点P，
∴OP⊥PM，
∵∠OMP=30°，
∴∠POM=60°，MO=2PO
∵PQ∥OM，
∴∠OPQ=60°，
∵OP=OQ，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠POQ=60°
π
∵劣弧PQ的弧长为 ，设OP=r，
3
60 π
∴ πr=
180 3
解得：r=1
∴OM=2PO=2，故选：B．
【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象
2
而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆，连接OC，OD，作OG⊥CD．若劣弧CD的长为 π，
3
则OG= ．
【答案】❑√3
【分析】先求出中心角∠COD=60°，再根据弧长公式求得半径为2，然后解Rt△OGD即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆，
360°
∴中心角∠COD= =60°，
6
2
∵劣弧CD的长为 π，
3
2 60π×OD
∴ π= ，
3 180
解得：OD=2，
∵OG⊥CD，OC=OD
1
∴∠GOD= ∠COD=30°，
2
∴OG=❑√3，
故答案为：❑√3．
【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握
知识点是解题的关键．
【变式2-2】（2025·广西钦州·一模）如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似
2 11
地看作扇环，其中A´D长度为 π米，B´C长度为 π米，圆心角∠AOD=60°，则裙长AB为
5 15
米．【答案】1
【分析】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．
60π⋅OA 2 60π⋅OB 11
由题意知，l = = π，l = = π，计算求解OA，OB的值，然后根据
A´D 180 5 B´C 180 15
AB=OB−OA计算求解即可．
60π⋅OA 2 60π⋅OB 11
【详解】解：由题意知，l = = π，l = = π，
A´D 180 5 B´C 180 15
6 11
解得OA= ，OB= ，
5 5
∴AB=OB−OA=1，
故答案为：1．
【变式2-3】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开
时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹
角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．72cm B．(72❑√3+10)cm C．(72❑√2+10)cm D．82cm
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，在Rt△ACE中，可1 1
求得AE= AC，同理可求得BF= BD，再由弧长公式可求得AE=BF=36cm，即可求解．
2 2
【详解】解：过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，如图，
则Rt△ACE中，∠PCA=30°，
1
∴AE= AC，
2
Rt△BDF中，∠BDQ=30°，
1
∴BF= BD，
2
∵双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，∠PCA=∠BDQ=30°，
30π×AC 30π×BD
∴ =12π， =12π，
180 180
∴AC=BD=72cm，
∴AE=BF=36cm，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10=82cm，
故选：D．
【题型3 利用弧长公式求圆心角】
【例3】小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以MN=20cm为直
径的半圆O和边长为4cm的正方形ABCD，P，Q分别为半圆O上的点，如图1所示，此时半圆O与水平面
恰好切于点P，AP=12cm，延长CD与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在
半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示．(1)在图1中，求弦EF的长；
(2)在图2中，求P´Q所对的圆心角度数；（结果保留π）
【答案】(1)EF=16cm；
(72) ∘
(2) ；
π
【分析】（1）如图1，连接OE，OP，OP与EF交于点T，可得四边形ADTP为矩形，得到OP⊥EF，
PT=AD=4cm，进而得ET=FT，由MN=20cm可得OT=6cm，在Rt△OET中，利用勾股定理求出
ET，即可求解；
（2）如图2，连接OQ，OD，延长CD交OQ于点G，可得四边形ADGQ为矩形，得到AQ=DG，
QG=AD=4cm，∠OGD=90∘，由MN=20cm可得OG=6cm，进而由勾股定理得DG=8cm，即得
AQ=DG=8cm，得到P´Q的长为AP−AQ=4cm，再根据弧长公式即可求解；
【详解】（1）解：如图1，连接OE，OP，OP与EF交于点T，
∵半圆O与水平面相切于点P，OP为半圆O的半径，四边形ABCD为正方形，
∴∠OPA=∠DAP=∠ADT=90∘，
∴四边形ADTP为矩形，
∴OP⊥EF，PT=AD=4cm，
∴ET=FT，
∵MN=20cm，
∴OE=OP=10cm，
∴OT=6cm，
∴在Rt△OET中，ET=❑√102−62=8( cm)，
∴EF=2ET=16cm；
（2）解：如图2，连接OQ，OD，延长CD交OQ于点G，∵四边形ABCD为正方形，半圆O与水平面相切于点Q，OQ为半圆O的半径，
∴∠GQA=∠DAQ=∠ADG=90∘，
∴四边形ADGQ为矩形，
∴AQ=DG，QG=AD=4cm，∠OGD=90∘，
∵MN=20cm，
∴OD=OQ=10cm，
∴OG=6cm，
∴在Rt△ODG中，DG=❑√102−62=8(cm)，
∴AQ=DG=8cm，
∵AP=12cm，
∴P´Q的长为AP−AQ=4cm，
10nπ
∴ =4，
180
72
解得n= ，
π
(72) ∘
∴P´Q所对的圆心角度数为 ；
π
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，正
确作出辅助线是解题的关键．
6
【变式3-1】一个扇形的弧长是 π cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度．
5
【答案】36
【分析】利用弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：设扇形的圆心角为n°．
6 nπ⋅6
由题意得： π= ，
5 180
解得：n=36．
故答案为36．【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．
【变式3-2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8cm，当重物上升2π cm时，滑轮的一条半径OA
绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升2πcm时，即弧长是2πcm，设旋转的角度是n°，利用弧
长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：∵滑轮的直径是8cm，
∴滑轮的半径是4cm，
设旋转的角度是n°，
nπ×4
由题意得： =2π，
180
解得：n=90，
∴滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为90°，
故选：B．
【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图
所示，其中⊙M,⊙N的半径分别是1cm和8cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°
，则n= ．
【答案】135
【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可
求解．【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为3×2π×1=6πcm，
n⋅π⋅8
∴ =6π，
180
解得：n=135．
故答案为：135．
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】
【例4】（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边△ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的
顶点C顺时针旋转120°至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120°至图②位置，…，以此类
推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
【答案】8π
【分析】本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、
发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循环，找到规律然后计算即
可．
【详解】解∶如图所示，
120 4
解：转动一次顶点A至点A ，旋转120°，路线长是： ×π×2= π，
1 180 3
转动第二次顶点A 至点A ，未动，路线长是：0，
1 2
120 4
转动第三次顶点A 至点A ，旋转120°，路线长是： ×π×2= π，
2 3 180 3
以此类推，每三次循环，
4 8
故顶点A转动三次经过的路线长为： π×2= π，
3 3
∵9次旋转重复了9÷3=3（遍），
8
∴顶点A转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为： π×3=8π．
3
故答案为 ∶8π．【变式4-1】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的A´C，长度不变，AB、BC的长
度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）
60 90 120 180
A．（ ）° B．（ ）° C．（ ）° D．（ ）°
π π π π
【答案】D
【分析】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．
【详解】解：设∠ABC的度数大小由60变为n，
nπ×AB
则AC= ，由AC=AB，
180
180
解得n=
π
故选D．
nπr
【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l= 是解题的关键．
180
【变式4-2】（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为30cm，图②是其
底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点A在地面顺时针旋转，当旋转60°时，点C在地面
划出的痕迹长为（ ）
A．10πcm B．10❑√2πcm C．10❑√3πcm D．20πcm
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点C的运动轨迹是圆弧，利用勾股
定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点C的运动轨迹，再根据弧
长公式计算轨迹长度．点C绕点A顺时针旋转60°，其运动轨迹是以A为圆心，AC长为半径的一段圆弧，
先求出AC的长度，再利用弧长公式计算．【详解】解：∵底面是边长为30cm的正方形，
∴对角线AC的长度为❑√302+302=❑√2×302=30❑√2cm．
∵n=60°，半径r=AC=30❑√2cm．
60×π×30❑√2
∴点C在地面划出的痕迹长l= =10❑√2πcm．
180
【变式4-3】（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为2❑√3cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边
CD，垂足为B，AB=17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）
A．(17+❑√3)πcm B．(17+2❑√3)πcm C．10πcm D．20πcm
【答案】C
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边
形的性质和勾股定理求出OB的长度，进而得到OA的长度，最后根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，OC．
360°
∵∠DOC= =60°，OD=OC，
6
∴△ODC是等边三角形，
∴OD=OC=DC=2❑√3cm，
∵OB⊥CD，
∴BC=BD=❑√3cm，
∴OB=❑√OD2−BD2=3cm，∵AB=17cm，
∴OA=OB+AB=20cm，
90⋅π⋅20
∴点A在该过程中所经过的路径长= =10π(cm)．
180
故选：C．
【题型5 利用扇形面积公式求面积】
【例5】（2025·湖南常德·二模）图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状
态时，扇形AMC与扇形BNC相交于点C，且两扇形的半径分别是矩形AMNB的两对边AM和BN．已知
MN=60cm，圆心角∠AMC=∠BNC=30°，则扇形AMC的面积等于 cm2．（结果保留π
）
【答案】300π
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
30πAM2 30π×602
证明△CMN是等边三角形，求出AM=CM=60cm，得到S = = =300π（
扇形AMC 360 360
cm2），即可得到答案．
【详解】解：∵矩形AMNB，
∴AM=BN，∠AMN=∠BNM=90°，
∵ ∠AMC=∠BNC=30°，
∴∠CMN=∠AMN−∠AMN=60°，∠CNM=∠BNM−∠BNC=60°，
∵AM=CM,BN=CN，
∴CM=BN，
∴△CMN是等边三角形，
∴CM=MN=60cm，
∴AM=CM=60cm，
30πAM2 30π×602
∴S = = =300π（cm2），
扇形AMC 360 360故答案为：300π
【变式5-1】（2025·山东聊城·三模）如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点
D在B´C上，A´C=B´D，连接AC，BC，AD．
(1)如图1，求证：∠CEA=∠CAD；
(2)如图2，若∠CEB=2∠CBE，OE=5❑√2，求扇形BOD的面积．
【答案】(1)见解析
25
(2) π
8
【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求扇形面积，勾股定理，等腰三角形的性
质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）由切线的性质可得∠OCE=90°，则∠CEA+∠3=90°，再由等边对等角和三角形外角的性质得
到∠3=2∠2，再证明∠4=∠2，∠CAD+∠3=90°，即可证明∠CEA=∠CAD．
（2）先证明∠3=∠CEA=45°，则∠4=22.5°，由圆周角定理得到∠DOB=2∠4=45°，进一步求
出CO=5，据此利用扇形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接CO，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠CEA+∠3=90°，
∵OC=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠1+∠2=2∠2，
∵A´C=B´D，∴∠4=∠2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠4+∠2=90°，即∠CAD+∠3=90°，
∴∠CEA=∠CAD．
（2）解：如图，连接CO，DO，由（1）得∠3=2∠2=2∠4，
∵∠CEA=2∠CBE=2∠4，
∴∠CEA=∠3，
∵∠ECO=90°，
∴∠3=∠CEA=45°，
∴∠4=22.5°，
∴∠DOB=2∠4=45°，
∵OE=5❑√2，
∴CO=5，
45π×52 25
∴S = = π．
扇形BOD 360 8
【变式5-2】（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm．以点A为圆心，AB
为半径画圆．则扇形ACD的面积为 ．
55π
【答案】
cm2
6
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出
∠CAB、∠DAB的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式
是解题的关键．(5−2)×180°
【详解】解：由正五边形和正六边形可得：∠CAB= =108°，
5
(6−2)×180°
∠DAB= =120°，
5
∴∠CAD=360°−∠CAB−∠DAB=360°−108°−120°=132°，
132×π×52 132×π×25 55π
∴扇形ACD的面积为 = = (cm2)，
360 360 6
55π
故答案为：
cm2
．
6
【变式5-3】（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接
16π
BD、CD．以点D为圆心，BD的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为 ，则等边三角形ABC
3
的边长为（ ）
A．4 B．4❑√2 C．4❑√3 D．2
【答案】C
【分析】连接OB、OD，OD与BC交于点E．根据等边三角形的性质和圆内接四边形的性质，得到
∠BDC=120°，再结合扇形面积公式，求出BD=4，由垂径定理可得BE=CE，OC⊥BC，BD=CD
，再解直角三角形，得到BE=2❑√3，从而得到BC=4❑√3，即可求解．
【详解】解：如图，连接OB、OD，OD与BC交于点E．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BDC=180°，
∴∠BDC=120°，
16π
∵阴影部分的面积为 ，
3
120π⋅BD2 16π
∴ = ，
360 3
∴BD2=16，
∴BD=4（负值舍去），
∵OD是半径，点D是弧BC的中点，
∴BE=CE，OC⊥BC，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
1
∴DE= BD=2，
2
∴BE=❑√BD2−DE2=2❑√3，
∴BC=2BE=4❑√3，
∴等边三角形ABC的边长为4❑√3，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形，扇形面积，垂径定理，等腰三角形的判定和性
质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
【题型6 求弓形面积】
【例6】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形ABCD中，AB=4❑√2，AD=2，以AB为直径作半圆O，则
图中阴影部分的面积是（ ）
4 8 2 4
A．4π−8 B．2π−4 C． π− D． π−
3 3 3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设CD与半圆O交于点E，F，过点O作1 1
OM⊥CD于点M，则OM=AD=2，OE= AB= ×4❑√2=2❑√2，根据垂径定理可得EF=2EM，
2 2
∠FOM=∠EOM，再结合勾股定理可得OM=EM，EF=2EM=4，从而得到∠EOF=90°，然后根
据S −S ，即可求解．
扇形EOF △EOF
【详解】解：如图，设CD与半圆O交于点E，F，过点O作OM⊥CD于点M，则OM=AD=2，
1 1
OE= AB= ×4❑√2=2❑√2，
2 2
∴EF=2EM，∠FOM=∠EOM，
∴EM=❑√OE2−EM2=2，
∴OM=EM，EF=2EM=4，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴∠FOM=∠EOM=45°，
∴∠EOF=90°，
90π×(2❑√2) 2 1
∴图中阴影部分的面积是S −S = − ×2×4=2π−4．
扇形EOF △EOF 360 2
故选：B．
【变式6-1】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画
弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB=2，则“勒洛三角形”与等边△ABC
围成阴影部分的面积等于 （结果保留π）．
【答案】2π−3❑√3【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作AH⊥BC于
1
H，由等边三角形的性质得到∠ACB=60°，BH= BC=1，则由勾股定理可得
2
AH=❑√AB2−BH2=❑√3，再根据S =3(S −S )计算求解即可．
阴影 扇形ACB △ABC
【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴BC=AB=2，∠ACB=60°，
1
∴BH= BC=1，
2
∴AH=❑√AB2−BH2=❑√3，
∴S =3(S −S )
阴影 扇形ACB △ABC
(60π×22 1 )
=3 − ×2×❑√3
360 2
=2π−3❑√3，
故答案为：2π−3❑√3．
【变式6-2】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且相等（如图
②），小华用皮尺量出BD=1米，BC=0.5米，则阴影部分的面积为（ ）( π ❑√3) (π ❑√3) ( π ❑√3) (π ❑√3)
A． − 平方米 B． − 平方米 C． − 平方米 D． −
12 8 6 8 12 4 6 4
平方米
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角
函数关系是解题关键．设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及
∠COD的度数，进而由S ❑ ＝S ❑ −S ❑ 得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影
弓形 CD面积 扇形 COD △ COD
部分的面积．
【详解】解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，
由题意可得出：∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BD=1米，BC=0.5米，
1 ❑√3
∴BC= BD，CD=❑√BD2−CD2= 米，
2 2
∴∠BDC=30°，
1 1
∴OE= OD= 米，
2 4
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠BDC=30°，
∴∠COD=120°，
(1) 2
120π×
∴ 2 1 1 ❑√3 ( π ❑√3)平方米，
S ❑ =S ❑ ﹣S ❑ = − × × = −
弓形 CD面积 扇形 COD △ COD 360 2 4 2 12 16
( π ❑√3) (π ❑√3)
∴阴影部分的面积为：2× − = − 平方米．
12 16 6 8∴故选：B．
【变式6-3】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD=DC，DE⊥AC于点
E，⊙O是△ABD的外接圆，交CA的延长线于点F．
(1)判断并说明DE与⊙O的位置关系；
(2)当∠B=30°，AE=1时，求弧AF与弦AF所围成的弓形面积（阴影部分）．
【答案】(1)直线DE与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；
2
(2) π−❑√3．
3
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形三合一定理可得AD⊥BC，故有∠ADB=90°，所以AB为⊙O
的直径，从而得到OD是△ABC中位线，则OD∥AC，得到DE⊥OD，最后由切线的判定即可求证；
（2）连接OF，过O作OH⊥AF于点H，证明△OAF是等边三角形，则有∠AOF=60°，
∠AOH=30°，OA=AF，然后根据直角三角形的性质可得AD=2AE=2，AB=2AD=4，
OA=AF=2，AH=1，最后通过弓形面积为S −S 即可求解．
扇形AOF △AOF
【详解】（1）解：直线DE与⊙O的位置关系是相切，理由：
连接OD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴OA=OB，
∴OD是△ABC中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：如图，连接OF，过O作OH⊥AF于点H，
∴AH=FH，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠OAF=∠B+∠C=60°，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，∠AOH=30°，OA=AF，
∵∠ADB=90°，∠C=30°，
∴∠DAC=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE=2，
同理：AB=2AD=4，
∴OA=AF=2，
∴AH=1，
由勾股定理得：OH=❑√OA2−AH2=❑√22−12=❑√3，
∴弓形面积为S −S
扇形AOF △AOF
60π×22 1
= − ×2×❑√3
360 2
2
= π−❑√3．
3
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，
切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．【题型7 求图形旋转后扫过的面积】
【例7】（2025·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别是A(0,4)，B(0,2)
，C(3,2)．
(1)将ΔABC以O为旋转中心旋转270°，画出旋转后对应的ΔA B C ；并求出AC边旋转扫过的面积．
1 1 1
(2)将ΔABC平移后得到ΔA B C ，若点A的对应点A 的坐标为(2,2)，求ΔA C C 的面积．
2 2 2 2 1 1 2
9π
【答案】(1)见解析，AC边旋转扫过的面积
4
27 3
(2)见解析，ΔA C C 的面积为 或
1 1 2 2 2
【分析】本题考查了作图—旋转变换，坐标与图形变化—平移，利用网格求三角形的面积，解题的关键是
熟练掌握旋转变换、平移变换的性质．
（1）分类讨论：①当ΔABC以O为旋转中心顺时针旋转270°时；②当ΔABC以O为旋转中心逆时针旋转
270°时，逐一作图求解即可；
（2）根据A(0,4)向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到A (2,2)，即可作图，再由①当
2
ΔABC以O为旋转中心顺时针旋转270°时；②当ΔABC以O为旋转中心逆时针旋转270°时，分类讨论，
即可解答．
【详解】（1）解：①当ΔABC以O为旋转中心顺时针旋转270°时，如图，设以OC为半径的圆与x,y轴
交于点F,E，由A(0,4)，C(3,2)得OA=4，OC=❑√22+32=❑√13，
∵旋转，
∴∠AOC=∠A OC ，
1 1
⏜ ⏜
∴CE=C F，
1
270π×42 270π×(❑√13) 2 9π
∴AC边旋转扫过的面积为 − = ．
360 360 4
②当ΔABC以O为旋转中心逆时针旋转270°时，如图，
270π×42 270π×(❑√13) 2 9π
同理可得，AC边旋转扫过的面积为 − = ．
360 360 4
（2）解：①如图,1 27
∴S = ×9×3= ；
ΔA 1 C 1 C 2 2 2
②如图，
1 3
∴S = ×3×1= ．
ΔA 1 C 1 C 2 2 2
27 3
综上所述，ΔA C C 的面积为 或 ．
1 1 2 2 2
【变式7-1】（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕
直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜边AB扫过的面积为（ ）
3
A．π B． π−2 C．2π D．2π−2
2
【答案】B⏜ ⏜
【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，AB边在旋转时所扫过的面积为 所
EF、ABD
围成的图形面积S，据此进行求解即可．
【详解】解：如图所示，由题意可得，AC=BC=CD=2, △ABD,△ABC,△BCD都是等腰直角三角
❑√2
形，则CE=CF= AC=❑√2，
2
⏜ ⏜
AB边在旋转时所扫过的面积为 所围成的图形面积S，
EF、ABD
S=S −S −S −S
半圆 扇形ECF △ACE △CDF
1 90π×(❑√2) 2 1 1
= π×22− − ×(❑√2) 2 − ×(❑√2) 2
2 360 2 2
1 1
= ×4π− π−2
2 2
3
= π−2
2
故选：B
【变式7-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡
风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接
（不能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫过的面积是
（ ）A．1600πcm2 B．1500πcm2 C．900πcm2 D．800πcm2
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键．
如图所示，延长
BB
⏜ '交OA于点C，
BB
⏜ '与OA'交于点D，可得△OAB≌△OA'B'(SSS)，则
S =S ，由S =S −S 代入计算即可．
△OAB △OA'B' 圆环 扇形AOA' 扇形OCD
⏜ ⏜
【详解】解：如图所示，延长 BB'交OA于点C， BB'与OA'交于点D，
∵旋转，
∴OB=OB',OA=OA',AB=A'B'，
∴△OAB≌△OA'B'(SSS)，
∴S =S ，
△OAB △OA'B'
∴当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫过的面积是圆环A A'DC的面积，
∵AO=80cm,BO=20cm，∠AOA'=90°，
90°π×802 90π×202
∴S =S −S = − =1500πcm2，
圆环 扇形AOA' 扇形OCD 360° 360°
故选：B ．
【变式7-3】（2025·山东东营·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
AC=2．Rt△ABC可以绕点A旋转，旋转的角度为60°，连续旋转两次，分别得到Rt△AB C 和
1 1
Rt△AB C ，则图中阴影部分的面积为 ．
2 27π ❑√3
【答案】 −
12 2
【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含30°角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题
的关键．
由直角三角形的性质求出BC，AB的长，由阴影的面积 =S −S −S ，应用扇形面积
扇形AC C 扇形ADB △AB C
1 2 2 2 2
计算公式，三角形面积计算公式，即可求解．
【详解】解：由题意知∠C AC =120°，∠C AB =90°，
1 2 1 2
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=2，
1
∴BC= AC=1，
2
∴AB=❑√3BC=❑√3，
120π×22 4π 90π×(❑√3) 2 3π
∴S = = ，S = = ，
扇形AC 1 C 2 360 3 扇形ADB 2 360 4
1 1 ❑√3
S = B C ⋅AB = ×1×❑√3= ，
△AB 2 C 2 2 2 2 2 2 2
∴阴影的面积 =S −S −S
扇形AC C 扇形ADB △AB C
1 2 2 2 2
4π 3π ❑√3
= − −
3 4 2
7π ❑√3
= − ．
12 2
7π ❑√3
故答案为： − ．
12 2
【题型8 不规则图形的面积计算】
【例8】（2025·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上两点，AC平分∠BAE，
CD⊥AE交AE的延长线于点D．(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=BC=2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
3❑√3 2π
(2) −
2 3
【分析】（1）连接OC，则OC=OA，得到∠OCA=∠BAC，根据角平分线的定义得到
∠EAC=∠BAC，求得∠OCA=∠EAC，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接OE，OC，CE，根据角平分线的定义得到∠EAC=∠BAC，求得
∠AOE=∠COE=∠COB=60°，根据等边三角形的性质得到∠CEO=∠AOE=60°，OE=AE=2
1 ❑√3
，根据直角三角形的性质得到CD= AC=❑√3，AD= AC=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得
2 2
到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，
则OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE交AE的延长线于点D，
∴∠OCF=∠ADC=90°，
∵OC是⊙O的半径，
且CD⊥OC于点C，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，OC，CE，∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC，
∴C´E=B´C，
∵AE=BC=2，
∴A´E=B´C，
∴A´E=C´E=B´C，
∴∠AOE=∠COE=∠COB=60°，
∵OE=OC，
∴△COE，△AOE都是等边三角形，
∴∠CEO=∠AOE=60°，OE=AE=2，
∴CE∥AB，∠BAC=∠CAD=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AC=❑√3BC=2❑√3，
1 ❑√3
∴CD= AC=❑√3，AD= AC=3，
2 2
∴S =S ，
△ACE △COE
1 60π×22 3❑√3 2π
∴图中阴影部分的面积=S −S = ×3×❑√3− = − ．
△ACD 扇形COE 2 360 2 3
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计
算，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键．
【变式8-1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2❑√3，点C在OB
上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分
的面积为 （结果保留π）．【答案】3❑√3−π
【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含30°三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解
决问题的关键．由题意，利用S =S +S −S 计算即可．
阴影 △AOC ▱ACDE 扇形OAB
【详解】解：过A作AH⊥OD于H，
∵∠AOB=30°，OA=2❑√3，
1
∴AH= OA=❑√3，
2
∵OC=AC，
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠CAH=30°，
∴AC=2CH，
设CH长度为x，则AC=2x，在△ACH中，由勾股定理得：
x2+(❑√3) 2=(2x) 2
解得：x=±1，
∵x>0，
∴x=1，
则CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S =S +S −S
阴影 △AOC ▱ACDE 扇形OAB
1 30×π×(2❑√3) 2
= ×2×❑√3+2×❑√3−
2 360
=❑√3+2❑√3−π
=3❑√3−π．
故答案为：3❑√3−π．
【变式8-2】（2025·河南南阳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在边AB上，
OA=2❑√2，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的．
【答案】π+2❑√2
【分析】本题考查了切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径），等腰直角三角形的性质和扇形的面
积计算．解题的关键是牢固掌握相关性质并灵活运用．连接OD，作OH⊥AC于点H，如图，先利用等
❑√2
腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，则OH= OA=2，再根据切线的性质得到OD⊥BC，于是可
2
判断OD∥AC，所以∠EOD=∠BAC=45°，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影
部分的面积=S +S 进行计算即可．
△AOD 扇形DOE
【详解】解：连接OD，作OH⊥AC于点H，如图，
∴OD=OA=2❑√2
，
∵∠C=90°,AC=BC，
∴∠CAB=45°，
❑√2 ❑√2
∴OH= OA= ×2❑√2=2，
2 2
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠EOD=∠BAC=45°，
1 45×π×(2❑√2) 2
∴阴影部分的面积=S +S = ×2❑√2×2+ =π+2❑√2，
△AOD 扇形DOE 2 360故答案为：π+2❑√2．
【变式8-3】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点
D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 ．
4π
【答案】4❑√3−
3
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接AD，根据多边形的内角求出扇形的圆心
角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，再根据S =2S −S 解答即
阴影 △ACD 扇形DCE
可．
【详解】解：连接AD，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=∠CDE=∠B=120°，AB=BC=CD=2，
∴∠BCA=30°，∠CDA=∠EDA=60°，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=2CD=4，
∴AC=❑√AD2−CD2=2❑√3，
1 120π×22 4π
∴S =2S −S =2× ×2×2❑√3− =4❑√3− ，
阴影 △ACD 扇形DCE 2 360 34π
故答案为：4❑√3− ．
3
