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专题 23.2 中心对称（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 成中心对称】..............................................................................................................................................3
【题型2 中心对称的性质】......................................................................................................................................5
【题型3 中心对称图形的识别】..............................................................................................................................8
【题型4 判断对称中心】........................................................................................................................................10
【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】...........................................................................................12
【题型6 坐标系中画中心对称图形】....................................................................................................................15
【题型7 求中心对称点的坐标】............................................................................................................................20
【题型8 中心对称图形规律问题】........................................................................................................................22
【题型9 图案设计】................................................................................................................................................25
知识点 1 中心对称的定义及性质
1. 中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或
中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的
对称点．
2. 中心对称的性质
（1）中心对称的两个图形是全等图形；
（2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
知识点 2 中心对称作图
作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤：
（1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O．
（2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称
点B'，点C的对称点C'．
（3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示．知识点 3 中心对称图形及性质
1. 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形．这个点就是它的对称中心．
2. 中心对称图形的性质
（1）对称点的连线被对称中心平分；
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分．
3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．
知识点 4 关于原点对称的点的坐标
如图，点P(x，y)关于x轴对称的点为P(x，−y)，关于y轴对称的点为P(−x，y)，关于原点对称
1 2
的点为 P(− x，−y)，关于直线 y＝x 对称的点为 P(y，x)，关于直线 y＝－x 对称的点为 P
3 4 5
(− y，−x)．
简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变．
知识点 5 图案设计
一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
1. 利用平移设计图案
确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
2. 利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得
到不同的图案．3. 利用旋转设计图案
利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通
过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案．
4.几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条
直线上）且相等．
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这
两条直线（线段）的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
【题型1 成中心对称】
【例1】（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此
题的关键．
【详解】解：A、绕点O旋转180°后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意；
B、绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
C、绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
D、绕点O旋转180°后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【答案】B，D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对
称的定义：将一个图形沿某点旋转180°得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形．
【详解】解：由题意可得，A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，
C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．
故答案为：B，D．
【变式1-2】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点
A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
【答案】C
【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转180°即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进
行解答即可．
【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O
的对称点为D，
故选：C
【变式1-3】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=2，AB=3，∠BAC=90°，则AE的长是
．
【答案】5
【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用．
根据中心对称的性质得到，AC=CD=2，AB=DE=3，∠D=90°，继而求出 AD=AC+DC=4，再根据勾
股定理即可解答．【详解】解：∵△ABC和△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD=2，AB=DE=3，∠D=90°，
∴AD=AC+DC=4，
则AE=❑√AD2+DE2=5．
故答案为：5．
【题型2 中心对称的性质】
【例2】如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称
C．AB∥DE D．CE=BF
【答案】A
【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的
性质进而可得答案．
【详解】解：△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，
A、△ABC与△DEF关于点O成中心对称，符合题意
B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意；
C、∵△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，
∴∠ABE=∠DEB，BC=EF，
∴AB∥DE，
∴说法正确； 不符合题意；
D、∵△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，
∴BC=EF，
∴CE=BF，
∴说法正确； 不符合题意；
故选A．
【变式2-1】已知△ABC的顶点A，B，C在边长为1的网格格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图：(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A B C ；
1 1 1
(2)在图2中，作△ABC绕点O逆时针旋转一个小于平角的角度后，顶点仍在格点上的△A B C ．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作关于点对称的图形、作旋转图形，确定变换后的对应点是解题的关键．
（1）分别作出△ABC的三个顶点A，B，C关于点O对称的点A ，B ，C ，再依次连接即可；
1 1 1
（2）作△ABC绕点O逆时针旋转90°即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，作△ABC绕点O逆时针旋转90°后，得△A B C ，其顶点仍在格点上．
2 2 2【变式2-2】在平面直角坐标系中有A，B，C三个点，点B的坐标是(2,3)，点A，点C关于点B中心对称，
若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，则点A的坐标是 ．
【答案】(0,−2 )
【分析】根据对称性得到点B为线段AC中点，由此得到将点B往左平移2个单位，再往下5个单位，则与
A重合，即可得到点A的坐标．
【详解】解：∵点A，点C关于点B中心对称，
∴点B为线段AC中点，
∵将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，
∴将点A往右平移2个单位，再往上5个单位，则与B重合，
∴将点B往左平移2个单位，再往下5个单位，则与A重合，
∴点A的坐标为(2− 2),，3−即5(0,−2 )，
故答案为：(0,−2 )．
【点睛】此题考查了中心对称的性质，点的平移规律，正确理解中心对称的性质是解题的关键．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O
，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接AF,BG
，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接AF，BG，
∵正方形ABCD的边长为8和正方形EFGH的边长为6，∴正方形ABCD的面积为64，正方形EFGH的面积为36，
∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，
1
∴S = ×(64−36)=7 ．
阴影 4
故答案为：7．
【题型3 中心对称图形的识别】
【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下图中，是中心对称图形的是
．(填序号)
【答案】②④⑥
【分析】本题考查中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转前后的
图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；观察哪个图形绕一个点旋转180°能和它本身重合即可
得到答案．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可得：正方形、正六边形、正八边形是中心对称图形，
故答案为：②④⑥．
【变式3-1】下列图形中，可以看作中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重合，则称这
个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念判断即可．
【详解】解：选项B中的图形，能找到一固定点，使得图形绕着该固定点旋转180°后能够与原来的图形
重合，故它是中心对称图形；其它三个选项中的图形，不能找到一固定点，使得图形绕着该固定点旋转
180°后不能与原来的图形重合，故它们不是中心对称图形；
故选：B．
【变式3-2】有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形
的是 ．【答案】②
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形
能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据
中心对称图形的定义，逐个分析判断即可得出答案．
【详解】解：①线段是中心对称图形，
②三角形不是中心对称图形，
③平行四边形是中心对称图形，
④正方形是中心对称图形，
⑤圆是中心对称图形，
综上所述，不是中心对称图形的是②．
故答案为：②．
【变式3-3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据中
心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【题型4 判断对称中心】
【例4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，则对称中心是点
．【答案】P
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，且被对
称中线平分；
【详解】解：如图所示：
故答案为：P
【变式4-1】已知△ABC与△DEF成中心对称，则对称中心可能是（ ）
A．点C B．点E C．线段BC的中点 D．线段BE的中点
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对
称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可．
【详解】解：∵ △ABC与△DEF成中心对称，B、E是对称点，
∴对称中心可能是线段BE的中点，
故选：D．
【变式4-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称
中心是 ．【答案】线段AB的中点
【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；
然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应
点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键．
【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，
∴线段AB中点即为对称中心，
故答案为：线段AB中点．
【变式4-3】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称，则该点为
（ ）
A．点C B．点D
C．线段EF的中点 D．线段CD的中点
【答案】D
【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的
两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【详解】∵矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称，
∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C,
∴对称中心为线段CD的中点．
故选D．
【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】
【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在
图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是
．【答案】C
【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕
某一点旋转180°，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对
称图形的定义进行分析即可．
【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置．
故答案为：C．
【变式5-1】如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A B C 与△ABC关于方格纸
1 1 1
中的一个格点成中心对称，这样的△A B C 有 个．
1 1 1
【答案】2
【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形
能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答．
【详解】解：△A B C 如图所示：
1 1 1则这样的△A B C 有2个
1 1 1
故答案为：2．
【变式5-2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，A，B，C都是
格点（网格线的交点）．若点D也在格点上，且由A，B，C，D组成的四边形是中心对称图形．则点D的
位置有（）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形以及平行四边形、菱形的判定相关知识，解题关键是依据平行四边形和菱
形的判定条件，利用网格特性构造图形来确定满足中心对称条件的点的位置．
明确中心对称图形中平行四边形和菱形符合要求，连接AB、AC，利用网格线平行特性，构造BD∥AC，
AB∥CD，确定平行四边形对应的点D ．连接AB、BC，构造CD∥AB，AD∥BC，结合边长相等确定菱形
1
对应的点D ，统计满足条件的点D的个数．
2
【详解】解：如图所示：
连接AB、AC，根据平行四边形的判定条件，作BD∥AC，AB∥CD．在网格中，利用网格线平行的特性去
寻找满足平行关系的格点D．通过观察和利用网格线的平行与长度关系，可以确定一个满足条件的点D ，
1
此时四边形ABCD 是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点．
1如图所示：
连接AB、BC，作CD∥AB，AD∥BC．因为在网格中通过边长关系能发现AB=BC，当满足平行关系构成平
行四边形后，由于四条边相等(AB=BC=CD=DA)，这个四边形ABCD 是菱形．菱形也是中心对称图形，其
2
对称中心是两条对角线的交点．在网格中按照平行和边长相等的条件去寻找，又能确定一个不同于D 的点
1
D ．
2
综上，通过这两种做法可以找到两个不同位置的点D（即D 和D ）满足由A，B，C，D组成的四边形是中心
1 2
对称图形，
故选：B．
【变式5-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3
个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三
角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个．
【答案】2
【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中
心；根据这一性质即可完成．
【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边
形，因而是中心对称图形．
故答案为：2．【题型6 坐标系中画中心对称图形】
【例6】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的
顶点均在格点上，点C的坐标为(4,−1 )．
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)以原点O为对称中心，画出与△A B C 关于原点O对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)写出C ，C 点的坐标．
1 2
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)C (4,4)，C (− 4,)−4
1 2
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图形得出C ，C 点的坐标．
1 2
此题主要考查了平移变换以及中心对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
【详解】（1）解：如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1
（2）解：如图所示，△A B C ，即为所求；
2 2 2（3）解：C (4,4)，C (− 4,)−．4
1 2
【变式6-1】如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A B C ，画出△A B C ，点C 的坐标是_____；
1 1 1 1 1 1 1
(2)画出将△A B C 关于点O的中心对称图形△A B C ，点C 的坐标是_____；
1 1 1 2 2 2 2
(3)我们发现点C、C 关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____．
2
【答案】(1)作图见解析，(3,2)
(2)作图见解析，(− 3,)−2
(3)(−2,0 )
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（3）连接CC ，取线段CC 的中点P，则点C、C 关于点P中心对称，即可得出答案．
2 2 2
本题考查作图−旋转变换、作图−平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求．
1 1 1由图可得，点C 的坐标是(3,2)．
1
故答案为：(3,2)．
（2）解：如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
由图可得，点C 的坐标是(− 3,)−．2
2
故答案为：(− 3,)−．2
（3）解：连接CC ，取线段CC 的中点P，
2 2
则点C、C 关于点P中心对称，
2
∴对称中心的坐标是(−2,0 )．
故答案为：(−2,0 )．
【变式6-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，
C(3,4)．
(1)请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
(3)在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点向下平移5个单位长度所得对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点对称的点，再首尾顺次连接即可；
（3）作点A关于y轴的对称点A'，再连接A'B，与y轴的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 就是所求作的图形；
1 1 1
（2）解：如图所示，△A B C 就是所求作的图形；
2 2 2
（3）解：如图所示，点P就是所求作的点．
【点睛】本题主要考查作图——平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质．
【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(−3,0 ),B(−5,3 ),C(−1,1 )．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ，并写出B 的坐标；
1 1 1 1
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请画出
平移后的△A B C ，并写出B 的坐标；
2 2 2 2
(3)若△A B C 和△A B C 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
1 1 1 2 2 2
【答案】(1)B (5,−3 )，图见解析
1
(2)B (−1,5 )，图见解析
2
(3)(2,1)
【分析】（1）根据△ABC绕点O旋转180°，即关于点O中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特
点，纵坐标，横坐标都变成各自的相反数，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可；
（3）根据对称中心是对应线段中点的交点，借助中点坐标公式解答即可．
本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得A(−3,0 ),B(−5,3 ),C(−1,1 )，其中心对称坐标分别为
A (3,0),B (5,−3 ),C (1,−1 )，画图如下：
1 1 1则△A B C 即为所求，此时B (5,−3 )．
1 1 1 1
（2）解：由A(−3,0 ),B(−5,3 ),C(−1,1 )，将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，
故A (1,2),B (−1,5 ),C (3,3)，画图如下：
2 2 2
．
则△A B C 即为所求此时B (−1,5 )．
2 2 2 2
（3）解：根据作图，得B (5,−3 )，B (−1,5 )，
1 2
5−1 −3+5
根据中点坐标公式，得x= =2,y= =1．
2 2
故对称中心为D(2,1)
故答案为：(2,1)．
【题型7 求中心对称点的坐标】
【例7】（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点P(1，5) 与点P′ (2a+b,a+2b) 关
于原点对称，则a−b的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟知坐标关于原点对称的坐标特点是解题的关键．
先根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程求得a、b的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵点P(1,5)与点P′ (2a+b,a+2b)关于原点对称，
{2a+b=−1
)
{a=1
)
∴ ，解得： ，
a+2b=−5 b=−3
∴a−b=1− (−3)=1+3=4．
故答案为4．
【变式7-1】（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P′到x轴的距
离是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原
点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，得出坐标，进而根据纵坐标的绝对值是到x轴的距离，即可
得答案．
【详解】解：点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标是(− 1,)−，2点P′到x轴的距离是|−2|=2，
故答案为：2．
【变式7-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知点P (a,−3)和点P (4,b)关于原点对称，则(a+b) 2025的值为
1 2
（ ）
A．1 B．−1 C．−52025 D．52025
【答案】B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关
键．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点P (a,−3)和点P (4,b)关于原点对称，
1 2
∴a=−4 ，b=− (−3)=3，
∴(a+b) 2025=(−4+3 ) 2025=−1，
故选：B．
【变式7-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°,A(8,0)，点B位
于第一象限，则点B关于原点的对称点B′的坐标是 ．
【答案】(− 4,)−4【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求
得点B的坐标是解题的关键．过点B作BC⊥OA于点C，根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然
后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BC⊥OA于点C，
∵A(0,8)，
∴OA=8，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BC⊥OA，
1
∴BC=OC=AC= OA=4，
2
∴B(4,4)，
∴点B关于原点的对称点B′的坐标是(− 4,)−．4
故答案是：(− 4,)−．4
【题型8 中心对称图形规律问题】
【例8】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正
半轴上，P点坐标为(−1,1 )，将P点关于A对称得到P ，将P 关于O点对称得到P ，将P 关于C点对称得
1 1 2 2
到P ，将P 关于B点对称得到P ，将P 关于A点对称得到P ，……，按照顺序以此类推，则P 的坐标为
3 3 4 4 5 2023
．
【答案】(5,3)
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律
求解即可．
【详解】解：如图，由题意P(−1,1 ),P (1,3),P (− 1,)−,3P (5,3),P (−1,1 )，
1 2 3 4∴P 与P重合，四次一个循环，
4
∵2023÷4=505…3，
∴P 与P 重合，
2023 3
∴P (5,3)．
2023
故答案为：(5,3)．
【变式8-1】（2025·江西上饶·一模）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数y=x3+3x2 −2的图象，发现该
图象关于点(−1,0) 成中心对称．若点A (0,y )，A (−0.1, y )，A (−0.2, y )，A (−0.3, y )，…，
0 0 1 1 2 2 3 3
A (−1.9, y )都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小0.1，则y +y
19 19 0 1
+y +y +⋯+y 的值是 ．
2 3 19
【答案】−2
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出y +y +y +⋯y +y ⋯+y =0
1 2 3 9 11 19
，进而转化为求y +y +y +y +⋯ ⋯y+ =y ，根据题意可得y =−2，即可求解．
0 1 2 3 19 0 0
【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次减少0.1，
− 0.1−−1.9 0.2−1.8 − 0.9−1.1
∴ = =⋅ ⋅ ⋅= =−1，
2 2 2
∴y +y +y +⋯y +y ⋯+y =0，
1 2 3 9 11 19
∴y +y +y +y +⋯ ⋯y+ =y ，
0 1 2 3 19 0
∵y=x3+3x2 −2，当x=0时，y=−2，即y =−2，
0
∴y +y +y +y +⋯ ⋯y+ =y =−2，
0 1 2 3 19 0
故答案为：−2．
【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(2,0)，(0,2)，(−2,0 )．一个电动玩具
从原点O出发，第一次跳跃到点P ，使得点P 与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P ，使得点P 与
1 1 2 2
点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P ，
1 3 3 2 4
使得点P 与点P 关于点A成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点P 的坐标是（ ）.
4 3 2023
A．(−4,0 ) B．(4,0) C．(4,4) D．(0,−4 )
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后P 、P 、P 、P 、
1 2 3 4
P 、P 、P 的坐标，可得出规律，继而可求点P 的坐标．
5 6 7 2023
【详解】解：由题意得：点P (4,0)、P (−4,4 )、P (0,−4 )、P (4,4)、P (−4,0 )、P (0,0)、P (4,0)，
1 2 3 4 5 6 7
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵2023÷6=337...1，
∴点P 的坐标是(4,0)．
2023
故选：B．
【变式8-3】在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边三角形，作△B A B 与
1 1 2 2 1
△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，…，如此作下去，则
1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
△B A B 的顶点A 的坐标是 ．
2025 2025 2024 2025
【答案】(4049,❑√3)【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点A的横坐标、纵坐标规律．首先
根据△OA B 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为(1,❑√3)，B 的坐标为(2,0)；然后根据中心对称的
1 1 1 1
性质，分别求出点A 、A 、A 的坐标各是多少；最后总结出A 的坐标的规律，即可求出A 的坐标．
2 3 4 n 2025
【详解】解：∵ △OA B 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴ A 的坐标为(1,❑√3)，B 的坐标为(2,0)，
1 1
∵ △B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵ 2×2−1=3 ，2×0− ❑√3=− ❑√3，
∴点A 的坐标是(3,− ❑√3)，
2
∵ △B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵ 2×4−3=5 ，2×0− ❑√3(−)=❑√3，
∴点A 的坐标是(5,❑√3)，
3
∵ △B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
3 4 4 2 3 3 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵ 2×6−5=7 ，2×0− ❑√3=− ❑√3，
∴点A 的坐标是(7,− ❑√3)，
4
…，
∵ 1=2×1−1 ，3=2×2−1 ，5=2×3−1 ，7=2×3−1 ，…，
∴ A 的横坐标是2n−1，当n为奇数时，A 的纵坐标是❑√3，当n为偶数时，A 的纵坐标是−❑√3，
n n n
∴ △B A B 的顶点A 的坐标是(4049,❑√3)，
2025 2025 2024 2025
故答案为(4049,❑√3)
【题型9 图案设计】
【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1，2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代
数学文明，大会选用了如下的“弦图”作为了会标．
(1)这个图形的对称性是_____________．
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．不是轴对称图形，但是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
(2)如图2，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图
痕迹，并将最后的“弦图”用黑笔描出）
【答案】(1)B
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称图形及轴对称图形，熟记定义是解题的关键；
（1）根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可．
（2）根据中心对称的性质画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：该图形绕正方形中心旋转180°后能与自身完全重合，所以是中心对称图形，但不关于
某条直线对称，所以不是轴对称图形．
故选：B．
（2）解：如图，答案不唯一
【变式9-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）正方形绿化场地拟种植某种花卉，要求种植的花卉组成的
场地图形能组成轴对称图形或中心对称图形．下面是三种不同的设计方案．(1)请补全图①②，使它们既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴．
(2)把图③补成中心对称图形，并标上对称中心点P．
【答案】(1)
见解析
(2)
见解析
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义将图形补全即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，深刻理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关
键．
【小题1】解：（1）如图①②所示（答案不唯一）．
【小题2】解：如图③所示．
【变式9-2】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察
图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
(1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中
心”）
(2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影．
【答案】(1)中心，轴
(2)见解析
【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考
常考题型．
（1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答；
（2）根据中心对称的性质设计图案即可．
【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形；
故答案为：中心，轴；
（2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等），
【变式9-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），
（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．
(1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______
得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）；
(2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对
称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】(1)轴对称或旋转，旋转；
(2)①③④．
【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的
性质．（1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可；
（2）梯形V可以看成由梯形Ⅳ绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得
到．
【详解】（1）解∶如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次轴对称得到；也可以看成由梯形Ⅰ经过
一次旋转得到，旋转中心是两个梯形公共的顶点，旋转了180°，梯形Ⅲ可以看成中梯形Ⅰ经过一次旋转
得到；
故答案为∶轴对称或旋转，旋转；
（2）解：梯形V可以看成由梯形Ⅳ绕点O顺时针旋转90°得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针
旋转90°得到或先绕点B逆时针旋转90°再作关于直线a对称的图形得到．
故答案为∶ ①③④
