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专题 23.2 中心对称（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 成中心对称】..............................................................................................................................................3
【题型2 中心对称的性质】......................................................................................................................................4
【题型3 中心对称图形的识别】..............................................................................................................................5
【题型4 判断对称中心】..........................................................................................................................................5
【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】.............................................................................................6
【题型6 坐标系中画中心对称图形】......................................................................................................................7
【题型7 求中心对称点的坐标】..............................................................................................................................9
【题型8 中心对称图形规律问题】........................................................................................................................10
【题型9 图案设计】................................................................................................................................................11
知识点 1 中心对称的定义及性质
1. 中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或
中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的
对称点．
2. 中心对称的性质
（1）中心对称的两个图形是全等图形；
（2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
知识点 2 中心对称作图
作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤：
（1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O．
（2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称
点B'，点C的对称点C'．
（3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示．知识点 3 中心对称图形及性质
1. 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形．这个点就是它的对称中心．
2. 中心对称图形的性质
（1）对称点的连线被对称中心平分；
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分．
3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．
知识点 4 关于原点对称的点的坐标
如图，点P(x，y)关于x轴对称的点为P(x，−y)，关于y轴对称的点为P(−x，y)，关于原点对称
1 2
的点为 P(− x，−y)，关于直线 y＝x 对称的点为 P(y，x)，关于直线 y＝－x 对称的点为 P
3 4 5
(− y，−x)．
简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变．
知识点 5 图案设计
一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
1. 利用平移设计图案
确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
2. 利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得
到不同的图案．3. 利用旋转设计图案
利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通
过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案．
4.几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条
直线上）且相等．
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这
两条直线（线段）的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
【题型1 成中心对称】
【例1】（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【变式1-2】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点
A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
【变式1-3】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=2，AB=3，∠BAC=90°，则AE的长是
．【题型2 中心对称的性质】
【例2】如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称
C．AB∥DE D．CE=BF
【变式2-1】已知△ABC的顶点A，B，C在边长为1的网格格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图：
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A B C ；
1 1 1
(2)在图2中，作△ABC绕点O逆时针旋转一个小于平角的角度后，顶点仍在格点上的△A B C ．
2 2 2
【变式2-2】在平面直角坐标系中有A，B，C三个点，点B的坐标是(2,3)，点A，点C关于点B中心对称，
若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，则点A的坐标是 ．
【变式2-3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O
，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ．【题型3 中心对称图形的识别】
【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下图中，是中心对称图形的是
．(填序号)
【变式3-1】下列图形中，可以看作中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形
的是 ．
【变式3-3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 判断对称中心】
【例4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，则对称中心是点
．【变式4-1】已知△ABC与△DEF成中心对称，则对称中心可能是（ ）
A．点C B．点E C．线段BC的中点 D．线段BE的中点
【变式4-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称
中心是 ．
【变式4-3】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称，则该点为
（ ）
A．点C B．点D
C．线段EF的中点 D．线段CD的中点
【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】
【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在
图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是
．【变式5-1】如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A B C 与△ABC关于方格纸
1 1 1
中的一个格点成中心对称，这样的△A B C 有 个．
1 1 1
【变式5-2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，A，B，C都是
格点（网格线的交点）．若点D也在格点上，且由A，B，C，D组成的四边形是中心对称图形．则点D的
位置有（）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【变式5-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3
个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三
角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个．【题型6 坐标系中画中心对称图形】
【例6】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的
顶点均在格点上，点C的坐标为(4,−1 )．
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)以原点O为对称中心，画出与△A B C 关于原点O对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)写出C ，C 点的坐标．
1 2
【变式6-1】如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A B C ，画出△A B C ，点C 的坐标是_____；
1 1 1 1 1 1 1
(2)画出将△A B C 关于点O的中心对称图形△A B C ，点C 的坐标是_____；
1 1 1 2 2 2 2
(3)我们发现点C、C 关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____．
2
【变式6-2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，
C(3,4)．(1)请画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
2 2 2
(3)在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小．
【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(−3,0 ),B(−5,3 ),C(−1,1 )．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ，并写出B 的坐标；
1 1 1 1
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请画出
平移后的△A B C ，并写出B 的坐标；
2 2 2 2
(3)若△A B C 和△A B C 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
1 1 1 2 2 2
【题型7 求中心对称点的坐标】
【例7】（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，点P(1，5) 与点P′ (2a+b,a+2b) 关
于原点对称，则a−b的值为 ．
【变式7-1】（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P(1,2)关于原点的对称点P′到x轴的距
离是 ．
【变式7-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知点P (a,−3)和点P (4,b)关于原点对称，则(a+b) 2025的值为
1 2（ ）
A．1 B．−1 C．−52025 D．52025
【变式7-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°,A(8,0)，点B位
于第一象限，则点B关于原点的对称点B′的坐标是 ．
【题型8 中心对称图形规律问题】
【例8】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正
半轴上，P点坐标为(−1,1 )，将P点关于A对称得到P ，将P 关于O点对称得到P ，将P 关于C点对称得
1 1 2 2
到P ，将P 关于B点对称得到P ，将P 关于A点对称得到P ，……，按照顺序以此类推，则P 的坐标为
3 3 4 4 5 2023
．
【变式8-1】（2025·江西上饶·一模）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数y=x3+3x2 −2的图象，发现该
图象关于点(−1,0) 成中心对称．若点A (0,y )，A (−0.1, y )，A (−0.2, y )，A (−0.3, y )，…，
0 0 1 1 2 2 3 3
A (−1.9, y )都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小0.1，则y +y
19 19 0 1
+y +y +⋯+y 的值是 ．
2 3 19
【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(2,0)，(0,2)，(−2,0 )．一个电动玩具
从原点O出发，第一次跳跃到点P ，使得点P 与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P ，使得点P 与
1 1 2 2点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P ，
1 3 3 2 4
使得点P 与点P 关于点A成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点P 的坐标是（ ）.
4 3 2023
A．(−4,0 ) B．(4,0) C．(4,4) D．(0,−4 )
【变式8-3】在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边三角形，作△B A B 与
1 1 2 2 1
△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，…，如此作下去，则
1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
△B A B 的顶点A 的坐标是 ．
2025 2025 2024 2025
【题型9 图案设计】
【例9】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1，2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代
数学文明，大会选用了如下的“弦图”作为了会标．
(1)这个图形的对称性是_____________．
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．不是轴对称图形，但是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
(2)如图2，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，并将最后的“弦图”用黑笔描出）
【变式9-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）正方形绿化场地拟种植某种花卉，要求种植的花卉组成的
场地图形能组成轴对称图形或中心对称图形．下面是三种不同的设计方案．
(1)请补全图①②，使它们既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴．
(2)把图③补成中心对称图形，并标上对称中心点P．
【变式9-2】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察
图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
(1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中
心”）
(2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的
图案相同，并将所画图案涂上阴影．
【变式9-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），
（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．(1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______
得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）；
(2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对
称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______．
