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专题 22.5 实际问题与二次函数（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 销售问题】..................................................................................................................................................2
【题型2 拱门问题】..................................................................................................................................................3
【题型3 投球问题】..................................................................................................................................................6
【题型4 拱桥问题】..................................................................................................................................................7
【题型5 隧道问题】..................................................................................................................................................9
【题型6 喷水问题】................................................................................................................................................11
【题型7 跳跃问题】................................................................................................................................................13
【题型8 实物问题】................................................................................................................................................15
【题型9 情境问题】................................................................................................................................................18
【题型10 图表问题】................................................................................................................................................22
知识点 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成y=a(x−ℎ )2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数
y=ax2+bx+c
b 4ac−b2
使用配方法，则当x=− 时，y有最大（小）值 ．
2a 4a
3. 实际问题与二次函数的联系转化【题型1 销售问题】
【例1】（2025·黑龙江大庆·三模）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可
以浮动x个百分点（即销售价格=150(1+x%)），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（单位：件）
与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=−2x+24．若该公司按浮动−12个百分点的价格出售，每
件商品仍可获利10%．
(1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
(2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）×日销
售量．）
(3)该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动
的百分点大于−3时，扣除捐赠后的日销售利润随x的增大而减小，直接写出a的取值范围．
【变式1-1】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了
中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需
花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400
个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5
个．设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求
W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【变式1-2】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推
出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是
多少？
【变式1-3】（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植x棵甲果树（x为正整
数），每年所获得的利润W （元）与x之间的函数关系式为W =−8x2+mx−60，且当x=20时，W =6340
1 1 1
；种植z棵乙果树（z为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人
工成本与z的平方成正比，物资成本与z成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800
元，种植乙果树每年所获得的利润为W （元），经过统计获得如下数据：
2
z（棵） 10 40
W （元） 4920 7920
2
(1)求出W 关于x，W 关于z的函数关系式；
1 2
(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得
的年总利润最大？最大是多少？
【题型2 拱门问题】
【例2】（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高
铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线OPQ（点O与点Q关于抛物线
的对称轴对称），OQ=8m，四边形ACDB区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高
5
AC=EF=HN=BD= m，AC、EF、HN、BD均与OQ垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、
4
N、D、Q在一条水平直线上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y轴建立平面直角坐标
8
系，抛物线OPQ满足关系式y=ax2+ x（a为常数，且a≠0）．
3
(1)求a的值和抛物线的对称轴；(2)已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票通道，闸机HN与BD之间
5 5
的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为 m（即AE=EH= m，求自动检票通道的
4 4
总宽度BH．（闸机宽度忽略不计）
【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半
部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6
米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求出上半部分抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断
该货车能否安全通行．
(3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形ABCD），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2
所示，其中AB、AD、CD为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200
元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【变式2-2】（2025九年级下·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求
所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出
了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m，拱高P'E'=6m其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，O'E'=E'N'．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架
ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S ，点
1 2
A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S =12❑√2m2 ，请
2
你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2
【变式2-3】（2023·北京房山·一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地
面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度
y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ )2+k(a<0)．
(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离
2 3 6 8 10 12
x/m
竖直高度
4 5.4 7.2 6.4 4 0
y/m
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系
y=a(x−ℎ )2+k(a<0)．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：
m）近似满足函数关系y=−0.288 (x−5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的
距离）为d ，“新拱门”的跨度为d ，则d __________d (填“>”、“=”或“<”）．
1 2 1 2
【题型3 投球问题】
【例3】（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了
中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长AB为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网OC高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点P(−9,1.5)处击球，网球飞行路线呈抛物线形
状，网球飞行过程中在点D(−3,2)处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为
y=mx2+2mx+n(m≠0)，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方
区域内（含边界），求m的最大值．
【变式3-1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x−3) 2+2.5运
行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m
，则铅球掷出的水平距离OB为 m．
【变式3-2】（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒
子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形ABCD为箱子截面
图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，AB=CD=1米，OB=BC=2米），小明站在原点，将乒
乓球从距离水平地面1.5米高的P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高
度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
【变式3-3】（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为2.24m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部
分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为 m，当排球运动到水平距离球网3m时达到
ℎ
最大高度2.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．
7
(1)当 = 时，
ℎ
4
①求抛物线的表达式；
②求排球是否能过球网？是否出边界？
(2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出ℎ的取值范围．
【题型4 拱桥问题】
【例4】（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽
20m，拱顶离水面5m，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当该河段水位再涨1.8m达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2m，船体宽8m，需要从拱桥下通过，
请通过计算判断该货船是否能顺利通行．
(3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂0.4m长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小
于1m（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；
为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼
数量最多可以是多少个．
【变式4-1】（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆
可视为抛物线，主缆垂度0.1785 km，主缆最低处距离桥面0.0015 km，桥面距离海平面约0.09 km．请
在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．【变式4-2】（2025·陕西咸阳·三模）一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段OC表示水
面，桥墩跨度AB为20m，以O为坐标原点，以OC所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线OA为y轴，
建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度OA=BC=4.3m，抛物线的顶点M到x轴的距离是
14.3m．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯EF平行于水面挂设，彩灯两端E，F皆在抛物
线上，另外两串彩灯EG，FH都垂直于水面挂设，且点G，H距离水面1m，求挂设的三串彩灯EF，EG，FH
长度和的最大值．
【变式4-3】（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在
河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面
为横坐标建立坐标，水面AB的宽为36米．水面AB离桥拱顶点C的高度18米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点P，使得PA+PO的值最小，若有，求出P点的坐标，若不存在，
请说明理由．
(3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14
米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点C的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
【题型5 隧道问题】
【例5】（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段AB表示水平的
路面，点O为AB的中点，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平
面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度AB=12米，该抛物线的顶点P到AB的距离为9米．
(1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形LED电子显示屏CDEF，确保行车安
全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否
满足安装设计要求．
【变式5-1】（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地
带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽AG=11.5米，其中
两侧分别设人行检修道AB=FG=1米，左侧设侧向宽度BC=0.75米，右侧设侧向宽度EF=1.25米，行车道
宽CD=DE=3.75米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，其中O为AG的中
点，隧道的净高度OH=5.5米．（参考数据：5.752≈33）
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽
度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出
该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．
【变式5-2】（2025·陕西西安·模拟预测）白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽OM约为18
米，净高（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支
撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形ABCD和矩形EFGH组成，已知下部分矩形的长BC=12
米，上部分矩形的长宽比（即EH:GH=3:2），点A，D，E，H都在抛物线上．根据以上信息解决问题．
(1)求隧道截面抛物线的解析式；
(2)请确定支撑点H的位置（即点H的坐标）．
【变式5-3】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速
公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的
一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内
并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两
辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【题型6 喷水问题】
【例6】（2025·广西南宁·模拟预测）某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安
装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考
的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为 米， 与d的数
ℎ ℎ
量变化有一定规律．
【提出问题】喷出的抛物线形水线距离湖面高度为 米与距喷水的柱子的水平距离d米， 与d之间有怎样的函数关系？
ℎ ℎ
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
d
… 0 1 2 3 4 …
（米）
5 9 5
ℎ
… 2 2 …
（米） 4 4 4
【解决问题】
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)已知ℎ与d之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出ℎ与d之间的函
数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船
宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.2米，问
游船能否顺利通过？说明理由．
(4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖
面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留π
）
【变式6-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要
如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开
展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度 为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2
ℎ
米，高出喷水口0.4米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边
缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，洒水车到绿化
带的距离OD为d米．
（3）当调整与绿化带距离为d=2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明
理由．
【变式6-2】（2025·宁夏银川·模拟预测）为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼
进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防
车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线y=a(x−6)2+29的一部
分．
(1)求a的值．
(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时消防车该如何行进，才能使喷出的水流灭掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为α，且tanα=2，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原
来一样，则伸缩臂应伸长多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
【变式6-3】（2025·河南濮阳·一模）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．
随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水
口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线y=kx(k≠0)上变动，从而产生一组不同的抛物
线，设这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx(a<0)．
1
(1)若k= ，
2
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为4m，求a、b的值；
(2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线y=x上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时a的取值范
围．
【题型7 跳跃问题】
【例7】（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）学科实践
【任务驱动】：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市
成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情，数
学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查．
【研究步骤】：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点E(0,−10)，运动员
3 2 9
（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线y=− (x− ) + ，在跳某个规定动作
4 16
时，运动员在空中最高处点A开始做翻腾、打开动作．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完
成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物
线．
【问题解决】：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务．
（1）直接写出运动员在空中最高处点A的坐标及入水处点B的坐标．（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失
误？说明理由．
（3）在该运动员入水处点B正前方有M，N两点，且EM=6，EN=8，该运动员入水后运动路线对应的抛物
线的解析式为y=(x−ℎ )2+k．若该运动员出水处点D在MN之间（包括M，N两点），请求出k的取值范
围．
【变式7-1】（2023·河南信阳·三模）中考体育考试规定男生立定跳远满分为2.5m，如图①，小勇立定跳
远为2.4m，小聪发现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时
脚离地面的最高距离为72cm，如图②，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点为A，最高
点为B．
(1)求小勇跳远时抛物线的表达式；
(2)体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了2.5m处，并在1.2m处通过电
子仪器测得小勇脚离地面的高度为0.624m．
①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度；
②若男生立定跳远及格线为185cm，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度．
【变式7-2】如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为
2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为y=−0.2 x2+3.5，沿此抛物线篮
球可准确落入篮圈．(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度
是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成
功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
【变式7-3】（2024·陕西咸阳·一模）某游戏爱好者设计了一款“袋鼠跳”的游戏．其中某一环节的游戏规
则为：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成两段连续跳跃（两段跳跃的运动轨迹呈现的抛物线形状相
同），若跳跃后到达点C处即可通关，否则不能通关．如图，袋鼠运动轨迹近似为抛物线的一部分，已知
袋鼠第一段（O→B）跳跃轨迹的最高点A到地面的距离为3m，与起跳点O的水平距离为6m，点B与起跳点
O的水平距离为9m；点C与点B的水平距离为3m，点C到地面的距离为5m．以起跳点O为原点，地面所在水
平方向为x轴，过点O垂直于x轴的方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该袋鼠第一段（O→B）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请判断该袋鼠是否能通关，并说明理由．
【题型8 实物问题】
【例8】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
在大自然里，有很多数学的奥秘．如图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们的叶片形状
都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状
(1)如图3，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=ax2−4ax−4a+1图象的
一部分．已知该图象过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
【探究二】探究心形叶片的宽度
(2)如图3，在(1)的条件下，心形叶片的对称轴(直线y=x+1)与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于
另一点C，点C，Cˈ是叶片上的一对对称点，CCˈ交直线AB于点G.求叶片此处的宽度CCˈ．
【探究三】探究幼苗叶片的长度
(3)小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数
y=ax2−4ax−4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的抛物线．已知直
线PD(点P为叶尖)与水平线的夹角为45°，求幼苗叶片的长度PD．
【变式8-1】（2025·河南驻马店·三模）某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要
搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接等高的A，B两点，点C、D分别位于点B
、A正下方的地面处，且C、D的水平距离为6米．点O在线段CD上，且OD=5米．以O为原点，以OD所在直
线为x轴，垂直OD的直线OP为y轴，建立平面直角坐标系，点P为抛物线与y轴交点，图2描画的是部分抛物
线图象，点A(−5,4.05 )，点P(0,2.8)．(1)求图2中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以y轴为对称轴构造AP段抛物线的轴对称图形，形成一个
“类W组合抛物线”．
①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
②若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为2.05米，求两个灯笼之间的最大水平距
离．
【变式8-2】（2025·陕西咸阳·二模）如图，这是U型滑板场地轨道示意图，两侧AB和CD是各自所在抛物线
的一部分，B,C分别为其所在抛物线的最低点，且轨道AB和CD所在抛物线的形状相同，其中OA=DE=
OB=CE=5m,BC=4m．为了确保场地安全，需在轨道AB左侧和CD右侧进行加固，安装统一规格的支架，两
侧的支架完全一致，其中AB左侧的支架由FM,GN,PF,QG四段构成，CD右侧的支架由KL,HR,KJ,HI四
段构成．以线段BC所在直线为x轴，线段OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xoy．
(1)求轨道AB所在抛物线的函数表达式．
(2)支架的要求为FM,GN,KL,HR垂直于线段BC所在的直线，PF,QG,KJ,HI平行于线段BC所在的直线，
且OM=MN=EL=RL．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度．
【变式8-3】（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L ，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L 组成．
1 2
抛物线L 的高度为8cm，矩形ABCD的边AB=8cm，BC=6cm，抛物线L 的高度为4cm．在装置内部安装矩形
1 2
电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L 上，点H，G在抛物线L 上．
2 1
问题解决：
如图2，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴．建立平
面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出B，C，D三点的坐标；
(2)直接写出抛物线L 和L 的顶点坐标，并分别求出抛物线L 和L 的函数表达式；
1 2 1 2
(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长．
【题型9 情境问题】
【例9】（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，
安排通道数之间的关系．【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系
式：y=− x2+60x+100(0≤x≤30)
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为__________，排队人数w与安检时间x的函
数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优
化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【变式9-1】（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已
在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的
g
运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为y= ℎ − x2 ．
2v2
其中， 表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，v表示投放物资时无人机的水平初速度
ℎ
(单位：米/秒)，取g为10米/秒²．实践探究：如图，1号无人机在空中以v=20米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖
直上方100米处以v=10米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平
面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线y
1
，物资B的运动路径即为抛物线y ．
2
问题解决：
(1)请结合图中相关数据，求抛物线y 的函数表达式；
1
(2)请求出两物资落点间的水平距离；
(3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若1，2号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，1，2号无人机需同时投放物资A，B，且物资落点不变，为避免A，B两物资相撞，
在保持1，2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解
决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求2号无人机投放物资B的水平初速度v的取
值范围（两无人机不能在同一点同时投放）．
【变式9-2】（2025·广西崇左·三模）综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发
射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中AB=4
米，且EF垂直平分AB这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水
平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表：
7
d/m 0 10 20 30 40 50 60
0
ℎ /m 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 k【问题解决】
(1)k的值为 ．
(2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接；
(3)求出h与d的函数解析式；
(4)小明射出的箭的运动轨迹与线段AB有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的
箭是否射入了点火台内？说明理由．
【变式9-3】（2025·安徽合肥·三模）问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的
轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A,B在矩形的边MN上．现要对该花坛内
种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB=8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，
且PO=16米．玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C,P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿
DE,CF将线段AC,BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在
第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定DE与CF的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题：
(1)求抛物线的函数表达式；(2)当9米材料恰好用完时，分别求DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2
设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC,BC上．求符合设计要
求的矩形周长的最大值．
【题型10 图表问题】
【例10】（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加
立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活
动
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
主
题
活
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
动
准
2．准备皮尺等测量工具．
备
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面
示意图，信息如下：
采
1．大门形状为矩形（矩形ABCD）；
集
数 2．底部跨度（AD的长）为8m；
据
3．立柱OE的长为2m，且OE⊥AD，垂足为
O,AO=OD．
设
考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根
计 与AD垂直的立柱，垂足分别为M 1 ,M 2 ，立柱
方 的另一端点N ,N 在抛物线形框架结构上，
1 2
案 其中AM =M D=1m．
1 2
小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原
点，线段AD所在直线为x轴，建立如图2所
确
示的平面直角坐标系．点E的坐标为(0,2)，
定
设抛物线的表达式为y=ax2+2，分析数据得
思
到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达
路
式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从
而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用
（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【变式10-1】（2025·广东深圳·三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
信 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区
息 域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次
1 只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信 B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车
息 到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为(50%+5%x)，但受限于B区域的停车空间和市场容量，
2 日租借率最高不超过80%
信
息 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
3
问
在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总
题
成本y（元），并写出x的取值范围
1
问
在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公
题
司日租借收入W的最大值．
2
公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：
问 方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元．
题
3 方案二：一次性给予运维团队800元奖励．
请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
【变式10-2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项
近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约80%的
目
火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未
背
然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
景
调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在
△AOB中，OA=OB=2❑√3米，喷嘴O到地面的距离OC=3米．
素
材
1
模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发
素 生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学
材 校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水
2 柱最外层的形状为抛物线．
学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形OABC，创新小组以点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为2.5米，即
AM=2米，OA=2.5米，水喷射到墙面D处，且OD=0.5米．
素 问题解决：已知车棚宽度OC为8米，电动车的电池距离地面高度为0.2米．创新
材 小组想在喷淋头M的同一水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水
3 柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任
务 （1）求图2中地面有效保护直径AB的长度；
1
任 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
务
2
（3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为多少米？
任
务 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
3
【变式10-3】（24-25九年级上·山东临沂·期末）根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要
报名跳绳同学9人，摇绳同学2人：
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称
分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最
高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2；
（2）9名跳绳同学身高如右表．
身高（m） 1.70 1.73 1.75 1.80人数 2 2 4 1
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳
时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适：
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地
19
面的高度是身高的 ．
20
问题解决
（1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处
时，对应抛物线的解析式．
（2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方
式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
（3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长
给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段
（线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的
问题．
