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专题 24.10 圆锥的侧面积和全面积（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 求圆锥的侧面积】......................................................................................................................................2
【题型2 求圆锥底圆的半径】..................................................................................................................................5
【题型3 求圆锥的高】..............................................................................................................................................7
【题型4 求圆锥母线长】........................................................................................................................................10
【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】...........................................................................................................12
【题型6 圆锥计算与实际应用问题】....................................................................................................................14
【题型7 圆锥与最短距离】....................................................................................................................................18
【题型8 求圆锥的全面积】....................................................................................................................................24
知识点 圆锥的侧面积和全面积
1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．
3. 圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．
（2）圆锥的母线长都相等．
（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆
锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．
4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S =πrl．全面积就是它的侧
侧
面积与它的底面积之和，即S =πrl+πr2 ．
全【题型1 求圆锥的侧面积】
【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成
正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面
和侧面，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】16πcm2
【分析】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解
决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
设AB=x，则DE=12−x，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程求出AB=8cm，进而求得圆
锥的侧面积．
【详解】解：设AB=x，则DE=12−x，
90πx
根据题意，得 =π(12−x)
180
解得x=8，
∴ AB=8(cm)，
90π×82
∴圆锥的侧面积为 =16π(cm2)．
360
故答案为：16πcm2．
【变式1-1】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，
若AD=5cm，∠BAC=60°，则这个圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）．
50π
【答案】
3【分析】本题考查了解直角三角形，圆锥的侧面积公式，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答
本题的关键．
根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，然后利用圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=30°，
2
在Rt△ABD中，AD=5cm，
❑√3 5❑√3
∴BD=AD⋅tan∠BAD=5× = (cm)，
3 3
10❑√3
∴AB=2BD= (cm)，
3
5❑√3 10❑√3 50π
∴这个圆锥的侧面积为 × π= (cm2)，
3 3 3
50π
故答案为： ．
3
【变式1-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠C=60°，
∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（ ）
15
A．10 B．5❑√3 C． D．5❑√2
2
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
先证明△CBD为等边三角形得到BC=BD，再证明△ABD为等腰直角三角形得到BD=❑√2AB，再利用
圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB:BC，从而得到下面圆
锥的侧面积．
【详解】∵∠C=60°，
而CB=CD，∴△CBD为等边三角形，
∴BC=BD=CD，∠CBD=∠CDB=60°，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=45°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=45°，∠A=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=❑√2AB，
∴BC=❑√2AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB:BC，
∴下面圆锥的侧面积=❑√2×5=5❑√2．
故选：D．
【变式1-3】（2025·广东·二模）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是120°，则该圆锥的
侧面积是底面积的 倍．
【答案】3
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，设母线长为l，底面圆半径为r，根据扇
形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出l与r的关
系，进而求出底面积即可得到答案．
【详解】解：设母线长为l，底面圆半径为r，
120πl2 1 120πl
由题意得，该圆锥的侧面积为 = πl2，2πr= ，
360 3 180
1
∴r= l，
3
1
∴底面积为πr2= πl2
，
9∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍，
故答案为：3．
【题型2 求圆锥底圆的半径】
【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形
围成一个圆锥的侧面．
（1）则这个圆锥的底面半径r= ．
（2）这个圆锥的高ℎ = ．
【答案】 4 2❑√21
【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键．
（1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程
求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r，
144π×10
由题意得，2πr= ，
180
解得r=4，
∴这个圆锥的底面圆半径为4，
故答案为：4；
（2）由题意得，
ℎ
=❑√102−42=2❑√21，
故答案为：2❑√21．
【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）将母线为4cm的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，
则该圆锥底面圆的半径为 cm．
4 1
【答案】 /1
3 3
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，弧长公式，设该圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面扇形的弧
长等于底面圆的周长，列方程计算，即可求解．【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为r，根据题意得，
120
π×4=2πr，
180
4
解得：r= ；
3
4
故答案为： ．
3
【变式2-2】（2025·内蒙古·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，以点B为圆心，BC的长为半径画圆，
则正方形ABCD的中心在⊙B （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，
则圆锥的底面直径为 ．
【答案】 内 3
1
【分析】连接AC，BD，交于点E，由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD，BE= BD，
2
1
∠DCB=90°，CD=BD=6，由勾股定理可得BD=6❑√2，则BE= BD=3❑√2<6，即可得出正方形
2
90×π×6
ABCD的中心在⊙B内；设圆锥的底面直径为d，则πd= ，解得d=3．
180
【详解】解：如图，连接AC，BD，交于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
1
∴AC⊥BD，BE= BD，∠DCB=90°，CD=BC=6，
2∴BD=❑√CD2+BC2=❑√62+62=6❑√2，
1
∴BE= BD=3❑√2<6，
2
∴点E在⊙B内，
即正方形ABCD的中心在⊙B内，
设圆锥的底面直径为d，
90×π×6
∴πd= ，解得d=3，
180
∴圆锥的底面直径为3，
故答案为：内，3．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正方形的性质，圆锥的有关计算，点与圆是位置关系，弧长公式，掌
握知识点的应用是解题的关键．
【变式2-3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形ABCDE的边长为10，以顶点A为圆心，AB长为半
径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形
的弧长是解题的关键．
先利用正多边形内角和定理求出∠BAE的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进
行求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，
180°×(5−2)
由题意得，∠BAE= =108°，
5
108×π×10
∴2πr= ，
180
∴r=3，
故答案为：3．【题型3 求圆锥的高】
【例3】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是
5，则该圆锥的高是（ ）
A．4❑√3 B．❑√21 C．3❑√3 D．2❑√6
【答案】D
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr
，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出r=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公
式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，
∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，且扇形的半径R是5，
72π×5
∴扇形的弧长为 =2π，
180
∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
∴2πr=2π，
∴r=1，
∴圆锥的高为❑√52−12=2❑√6，
故选：D．
【变式3-1】将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ．
【答案】❑√3
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，
∴2πr=2π
解得r=1，
∴
ℎ
=❑√22−12=❑√3．故答案为：❑√3．
【变式3-2】在一个边长为4cm正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧
面，则这个圆锥的高为（ ）cm
❑√53
A． B．❑√15 C．❑√7 D．❑√13
2
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，熟练掌握知识点是解题的关键．设这个圆锥的底面圆的半径为
rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程，求出半径r，然后再
根据勾股定理求出圆锥的高即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
90π⋅4
由题意得， =2πr，
180
解得：r=1，
∵圆锥的母线长为4cm，
∴这个圆锥的高为：❑√42−12=❑√15(cm)，
故选：B．
【变式3-3】如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．
(1)求扇形AOB的弧长；（结果保留π）
(2)如图所示，若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．（结果保留根号）【答案】(1)4πcm
(2)4❑√2cm
【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得
到2πr=4π，解得r=2，然后根据勾股定理计算OH．
【详解】（1）解：∵扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm，
120×6π
∴l = =4π(cm)．
A´B 180
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr=4π，解得r=2，
在Rt△OHC中，HC=2，OC=6，
∴OH=❑√OC2−HC2=4❑√2(cm)．
【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”
是解本题的关键．
【题型4 求圆锥母线长】
【例4】如图，点C为扇形AOB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在A´B上的点D
处，且l :l =1:3，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
B´D A´D
A．1:3 B．1:π C．1:4 D．2:9
【答案】D
【分析】本题考查的是扇形，折叠的性质，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键．
连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可．
【详解】解：连接OD交AC于M．1
由折叠的知识可得：OM= OA，∠OMA=90°，
2
∴∠OAM=30°，
∴∠AOM=60°，
⌢ ⌢
∵ BD:AD=1:3 ，
1
∴∠BOD= ∠AOD=20°
3
∴∠AOB=80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
80πl
根据题意得， =2πr，
180
∴r:l=2:9．
故选：D．
【变式4-1】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm，圆心角为
216°，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，熟练掌握其性质并能灵活运用扇形的弧
长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程是解决此题的关键．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆
锥底面周长可得．
【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm，
216πR
根据题意得：6π= ，
180
解得：R=5，
故选：A ．
【变式4-2】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为20cm，则母线长为 cm．
【答案】60
【分析】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．先求出圆锥底面积，再根
据此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，求出侧面积，根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面积为π×202=400πcm2，且圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，
∴圆锥的侧面积为3×400π=1200πcm2，
1200π
∴圆锥的母线长l= =60cm，
20π
故答案为：60．
【变式4-3】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是24πcm，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则
它的母线长是（ ）
A．6cm B．10cm C．20cm D．24cm
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形
的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为24πcm，
∴它的侧面展开图的弧长为24πcm，
设母线的长为lcm，
180πl
∴24π= ，
180
解得l=24，
∴母线长是24cm．
故选：D．
【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】
【例5】（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个
底面半径r为3cm，高ℎ为4cm的圆锥体，那么这个扇形的圆心角∠AOB的度数是 ．【答案】216°/216度
【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为l，由勾股定理得
nπl
l=❑√
ℎ
2+r2，由弧长公式得 =2πr，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的
180
关键．
【详解】解：设圆锥的母线为l，这个扇形的圆心角∠AOB=n，
∴l=❑√
ℎ
2+r2
=❑√32+42
=5cm，
nπl
∵ =2πr，
180
nπ×5
∵ =2π×3，
180
解得：n=216，
故答案为：216°．
【变式5-1】在直角三角形ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°，如果把该三角形绕直线AC旋转
一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
【答案】216
【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出BC的长，根据旋转的方式，得
到底面圆的半径为6，母线为10，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=❑√AB2+AC2=10，
由题意，得：圆锥的底面圆的半径为6，母线为10，nπ
设展开后扇形的圆心角的度数为n°，则：2π×6= ×10，
180
解得：n=216；
故答案为：216．
1
【变式5-2】一个圆锥底面半径是母线长度的 ，则这个圆锥侧面展开后扇形的圆心角是 °．
3
【答案】120
【分析】本题考查了弧长公式，圆的面积公式．
设圆锥底面半径为r，则母线长度为3r，设扇形的圆心角是n°，根据圆锥侧面展开后扇形的弧长=圆锥的
底面积计算即可．
【详解】设圆锥底面半径为r，则母线长度为3r，设扇形的圆心角是n°，
nπ⋅3r
∴ =2πr，
180
解得：n=120
故答案为：120．
【变式5-3】（24-25九年级上·四川广安·期中）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形
的圆心角是（）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】B
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆
锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇
形面积公式求出是解题的关键．
根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面
周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线长为R，弧长为l，扇形面积为S，底面积为S ，圆心角度
1
数为n，
∵S=3S ，
11
∴
Rl=3πr2
，
2
∵l=2πr，
∴πrR=3πr2，即R=3r，
nπR
又∵l= ，
180
180l 180×2πr
∴n= = =120，
πR 3πr
故选：B．
【题型6 圆锥计算与实际应用问题】
【例6】图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角
形材料，其中AB=AC,AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE,AF恰好重合．已知这种加工材料的顶
角∠BAC=90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm．
(1)求图2中圆锥的母线AE的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】(1)10cm
(2)(100−25π)cm2
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线
90⋅π⋅AD
长，则利用弧长公式得到π⋅DE= ，从而求出AD=2DE=10cm，再由AE=AD即可求解；
180
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AD=20cm，再利用扇形的面积公式，利用
S =S −S 进行计算．
阴影部分 △ABC 扇形EAF
90⋅π⋅AD
【详解】（1）解：根据题意得π⋅DE= ，
180∴AD=2DE=2×5=10(cm)，
∴AE=AD=10cm；
（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
而AD=10cm，
∴BC=2AD=20cm，
∴S =S −S
阴影部分 △ABC 扇形EAF
1 90×π×102
= ×10×20−
2 360
=(100−25π)cm2
．
【变式6-1】如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为3m、圆心角为120°的扇形，制作这
顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留π）
【答案】4πm2
【分析】本题考查了圆锥的侧面积与底面积的计算，先由扇形面积公式计算出帐篷的侧面需要的材料，设
120
帐篷的底面半径为r，则2πr= ×3×π，求出底面半径，从而得出帐篷的底面需要的材料，即可得
180
解．
120
【详解】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：
×32×π=3πm2
，
360
120
设帐篷的底面半径为r，则2πr= ×3×π，
180
解得：r=1，
∴帐篷的底面需要的材料为πr2=πm2，
∴制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：π+3π=4πm2．
【变式6-2】如图漏斗，圆锥形内壁的母线OB长为6cm，开口直径为6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 cm；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
【答案】 3❑√3 180°/180度
【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可；
（1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可．
6
【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为 =3cm，
2
∴圆锥的高为❑√62−32=3❑√3cm；
即：水深3❑√3cm；
故答案为：3❑√3；
nπ
（2）由题意，得： ×6=6π，
180
∴n=180，
∴展开滤纸的圆心角为180°；
故答案为：180°．
【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解
题的关键．
【变式6-3】在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成
圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸
1
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
4管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)能，见解析
(2)5πcm2
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
180°
（2）求出扇形弧长为7.2πcm，则圆心角为7.2π÷6× =216°，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥
π
的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外
层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）解：如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥
侧面的关系．
1
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为 圆，
4
( 1) 1
则围成的圆锥形的侧面积= 1−2× S = S ．
4 ❑滤纸圆 2 ❑滤纸圆
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：πd=π×6=6π(cm)，
180°
该侧面展开图的圆心角为6π÷6× =180°．
π
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
（2）如果抽象地将母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形
弧长为7.2πcm，180°
圆心角为7.2π÷6× =216°，
π
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积= ( 25π− 216 ×25π ) ÷2=5π(cm2)．
360
【题型7 圆锥与最短距离】
【例7】如图圆锥的横截面△ABC，BC=4cm，AB=AC=6cm，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线AC
去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A．❑√3 B．2❑√3 C．3 D．3❑√3
【答案】D
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数
值是解题的关键．
先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出
∠BAB 的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出BD的长度．
1
【详解】圆锥的侧面展开图如下图：
作BD⊥AD
∵圆锥的底面直径BC=4cm,
∴底面周长为4πcm，
设∠BAB =n°
1
∵ AB=AC=6cm，nπ×6
则有 =4π
180
解得n=120°，
∴∠BAC=60°，
在Rt△ABD中
❑√3
BD=6× ，
2
=3❑√3cm
∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为3❑√3cm
故选：D.
【变式7-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，
它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即
∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)=__________，T(120°)=__________，T(A)的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60）
【答案】(1)❑√2，❑√3，0<T(A)<2
(2)约为20.7
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌
握相关性质定理和T(A)的定义是解本题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据T(A)的定义即
可解答．
【详解】（1）解：如图1，由∠A=90°，AB=AC，得BC=❑√2AB，
BC
∴T(90°)= =❑√2，
AB
如图2，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
1
∴作AD⊥BC于D，则∠BAD= ∠BAC=60°，BD=CD，
2
∴∠B=30°，则AB=2AD，
❑√3
∴BD=❑√AB2−AD2= AB
2
∴BC=2BD=❑√3AB，
BC
∴T(120°)= =❑√3；
AB
∵AB−AC<BC<AB+AC=2AB，
BC
∴0< <2，
AB
∴0<T（A）<2．
故答案为：❑√2，❑√3，0<T(A)<2；
（2）解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
n⋅π×18
则 =14π，解得n=140，
180
∵T(70°)≈1.15，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为18×1.15≈20.7．【变式7-2】如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从
A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
9❑√3 9
【答案】 / ❑√3
2 2
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角∠APA′的度数，然后利用等边
9❑√3
三角形的判定与性质、勾股定理可得AC= ，最后根据两点之间线段最短即可得．
2
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接AB、AC，
设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA′的度数为n°，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
nπ×9
所以 =2π×3，
180
解得n=120，
1
则∠APB= APA′=60°，
2
又∵AP=BP=9，
∴△ABP是等边三角形，
∵点C为PB的中点，
1 9
∴AC⊥BP，CP= BP= ，
2 29❑√3
在Rt△ACP中，AC=❑√AP2−CP2=
，
2
9❑√3
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC= ，
2
9❑√3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面
展开图是解题关键．
【变式7-3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长SA=8，现有一只小虫从
圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，则它所走的最短路程是 ．
【答案】4❑√5
【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公
式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之
间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开
图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为n°，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
nπl
2πr= ，
180
又∵r=2,l=8．
8πn
∴2×2π= ，
180
解得：n=90．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
∵SA=8，B为SA′的中点，
∴SB=4
由（1）知∠ASA′=90°
∴AB=❑√SA2+SB2=4❑√5
∴它所走的最短路线长是4❑√5．
故答案为：4❑√5
【题型8 求圆锥的全面积】
【例8】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为18cm的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪
出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出
的圆锥的表面积为 cm2（结果保留π）．
【答案】243π
【分析】本题考查了圆锥表面积的计算，一次函数的性质，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的
半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
nπ×18
设小圆的直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，则πx= ，得到n=10x(0<x≤18)，可知
180
x=18时，n=10×18=180，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径18cm时，小圆与大圆的直径相
切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：S=
π
×182+π×
(18) 2
=243π(cm2)．
2 2
【详解】解：设小圆的直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，
nπ×18
则πx= ，
180
∴n=10x(0<x≤18)，
∵n随着x的增大而增大，
且当x=18时，n=10×18=180，
即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径18cm时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周
长相配套，此时圆锥的表面积为：S=
π
×182+π×
(18) 2
=243π(cm2)，
2 2
故答案为：243π．
【变式8-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）圆锥的底面直径是60cm，母线长80cm，则圆
锥的全面积为
【答案】3300πcm2
【分析】本题考查了圆锥的全面积，先求出圆锥的底面积和底面圆的周长，再求出圆锥的侧面积，进而即
可求解，掌握圆锥的侧面积计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵圆锥的底面直径是60cm，
∴圆锥的底面积=π×
(60) 2
=900πcm2 ，底面圆的周长=60πcm，
2
1
∴圆锥的侧面积= ×60π×80=2400πcm2 ，
2
∴圆锥的全面积=900π+2400π=3300πcm2，
故答案为：3300πcm2．
【变式8-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°
，若将此扇形围成一个圆锥，求：
(1)围成的圆锥的侧面积．(2)围成的圆锥的全面积．
【答案】(1)12πcm2
(2)16πcm2
【分析】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键：
（1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积；
（2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积
120π×62
【详解】（1）解：圆锥的侧面积是 =12π(cm2 )．
360
120π×6
（2）扇形的弧长是 =4π，则底面半径是2，底面面积是4π，
180
则围成的圆锥的全面积是12π+4π=16π(cm2 )．
【变式8-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为❑√2m的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心
角是90°的扇形ABC（如图）．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
(3)求圆锥的全面积．
1
【答案】(1)被剪掉的阴影部分的面积
πm2
4
1
(2)圆锥的底面圆的半径是 m
4
5
(3)圆锥的全面积是
πm2
16
【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题．
（1）因为扇形ABC的圆心角是90°，所以BC为⊙O的直径=❑√2m，△ABC是等腰直角三角形，利用勾
股定理即可求出AB即扇形ABC的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案；
（2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解；（3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积．
【详解】（1）解：连接BC，
∵∠A=90°
，
∴ BC为⊙O的直径．
在Rt△ABC中，AB=AC，且AB2+AC2=BC2，
∴ AB2+AC2=2，
∴ AB=AC=1，
∴ S =S⊙O−S =π⋅
(❑√2) 2
−
90π×12
=
1
π−
1
π=
1
π(m2)；
阴影 扇形ABC 2 360 2 4 4
1
答：被剪掉的阴影部分的面积
πm2
；
4
（2）解：设圆锥底面半径为rm，则B´C长为2πrm，
90π×1
∴ =2πr，
180
1
∴ r= ；
4
1
答：圆锥的底面圆的半径是 m；
4
（3）解：S =S +S =S +S =
1
π+
(1) 2
⋅π=
5
π(m2)．
全 侧 底 扇形ABC 圆 4 4 16
5
答：圆锥的全面积是
πm2
．
16
