文档内容
专题 24.10 圆锥的侧面积和全面积（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 求圆锥的侧面积】......................................................................................................................................2
【题型2 求圆锥底圆的半径】..................................................................................................................................3
【题型3 求圆锥的高】..............................................................................................................................................4
【题型4 求圆锥母线长】..........................................................................................................................................5
【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】..............................................................................................................5
【题型6 圆锥计算与实际应用问题】......................................................................................................................6
【题型7 圆锥与最短距离】......................................................................................................................................7
【题型8 求圆锥的全面积】......................................................................................................................................8
知识点 圆锥的侧面积和全面积
1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．
3. 圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．
（2）圆锥的母线长都相等．
（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆
锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．
4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S =πrl．全面积就是它的侧
侧
面积与它的底面积之和，即 ．
S =πrl+πr2
全【题型1 求圆锥的侧面积】
【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成
正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面
和侧面，则圆锥的侧面积为 ．
【变式1-1】（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，
若AD=5cm，∠BAC=60°，则这个圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）．
【变式1-2】（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠C=60°，
∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（ ）
15
A．10 B．5❑√3 C． D．5❑√2
2
【变式1-3】（2025·广东·二模）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是120°，则该圆锥的
侧面积是底面积的 倍．【题型2 求圆锥底圆的半径】
【例2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形
围成一个圆锥的侧面．
（1）则这个圆锥的底面半径r= ．
（2）这个圆锥的高
ℎ
= ．
【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）将母线为4cm的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，
则该圆锥底面圆的半径为 cm．
【变式2-2】（2025·内蒙古·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，以点B为圆心，BC的长为半径画圆，
则正方形ABCD的中心在⊙B （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，
则圆锥的底面直径为 ．
【变式2-3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，正五边形ABCDE的边长为10，以顶点A为圆心，AB长为半
径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．【题型3 求圆锥的高】
【例3】（2025·广东广州·三模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是
5，则该圆锥的高是（ ）
A．4❑√3 B．❑√21 C．3❑√3 D．2❑√6
【变式3-1】将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ．
【变式3-2】在一个边长为4cm正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧
面，则这个圆锥的高为（ ）cm
❑√53
A． B．❑√15 C．❑√7 D．❑√13
2
【变式3-3】如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．(1)求扇形AOB的弧长；（结果保留π）
(2)如图所示，若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．（结果保留根号）
【题型4 求圆锥母线长】
【例4】如图，点C为扇形AOB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在A´B上的点D
处，且l :l =1:3，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
B´D A´D
A．1:3 B．1:π C．1:4 D．2:9
【变式4-1】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm，圆心角为
216°，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【变式4-2】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧
面积是底面积的3倍，底面半径为20cm，则母线长为 cm．
【变式4-3】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是24πcm，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则
它的母线长是（ ）
A．6cm B．10cm C．20cm D．24cm
【题型5 求圆锥侧面积展开图的圆心角】
【例5】（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个
底面半径r为3cm，高
ℎ
为4cm的圆锥体，那么这个扇形的圆心角∠AOB的度数是 ．【变式5-1】在直角三角形ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°，如果把该三角形绕直线AC旋转
一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
1
【变式5-2】一个圆锥底面半径是母线长度的 ，则这个圆锥侧面展开后扇形的圆心角是 °．
3
【变式5-3】（24-25九年级上·四川广安·期中）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形
的圆心角是（）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【题型6 圆锥计算与实际应用问题】
【例6】图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角
形材料，其中AB=AC,AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE,AF恰好重合．已知这种加工材料的顶
角∠BAC=90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm．
(1)求图2中圆锥的母线AE的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【变式6-1】如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为3m、圆心角为120°的扇形，制作这
顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留π）【变式6-2】如图漏斗，圆锥形内壁的母线OB长为6cm，开口直径为6cm．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 cm；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
【变式6-3】在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成
圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸
1
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
4
管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【题型7 圆锥与最短距离】
【例7】如图圆锥的横截面△ABC，BC=4cm，AB=AC=6cm，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线AC
去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A．❑√3 B．2❑√3 C．3 D．3❑√3
【变式7-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即
∠A的对边(底边) BC
T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)=__________，T(120°)=__________，T(A)的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T(140°)≈1.88，T(70°)≈1.15，T(35°)≈0.60）
【变式7-2】如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从
A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【变式7-3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长SA=8，现有一只小虫从
圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，则它所走的最短路程是 ．
【题型8 求圆锥的全面积】
【例8】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，有一张半径为18cm的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪
出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 cm2（结果保留π）．
【变式8-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）圆锥的底面直径是60cm，母线长80cm，则圆
锥的全面积为
【变式8-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°
，若将此扇形围成一个圆锥，求：
(1)围成的圆锥的侧面积．
(2)围成的圆锥的全面积．
【变式8-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为❑√2m的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心
角是90°的扇形ABC（如图）．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
(3)求圆锥的全面积．
