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专题 24.8 正多边形和圆（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】..............................................................................................................3
【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】.................................................................................................4
【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】.............................................................................................5
【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】.............................................................................................5
【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】.....................................................................................................6
【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】.............................................................................................8
【题型7 正多边形和圆中的证明】..........................................................................................................................9
【题型8 正多边形和圆中的最值问题】................................................................................................................10
知识点 1 正多边形及有关概念
1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正 n边
形，这个圆就是这个正n边形的外接圆．
3. 与正多边形有关的概念
（1）中心，即正多边形的外接圆的圆心；
（2）半径，即正多边形的外接圆的半径；
（3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角；
（4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离．
知识点 2 正多边形的有关计算设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 以正六边形为例：
(n−2)⋅180°
（1）每个内角为 ；每个中心角为
n
360° 360°
；每个外角为 ；
n n
a 2
（2）半径、边长、边心距的关系为R2=r2+(
)
2
1 1
（3）周长l=na；面积 S= arn= lr
2 2
知识点 3 正多边形的画法
画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法：
1. 用量角器等分
特点：（1）可以画出任意正多边形；
（2）边数很大时，容易产生较大误差．
360° 1
步骤：（1）用量角器画一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的 ；
n n
（2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点；
（3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形．
2. 用尺规等分
特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边
形等；（2）作图比较准确．
画正六边形的步骤：（1）作直径AD；
（2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E；
（3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF．
【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】
【例1】（2025·四川南充·一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为A´E的中点，则∠ABF=（ ）
A．9° B．12° C．18° D．36°
【变式1-1】（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，则
∠BCO的度数为（ ）
A．36° B．48° C．54° D．60°
【变式1-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，AB是⊙O内接正五边形的一条边，B, C是优弧
ACD上的两点，且点C在点B的右侧．若∠ABC=120°，则∠BAC的度数为 °．
【变式1-3】（2025·江苏扬州·二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相
切，则∠1的度数为（ ）
A．16° B．18° C．20° D．36°
【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】
【例2】（2025·山西·一模）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AD，GD．若⊙O的半径为2，则线段AD，GD与A´G围成的图形（阴影部分）面积为（ ）
π
A． B．π+2❑√3 C．π+2❑√2 D．π+❑√2
2
【变式2-1】（2025·江苏苏州·二模）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在
学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，
正五边形ABCDE的边长为3，分别以A和E为圆心，3为半径作BP´E和AP´D交于点P，此时阴影部分的周
长为 ．
【变式2-2】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内
部多边形为⊙O的内接正十二边形，若⊙O的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．6❑√3 C．12 D．4π
【变式2-3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，
内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 ，周
长为 ．【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】
【例3】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成
2
的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆，连接OC，OD，作OG⊥CD．若劣弧CD的长为 π，则
3
OG= ．
【变式3-1】若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是
°．
【变式3-2】如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AO，BO，则∠FED−∠AOB=
°．
【变式3-3】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点D作⊙O的切线交AE的延长线于点F．则∠F
的度数为 ．【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】
【例4】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为4π，则
边心距OM的长为（ ）
❑√3 1
A．❑√3 B． C． D．2❑√3
2 2
【变式4-1】如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的边心距为 ．
【变式4-2】如图，正六边形 内接于 ，点P在 ⏜ 上且点P与点A，点B不重合，连接 ，
ABCDEF ⊙O PA
AB
PB，PC，用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系是 ．
【变式4-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形
ABCDEF的边心距OM的长为 ．【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】
【例5】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【变式5-1】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕
迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
【变式5-2】尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。(1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
(2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【变式5-3】在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分BD．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作AC的垂线，垂足为K，以点O为圆心，OK的长为半径作圆；（在图②中完成作
图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：CE是①所作圆的切线．
【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】
【例6】在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，
让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，已知“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的边长是4．
（1）如图1，作出“雪花”图案的外接圆，则B´C长为 ；
（2）如图2，将“雪花”图案放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为(2,−3)，则顶
点C的坐标为 ．
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是
．【变式6-2】如图，将内接于⊙O的正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，圆心O与坐标原点重合，若A点
的坐标为（﹣1，0），则图中阴影部分的面积为 （结果保留 根号）
【变式6-3】如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象
限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点
B运动到了⊙O上的点B 处，点A、D分别运动到了点A、D 处，即得到正方形ABC D（点C 与C重
1 1 1 1 1 1 1 1
合）；再将正方形ABC D 绕点B 按逆时针方向旋转150°，点A 运动到了⊙O上的点A 处，点D、C 分
1 1 1 1 1 1 2 1 1
别运动到了点D、C 处，即得到正方形ABC D（点B 与B 重合），…，按上述方法旋转2020次后，点
2 2 2 2 2 2 2 1
A 的坐标为 ．
2020
【题型7 正多边形和圆中的证明】
【例7】如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD⋯，AD交OB，OC于M，N，求证：(1)MN∥BC；
(2)MN+BC=OB．
【变式7-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM,CM．
(1)求证：BM=CM；
(2)连接OB、OM，求∠BOM的度数．
【变式7-2】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S，六边形ABCDEF的面积为S，求S 的值（结果保留π）．
1 2 1
S
2
【变式7-3】如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB=2，连接DG．
(1)求证DG∥AB；
(2)DG的长为 ．【题型8 正多边形和圆中的最值问题】
【例8】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN=1
，则△AMN周长的最小值是 ．
【变式8-1】如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动
点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为
．
【变式8-2】如图，⊙O半径为❑√2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD´C上运动，连接BE，作AF⊥
BE，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为 .
【变式8-3】如图， 为等边 的外接圆，半径为2，点 在劣弧 ⏜ 上运动（不与点 重合），
⊙O ΔABC D A,B
AB
连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理
由；
（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位
置，ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
