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专题 24.8 正多边形与圆
1. 掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各部分。
教学目标 2. 掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟练的应用。
3. 掌握正多边形的画法，能够熟练的画出正多边形。
1. 重点
（1）正多边形及其相关概念；
（2）正多边形的有关计算；
教学重难点 （3）正多边形的画法。
2. 难点
（1）利用正多边形计算相关计算；
（2）正多边形在计算时对隐藏条件的应用。知识点01 正多边形及相关概念
1. 正多边形的概念：
各条边 相等 ，各个角也 相等 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆 平均 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 分点 所得的多边形是这个圆
的 内接正多边形 ，这个圆叫做这个正多边形的 外接圆 。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心。
即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 外接圆 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形
360°
的中心角。正多边形的中心角度数为 。
n
（4）边心距： 中心 到正多边形的 边 的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂
线即为边心距。
知识点02 正多边形的有关计算
1. 正多边形的内角计算：
(n-2)×108°
正n边形的每个内角计算公式为 。
n
2. 正多边形的中心角：
360°
正n边形的中心角度数为 。
n
3. 正多边形的外角：
360°
正n边形的外角度数为 。
n
4. 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为 r2=
(a) 2
+h2 。
2
5. 正多边形的周长和面积：
1 1
边长为a的正n边形的周长为 C=an ；面积为 S= arn= Cr 。
2 2
【即学即练1】1．完成下列有关正多边形的计算：
形状 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
正三角形 6
120° 6❑√3 3 18❑√3 27❑√3
正方形 6
90° 3❑√2 3 24 36
正六边形 ❑√3
60° 2 2 12 6❑√3
【答案】120°，90°，60°，3❑√2，2，6❑√3，2，3，3，18❑√3，24，12，27❑√3，36，6❑√3．
360°
【解答】解：如图（1）中心角∠BOC= =120°，
3
1
∵∠OBD= ∠ABC＝30°，OB＝6，
2
1
∴OD= OB＝3，
2
∴BD＝3❑√3，
∴BC＝6❑√3，
1
∴△ACB的周长为18❑√3；面积＝3× ×6❑√3×3＝27❑√3；
2
如图（2），内角∠A＝90°，中心角∠BOC＝90°，
∴△BOC、△OBE是等腰直角三角形，
∵边长BC＝6，
❑√2
∴OB= BC＝3❑√2，
2
∴半径为：3❑√2，边长为6，
∴周长为24，面积为36；
360°
如图（3），内角为120°，中心角∠AOB= =60°，
6
∴△OAB是等边三角形，
∵边心距OM=❑√3，
OM
∴AM= =1，
tan60°
∴AB＝OA＝2AM＝2，
∴半径为2，边长为2，
1
∴周长为12，面积为：6S ＝6× AB•OM＝6❑√3．
AOB 2
△形状 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
正三角形 120° 6 6❑√3 3 18❑√3 27❑√3
正方形 90° 3❑√2 6 3 24 36
正六边形 60° 2 2 ❑√3 12 6❑√3
故答案为：120°，90°，60°，3❑√2，2，6❑√3，2，3，3，18❑√3，24，12，27❑√3，36，6❑√3．
【即学即练2】
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧^BC上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（
）
A．45° B．36° C．35° D．30°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
360°
∴∠COD= =72°，
5
1
∴∠CPD= ∠COD＝36°，
2
故选：B．
【即学即练3】
3．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数为（ ）
A．60° B．120° C．72° D．108°
【答案】D
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中
{
AB=BC
∠ABM=∠C
BM=CN
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
(5-2)×180°
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC= =108°，
5
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．
知识点03 正多边形的画法
6. 正多边形的画法：
利用等分圆的方法画正多边形。算出正多边形的中心角，用量角器等分圆周，然后依次连接圆上的等
分点即可。
【即学即练1】
4．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：题型01 利用这多边形与圆球角度
【典例 1】如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，P为^AB上一点，连接 PA，PE，则∠APE的度数为
（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【解答】解：连接OA、OE，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
1
∴∠AOE= ×360°＝72°，
5
∵P为^AB上一点，
1 1
∴∠APE= ∠AOE= ×72°＝36°，
2 2
故选：B．
【变式1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，
则∠MFN的度数为（ ）A．25° B．36° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
1
∴∠MFN= ∠MON＝36°，
2
故选：B．
【变式2】我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形 OABCD的边AB固定，
向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O
的切线EF，则∠BCF的度数为（ ）
A．18° B．30° C．36° D．54°
【答案】B
【解答】解：连接OC，OB，
∵五边形OABCD的正五边形，
∴AB＝BC＝CD，
∴^AB=^BC=C^D，∵AD是⊙O的直径，
1
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC= ×180°=60°，
3
∵OC＝OB，
1
∴∠OCB＝∠OBC= ×（180°﹣60°）＝60°，
2
∵点C作⊙O的切线EF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
【变式3】如图，已知等腰△AEN中，AE＝AN，分别以AE，AN为边，作正五边形ABCDE与正方形
ABMN有公共边AB，则∠AEN的度数为（ ）
A．9° B．10° C．15° D．20°
【答案】A
180°×(5-2)
【解答】解：每个内角度数为： =108°，
5
∴∠EAB＝108°，∠NAB＝90°，
∴∠EAN＝360°﹣108°﹣90°＝162°，
∵AE＝AN，
∴∠AEN＝∠ANE，
180°-∠EAN 180°-162°
∴∠AEN= = =9°．
2 2
故选：A．
题型02 与正多边形有关的线段
【典例1】正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A．1：2：3 B．1：❑√2：3 C．1：❑√2：❑√3 D．1：2：❑√3【答案】A
【解答】解：如图，O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD＝30°，
又∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt OBD中，
BO＝2DO，
△
即AO＝2DO，
∴OD：OA：AD＝1：2：3．
故选：A．
【变式1】如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，点P是对角线BE上一个动点，则PA+PF的最小值
是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解答】解：利用正多边形的性质可得，点A关于BE的对称点为点C，连接CF交BE于点P′，那么有
P′A＝P′C，P′A+P′F＝P′C+P′F≥CF，点P为BE与CF的交点时PA+PF最小．
∵六边形ABCDEF是正六边形，对角线BE、CF交于P′，
∴△BCP′、△EFP′都是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的边长是5，∴CP′＝P′E＝BC＝5，
可得：CF＝10，
∴PA+PF的最小值是10，
故选：D．
【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为4π，则边心距OM的长为（ ）
❑√3 1
A．❑√3 B． C． D．2❑√3
2 2
【答案】A
【解答】解：∵⊙O的周长为4π，
∴OA＝OB＝2
∵六边形ABCDEF为正六边形，
360°
∴∠AOB= =60°，
6
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2
∵OM⊥AB，
1
∴AM=BM= AB=1，
2
∴OM=❑√22-12=❑√3，
故选：A．
【变式3】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆⊙O 和⊙O ，若正三角形的周长为m，正方形的周长
1 2
为n，则m与n的关系为（ ）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能确定
【答案】A
【解答】解：设两个圆的半径为R，
如图1，连接O B，过点O 作O D⊥BC，垂足为D，
1 1 1∵△ABC是⊙O 的内接正三角形，
1
∴∠BO D＝60°，
1
❑√3 ❑√3
∴BD= O B= R，
1
2 2
∴BC＝2BD=❑√3R，
∴m＝3BC＝3❑√3R，
如图2，连接O B，过点O 作O E⊥BC，垂足为E，
2 2 2
∵正方形ABCD是⊙O 的内接正方形，
2
∴∠BO E＝45°，
2
❑√2 ❑√2
∴BE= O B= R，
2
2 2
∴BC＝2BE=❑√2R，
∴n＝4bc＝4❑√2R，
由于3❑√3=❑√27，4❑√2=❑√32，而❑√27＜❑√32，
∴m＜n．
故选：A．
【变式4】如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC
上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A．❑√3+2 B．❑√3+1 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三
角形，四边形FQKA是平行四边形．∴JQ＝JF＝1，QK＝AF＝2，
∴JK＝JQ+QK＝1+2＝3，
∵FN＝AN＝1，FJ＝JE＝1，
∴FJ＝FN，
∵∠PFJ＝∠PFN＝60°，FP＝FP，
∴△PFJ≌△PFN（SAS），
∴PN＝PJ，
∵∠AMB＝90°，AK＝KB，
1
∴MK= AB＝1，
2
∵PJ+PM+MK≥JK＝3，
∴PN+PM≥3﹣1＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故选：D．
题型03 求周长或面积
【典例1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（ ）
A．❑√3 B．3 C．6 D．2❑√3
【答案】B
【解答】解：如图，连接OC、OD，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360°
∴∠COD= =60°，
6
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵⊙O的周长是6π，
∴r＝3，
∴CD＝3，
即正六边形的边长是3，
故选：B．
【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（ ）
27
A．27❑√3 B．18❑√3 C． ❑√3 D．18
2
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
由条件可知OB＝OC，
1
∠BOC= ×360°=60°，
6
∴△OBC是等边三角形，
∴2πOB＝6π，
解得：OB＝3，❑√3 9❑√3
∴S = ×32= ，
△OBC 4 4
∴正六边形的面积为：
9❑√3 27
×6= ❑√3；
4 2
故选：C．
【变式2】正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
3
A．9❑√3 B． ❑√3 C．-❑√3 D．3❑√3
2
【答案】B
【解答】解：如图，设正六边形的一边为AB，外接圆的圆心为O，作OC⊥AB，垂足为C，
∵正六边形的周长为6，
360°
∴AB＝1，∠AOB= =60°，△OAB是等边三角形，
6
1 1 ❑√3
∴AC= AB= ，OC=❑√OA2-AC2= ，
2 2 2
1 ❑√3 ❑√3
∴△OAB的面积为 ×1× = ，
2 2 4
❑√3 3
∴正六边形的面积为6× = ❑√3，
4 2
故选：B．
3
【变式3】已知正六边形的面积为 ❑√3，则它的周长为（ ）
2
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于H，
360°
由正六边形的性质可知：∠AOB= =60°，OA＝OB，
6
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠OAB＝60°，❑√3 ❑√3
∴OH＝OA•sin∠OAB= OA= AB，
2 2
1 ❑√3 3❑√3
由题意得： AB• AB×6= ，
2 2 2
解得：AB＝1，
∴正六边形的周长为：1×6＝6，
故选：A．
【变式4】如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边
形，中心为点O，AB所在的圆的圆心C恰好是△ABO的内心．若AB=4❑√3，则花窗的周长（图中实
线部分的长度）为（ ）
A．16π B．18π C．20π D．24π
【答案】A
【解答】解：六条弧所对应的弦构成一个正六边形，如图：过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO＝∠CAE＝∠CBE＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∵AB=4❑√3，
∴AE=BE=2❑√3，AE
在直角三角形ACE中，cos30°= ，
AC
AE
∴AC= =4，
cos30°
120×4×π 8
∴^AB的长为： = π，
180 3
8
∴花窗的周长为： π×6=16π；
3
故选：A．
【变式5】如图所示，学校的花坛是由一个正六边形和圆心分别在正六边形的顶点、半径为 1米的六个等
圆组成．现要在正六边形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮，则草皮种植面积为（ ）平方米．
5
A．2π B． π C．3π D．4π
2
【答案】D
1
【解答】解：正六边形的每个内角为 ×（6﹣2）×180°＝120°，
6
各扇形的圆心角为360°﹣120°＝240°，
240π⋅12
草皮种植面积＝扇形的面积的和＝6× =4π．
360
故选：D．
1．正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝20°，∴∠AOB＝2∠ACB＝40°，
360
∴正多边形的边数= = 9，
40
故选：B．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（ ）
3❑√3
A．3 B． C．2❑√3 D．3❑√3
2
【答案】D
【解答】解：如图，连接OB，OC，
由题意可知：OB＝OC＝6，
由题意可得：
360°
∴∠BOC= =60°，
6
∵OB＝OC，OM⊥BC，
1 1
∴∠BOM=∠COM= ∠BOC= ×60°=30°，
2 2
∵∠OMB＝∠OMC＝90°，
1 1
∴BM= OB= ×6=3，
2 2∴OM=❑√OB2-BM2=❑√62-32=3❑√3，
故选：D．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为
（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】A
【解答】解：如图所示，连接OC，OD，
1
∴∠COD= ×360°=72°，
5
1
∴∠CPD= ∠COD=36°，
2
故选：A．
4．如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，点M在^AB上，则∠HME的度数是（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
【答案】C
【解答】解：正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，如图：连接OE，OF，OG，OH，
∵多边形ABCDEFGHIJ是正十边形，360°
∴∠EOF=∠FOG=∠GOH= =36°，
10
∴∠EOH＝3∠EOF＝36°×3＝108°，
1
∴∠HME= ∠EOH=54°，
2
故选：C．
5．如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若AB＝2，则
中心P的坐标为（ ）
A．(2，❑√3) B．（1，❑√3） C．（2，2） D．（3，2）
【答案】A
【解答】如图，连接PA，PB，作PH⊥AB于H，
由已知可得，∠FAB＝120°，
∴∠FAO＝60°，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∵∠AOF＝90°，
1
∴OA= AF=1，
2
∵六边形ABCDEF是正六边形，且AB在x轴上，点F在y轴上，
∴△APB是正三角形，
∴∠APH＝30°，PA＝AB＝2，
1
∴AH= PA＝1，
2
∴PH=❑√3，OH＝OA+AH＝2，
∴点P的坐标为（2，❑√3），故选：A．
6．如图，若干个全等的正五边形围绕⊙O紧密排列一周．图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边
形与⊙O的交点分别记作A ，A ，⋯A ，顺次连接A A ，A A ，⋯A A ，所得图形是（ ）
1 2 n 1 2 2 3 1 n
A．正五边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
【答案】C
(5-2)×180°
【解答】解：正五边形的每一个内角的度数为 =108°，
5
所以∠O＝360°﹣108°×3＝36°，
即正多边形A A A A A 的中心角为36°，所以这个正多边形的边数为360°÷36°＝10，
1 2 3 n﹣1 n
所以这个正多边形是正十边形，
⋯
故选：C．
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发
展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．
若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
A．4❑√2 B．8❑√2 C．4❑√2π D．8❑√2π
【答案】B
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
360°
∵圆心角为 =45°，OA＝2，
8
∴AC=OC=❑√2，1
∴S = ×2×❑√2=❑√2，
△OAB 2
∴面积为8×❑√2=8❑√2，
故选：B．
8．如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延
长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（ ）
A．16° B．17° C．18° D．19°
【答案】C
【解答】解：如图，连接AC，AD，
1
∴∠CAD＝2∠CGD，∠CGD= ∠CAD，
2
∵五边形ABCDE为正五边形，
180°×(5-2) 540°
∠B=∠BAE= = =108°，
5 5
在等腰△ABC中，AB＝BC，
180°-108°
∠BAC= =36°，
2
同理：∠EAD＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°，
1 1
∴∠CGD= ∠CAD= ×36°=18°，
2 2
故选：C．
9．如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O O ，连接O O ，则O O
1 2 1 2 1 2
的长为（ ）A．6❑√3 B．6❑√2 C．4❑√3 D．4❑√2
【答案】A
【解答】解：如图，连接O B，设O O 与AB相交于点C，则O O ⊥AB，O O ＝2O C，
1 1 2 1 2 1 2 1
360°
由题意可得：∠AO B= =60°，O A＝O B，
1 6 1 1
1
∴O A＝AB＝6，AC=BC= AB=3，
1 2
∴O C=❑√O A2-AC2=❑√62-32=3❑√3，
1 1
∴O O =2×3❑√3=6❑√3，
1 2
故选：A．
10．如图，AB，AC，AD分别是直径为AE的⊙O的内接正六边形、正方形、正三角形的一边．若 AB＝
2，给出下面四个结论：①⊙O的直径为4；②AC=2❑√2；③^BC=C^D；④连接BC，则△ABC的面积
是❑√3-1．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：如图1，AB，AC，AD分别是直径为AE的⊙O的内接正六边形、正方形、等边三角形的
一边，连接OB，OC，OD，∴∠AOB＝60°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠COD，
即^BC=C^D，
故结论③正确，符合题意；
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB是等边三角形，△AOC是等腰直角三角形，
∴AE＝2OA＝2AB＝4，
故结论①正确，符合题意；
∵AE＝2OA＝2AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
由勾股定理可得，AC=❑√OA2+OC2=2❑√2，
故结论②正确，符合题意；
如图2，过点A作AH⊥BC交BC延长线于点H，
∵∠COB＝30°，OC＝OB，
1
∴∠OCB=∠OBC= ×(180°-30°)=75°，
2
∵△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠HBA＝180°﹣∠CBO﹣∠ABO＝45°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∵AB＝2，∴AH=BH=❑√2，
在直角三角形ACH中，AC=2❑√2，
由勾股定理得：CH=❑√AC2-AH2=❑√6，BC=CH-BH=❑√6-❑√2，
1 1
∴S = ⋅CB⋅AH= ×(❑√6-❑√2)×❑√2=❑√3-1，
△ABC 2 2
故结论④正确，符合题意，
综上所述，所有正确结论的序号是①②③④，
故选：D．
11．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为 30 °
或 150 ° ．
【答案】30°或150°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠COD= =60°，
6
1
当点P在优弧C^D上时，∠CPD= ∠COD＝30°，
2
当点P在劣弧C^D上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，
则∠CPD的度数为30°或150°，
故答案为：30°或150°．
12．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G，则∠G的度数为
18° ．
【答案】18°．
【解答】解：连接BD、BE，∵五边形ABCDE是正五边形，
1
∴CB＝AB＝AE＝CD，∠C＝∠A＝∠CDE= ×（5﹣2）×180°＝108°，
5
∵连接BF并延长，交CD的延长线于点G，
∴∠BDF＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，
在△CBD和ABE中，
{
CB=AB
∠C=∠A，
CD=AE
∴△CBD≌ABE（SAS），
∴BD＝BE，
∵点F是DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∴∠G＝90°﹣∠GDF＝90°﹣72°＝18°，
故答案为：18°．
13．已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是 10 5
°．
【答案】105．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠D＝90°，∠ACD＝45°，
∵六边形OCHGFE是正六边形，(6-2)×180° 4×180°
∴∠EOC= = =120°，
6 6
∴∠α＝360°﹣90°﹣45°﹣120°＝105°，
故答案为：105．
14．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点 O出发，前进10米后向右转
30°，再前进10米后又向右转30°…，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多
边形的周长为 12 0 米．
【答案】120．
【解答】解：由题意可知这个多边形为正多边形，
∵360°÷30°＝12，
∴这个多边形为正十二边形，
∴它的周长为10×12＝120（米），
故答案为：120．
15．如图，边长为6的正六边形ABCDEF，连接CE，点O为线段CE上的点（不与C，E重合），过点O
作OP⊥DE于点P，以O为圆心，OP长为半径画圆，当⊙O和正六边形的两条边所在直线相切时，OE
的长为 3❑√3或4❑√3 ．
【答案】3❑√3或4❑√3．
【解答】解：当⊙O和DE，CD所在直线相切时，点O在∠CDE 的平分线上，此时O为CE的中点，
1
OE= CE，
2
∵正六边形的边长为6，
∴CE=6❑√3，∴OE=3❑√3，
当⊙O和BC，DE所在直线相切时，此时点O在CD的垂直平分线上，
❑√3
∴OC= CD=2❑√3，
3
∴OE=6❑√3-2❑√3=4❑√3，
故答案为：3❑√3或4❑√3，
16．已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？
【答案】（1）9；
（2）140°．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，
解得n＝9，
答：这个多边形的边数是9；
(9-2)×180°
（2）正九边形的每一个内角为 =140°，
9
答：该正多边形一个内角的度数是140°．
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：△MBC是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求点M到BC的距离．
【答案】（1）见解答
（2）❑√2+1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD（正方形的四条边相等），∴^AB=C^D（等弦所对的弧相等），
∵M为弧AD的中点，
∴^AM=^DM，
∴^BM=C^M，
∴BM＝CM，
∴△MBC是等腰三角形；
（2）解：连接OB，OC，连接MO并延长交BC于点F，
∵BM＝CM，OB＝OC，
∴MF是线段BC的垂直平分线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
1
∴BC=❑√OB2+OC2=❑√2OB，OF= BC，
2
∴2=❑√2OB，
则OB=❑√2，
1
∴OF= BC=1，
2
∴OM=OB=OC=❑√2，
∴MF=OM+OF=❑√2+1，
即点M到BC的距离为❑√2+1．
18．如图，⊙O的半径为r，六边形ABCDEF是圆的内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
（1）求正六边形ABCDEF与正方形EFGH的面积比；
（2）连接OF，OG，求∠OGF度数．【答案】（1）3❑√3：2；
（2）15°．
【解答】解：（1）∵∠FOE为正六边形的中心角，
∴∠FOE＝60°．
∵EO＝FO，
∴△EOF是边长为r的等边三角形，
∴EF＝r．
1 ❑√3 3❑√3
故正方形EFGH的面积为r2，正六边形的面积为6× •r• r= r2，
2 2 2
3❑√3
所以正六边形与正方形的面积比为 r2：r2＝3❑√3：2．
2
（2）∵OF＝EF＝FG，
∴△OFG是等腰三角形．
∵∠EFG＝90°，∠OFE＝60°，
∴∠OFG＝150°，
1
∴∠OGF= •（180°﹣150°）＝15°．
2
19．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数n 3 4 5 6
∠α的度数 6 4 3 3
0° 5° 6° 0°
（2）观察上面表格中α的变化规律，∠α与边数n的关系为： ∠ α × n ＝ 18 0 ．
（3）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝18°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）60°，45°，36°，30°；
（2）∠α×n＝180；
（3）10．
【解答】解：（1）根据正多边形的性质可知：
正多边形的边数n 3 4 5 6
∠α的度数 60° 45° 36° 30°
故答案为：60°，45°，36°，30°；
（2）观察上面表格中α的变化规律，∠α与边数n的关系为：∠α×n＝180，故答案为：∠α×n＝180；
（3）存在，当∠α＝18°时，18×n＝180，则n＝10，
20．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n
的值．
【答案】（1）108°；
（2）△AMN是正三角形，理由见解答；
（3）15．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
(5-2)×180°
∴∠ABC= =108°，
5
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，360°
∵∠AOD= ×2=144°，
5
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
